הגדרות הן אחד הדברים המיותרים ביותר במתמטיקה, משום שהגדרה אינה נושאת שום תוכן משל עצמה: כל מה שהיא עושה הוא להחליף תכונה או מצבור של תכונות במונח קצר וייחודי. מאידך, הגדרות הן אחד הדברים החיוניים ביותר במתמטיקה: הן מחליפות מושגים בסיסיים ביותר, בהדרגה, במושגים מורכבים יותר, שאפשר להבין את המשמעות שלהן כל אחת לעצמה, ולו היינו פורשים אותן ויורדים בכל פעם אל המושגים הבסיסיים ביותר, הטענות היו מגיעות לאורך שקשה לתפוס.
'''דוגמא'''. באי שבו גדלים עצי קוקוס, חיים להם קופים ארוכי זנב. קוף x יכול להיות '''בעלים''' של אגוז קוקוס a (זהו פרדיקט). שני קופים הם '''חברים''' אם כל אחד מהם חולק לפחות מחצית מאגוזי הקוקוס שלו עם הקוף השני. קבוצה של קופים היא '''משפחה''', אם לכל אגוז קוקוס השייך לאחד הקופים במשפחהבקבוצה (המשפחה), יש קוף אחר במשפחה בקבוצה (המשפחה) שהוא בעלים של אותו אגוז. שתי משפחות הן '''חברות''' אם יש קוף במשפחה האחת שהוא חבר של קוף מן המשפחה האחרת. קבוצה של משפחות היא '''שבט''', אם לכל שתי משפחות בשבט בקבוצה (השבט) יש משפחה בשבט בקבוצה (השבט) שהיא חברה של שתיהן. קוף הוא '''מנהיג''' של שבט, אם יש לו אגוז משותף עם כל קוף בשבט, פרט לקופים במשפחה אחת לכל היותר. האי '''מסודר''' אם לכל שבט יש מנהיג יחיד. נסו להצרין את המושג "האי מסודר" ישירות מתוך הפרדיקט.
הסיפור הזה מדגים כמה תופעות שכיחות. הגדרנו מושגים כמו "משפחה" ו"שבט", ונתנו להם משמעות חדשה, המתעלמת מן המשמעות המקובלת. מתמטיקאים עושים דברים כאלה כל הזמן (למושגים הבאים יש משמעות מתמטית טכנית ומוגדרת היטב: חוג, שדה, מרחב, איבר, קבוצה, קשת, צביעה, חבורה, חבורה חופשית, מלה, שפה). השתמשנו באותה מלה (חברות) כדי לציין שני דברים שונים, אבל קרובים זה לזה: חברות של קופים וחברות של משפחות; גם זו תופעה נפוצה ביותר. בנינו כל הגדרה תוך שימוש חופשי בהגדרות קודמות: מרגע שהמושג הוגדר, הוא נכנס לשפת הדיבור, וקשה - איננו מנסים - להסתדר בלעדיו.