תרגילי חובה לא סטנדרטיים

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תרגילים שעלולים לשכוח ולא כדאי:

אלגברה לינארית

  • חישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונדה
  • אין מטריצה אנטי-סימטרית הפיכה מממד אי-זוגי

חשבון אינפיניטיסימלי

חשבון במשתנה ממשי יחיד

  • אי-שוויון הממוצעים: לכל קבוצה של מספרים ממשיים חיובים \{a_1,\dots,a_n\} מתקיים אי השיוויון \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le\frac{\sum_{k=1}^nx_k}{n}. יש שיוויון אם"ם כל האיברים שווים האחד לשני.
  • הלמה של Fekete: אם a_n סדרה תת-אדיטיבית, אז ל-\frac{a_n}{n} יש גבול במובן הרחב השווה ל\inf a_n).
  • המשפט של Stolz-Cesàro: אם b_n סידרה חיובית כך ש\sum_n b_n=\infty אז לכל סידרה a_n, \limsup \frac{a_n}{b_n}\ge\limsup\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge\liminf \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}\ge \liminf \frac{a_n}{b_n}.
  • קירוב Stirling: \Gamma(n+1)=n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n.
  • סומביליות Abel: אם הסכום \sum_n a_n קיים אז גם \sum_{r\to 1^-} \sum a_n r^n קיים ושווה לו; אבל יש טורים המתכנסים בסומביליות זו אך לא במובן הרגיל.
  • סומביליות Cesàro: לכל סדרה מתכנסת גם סדרת הממוצעים החשבוניים מתכנסת ולאותו ערך, אבל יש סדרות שהממוצעים שלהן מתכנסים אולם הן לא. סומביליות Abel גוררת סומביליות Cesàro.
  • משפט Tauber: אם הטור \sum a_n סכים-Abel וa_n=o(\frac1n) אז \sum_n a_n=\lim_{r\to 1^-}\sum_{n=0}^\infty a_n r^n.
  • הלמה של Reimann-Lebesgue: אם f\in \mathcal{R}([a,b]) אז \int_a^b f(x)\sin(nx)dx,\int_a^b f(x)\cos(nx)dx\overset{\left|n\right|\to\infty}{\longrightarrow}0 (כלומר מקדמי הFourier שלה דועכים).

תורת החבורות

  • יש אינסוף ראשוניים. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n-1. יש אינסוף ראשוניים מהצורה 4n+1.