תרגיל על קבוצה פורשת

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־20:38, 29 בנובמבר 2017 מאת אריאל (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "===תרגיל=== יהי <math>V</math> מרחב וקטורי, ונניח <math>S=\{v,u,w\}</math> קבוצה פורשת. הוכיחו או הפריכו: <math>S'...")

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תרגיל

יהי V מרחב וקטורי, ונניח S=\{v,u,w\} קבוצה פורשת. הוכיחו או הפריכו: S'=\{v+u,v+w,u+w\} פורשת.

פתרון

כפי שראינו בכיתה, לוקחים v\in V כללי ובודקים האם יש \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 כך ש- \alpha_1(v+u)+\alpha_2(v+w)+\alpha_3(u+w)=v. לפי הנתון ש-S פורשת ידוע שיש \beta_1,\beta_2,\beta_3 כך ש- \beta_1v+\beta_2u+\beta_3w=v, לכן אם מתקיים \alpha_1+\alpha_2=\beta_1\land \alpha_1+\alpha_3=\beta_2\land \alpha_2+\alpha_3=\beta_3 אז הקבוצה אכן פורשת. זה שקול למערכת המשוואות הבאה:

\begin{bmatrix} 1&1&0&|\beta_1 \\ 1&0&1&|\beta_2 \\ 0&1&1&|\beta_3 \end{bmatrix}.

כפי שראינו בתרגול, הדירוג מוביל ליחידה ולכן יש פתרון למערכת, כלומר הקבוצה אכן פורשת.

נשאלת השאלה (מה שגרם לבלבול בתרגול...): מה היה קורה אילו לא היה פתרון למערכת? האם זה אומר שהקבוצה בהכרח לא פורשת? לצורך העניין, אם היינו לוקחים S'=\{v+u,u+w\} מה התשובה צריכה להיות? יש הפרכה, אך יש מצבים בהם גם הקבוצה הזו פורשת. מוזמנים למצוא דוגמאות.