תשסד,סמסטר ב, מועד ב, שאלה 11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

השאלה:

תהי A \in M_n(C) המטר' הבאה: A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & 1\\ 
1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 
0 & 1 & ... & 0 & 0\\ 
... & ... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & 1 & 0
\end{pmatrix} . מצא את צורת הז'ורדן שלה.

מקור: [1]

פתרון: דבר ראשון נמצא ע"ע (ואז נראה שהתרגיל ממש קל) ע"י חישוב הפולינום האופייני


P_A(x) = | xI-A | = \begin{vmatrix}
x & 0 & ... & 0 & -1\\ 
-1 & x & ... & 0 & 0\\ 
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ 
... & ... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & -1 & x
\end{vmatrix}


נפתח דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה:


x\begin{vmatrix}
x & 0 & ... & 0 & 0\\ 
-1 & x & ... & 0 & 0\\ 
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ 
... & ... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & -1 & x
\end{vmatrix} + (-1)^{3} \cdot (-1) \begin{vmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & -1\\ 
-1 & x & ... & 0 & 0\\ 
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ 
... & ... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & -1 & x
\end{vmatrix}

כאשר שתי הדטרמיננטות הנ"ל הן של מטריצות מגודל (n-1) \times (n-1) ... הדטר' הראשונה היא של מטר' משולשית ושווה בדיוק x^{n-1} לדטר' השנייה נעשה פיתוח לפי השורה הראשונה:

\begin{vmatrix}
0 & 0 & ... & 0 & -1\\ 
-1 & x & ... & 0 & 0\\ 
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ 
... & ... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & -1 & x
\end{vmatrix} = (-1)^{(n-1)+1} \cdot (-1) \begin{vmatrix}
-1 & x & ... & 0 & 0\\ 
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ 
... & ... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & -1 & x \\
0 & 0 & ... & 0 & -1
\end{vmatrix}

ולמזלנו קיבלנו מטר' משולשית שבאלכסונה 1-, ולכן (מכיוון שהגודל שלה הוא n-2) הדטר' שלה הוא: (-1)^{n-2} עכשיו נציב את כל מה שחישבנו בחישוב של הדטר' המקורית:

| xI-A | = x \cdot x^{n-1} + (-1)^{4} \cdot (-1)^{n} \cdot (-1) \cdot (-1)^{n-2} = x^{n} + (-1)^{2n + 3} = x^{n} - 1

וקיבלנו שהפולינום האופייני של A הוא P_A(x) = x^{n}-1 לפולינום זה אנחנו יודעים שיש n שורשים מרוכבים(ז"א n ע"ע של A), ומכיוון ש deg P_A = n הריבוי האלגברי של כל אחד מהע"ע הללו [שורשי היחידה] הוא 1, ומכיוון שכל הגורמים הלינאריים של הפולינום האופייני מופיעים בפולינום המינימלי עם דרגה שקטנה מהדרגה בפולינום האופייני, הפולינום המינימלי של A זהה לפולינום האופייני שלה. כמו כן הריבוי הגיאומטרי של ע"ע, קטן מהריבוי האלגברי ולכן במקרה שלנו שווה ל 1.

בצורת ז'ורדן של מטר' הבלוק הגדול ביותר של ע"ע \lambda הוא החזקה של x-\lambda בפולינום המינימלי, ומספר הבלוקים שבאלכסונם \lambda שווה לריבוי הגיאמורי של \lambda.

שני הערכים הנ"ל במקרה שלנו שווים ל 1, ולכן צורת ז'ורדן של A היא מטר' בלוקים-אלכסונית עם בלוקים מגודל 1 (כל בלוק פעם אחת בלבד), ז"א שעל האלכסון שלה מופיעים כל הע"ע של A בדיוק פעם אחת. [ז"א ש A לכסינה]

אם נהיה יותר ספיציפים: יהיו \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n שורשי היחידה מסדר n, אז צורת ז'ורדן של A היא: \begin{pmatrix}
\alpha_1 & 0 & ... & 0\\ 
0 & \alpha_2 & ... & 0\\ 
... & ... & ... & ...\\ 
0 & 0 & ... & \alpha_n
\end{pmatrix} (כפי שלמדנו, סדר הבלוקים לא משנה)

הערה: החישוב שביצענו על מנת למצוא את הפולינום האופייני של A לא תקף עבור n=1,2 ולכן במקרים אלו צריך חישוב מיוחד שאכן נותן את הפולינומים x-1,x^{2}-1 בהתאמה, מה שמתאים להמשך הפתרון.