'''דוגמא'''. באי שבו גדלים עצי קוקוס, חיים להם קופים ארוכי זנב. קוף x יכול להיות '''בעלים''' של אגוז קוקוס a (זהו פרדיקט). שני קופים הם '''חברים''' אם כל אחד מהם חולק לפחות מחצית מאגוזי הקוקוס שלו עם הקוף השני. קבוצה של קופים היא '''משפחה''', אם לכל אגוז קוקוס השייך לאחד הקופים בקבוצה, יש קוף אחר בקבוצה שהוא בעלים של אותו אגוז. שתי משפחות הן '''חברות''' אם יש קוף במשפחה האחת שהוא חבר של קוף מן המשפחה האחרת. קבוצה של משפחות היא '''שבט''', אם לכל שתי משפחות בקבוצה יש משפחה בקבוצה שהיא חברה של שתיהן. קוף הוא '''מנהיג''' של שבט, אם יש לו אגוז משותף עם כל קוף בשבט, פרט לקופים במשפחה אחת לכל היותר. האי '''מסודר''' אם לכל שבט יש מנהיג יחיד. נסו להצרין את המושג "האי מסודר" ישירות מתוך הפרדיקט.
הסיפור הזה מדגים כמה תופעות שכיחות. הגדרנו מושגים כמו "משפחה" ו"שבט", ונתנו להם משמעות חדשה, המתעלמת מן המשמעות המקובלת. מתמטיקאים עושים דברים כאלה כל הזמן (למושגים הבאים יש משמעות מתמטית טכנית ומוגדרת היטב: עץ, יער, חוג, שדה, מרחב, איבר, קבוצה, קשת, צביעה, חבורה, חבורה חופשית, מלה, שפה). השתמשנו באותה מלה (חברות) כדי לציין שני דברים שונים, אבל קרובים זה לזה: חברות של קופים וחברות של משפחות; גם זו תופעה נפוצה ביותר. באותו אופן לא הצלחנו להמנע מהשימוש במלה "קבוצה" לתאור אוספים שונים בתכלית: של קופים, ושל קבוצות קופים. בנינו כל הגדרה תוך שימוש חופשי בהגדרות קודמות: מרגע שהמושג הוגדר, הוא נכנס לשפת הדיבור, וקשה - איננו מנסים - להסתדר בלעדיו.
מכל הסיבות האלה, חשוב מאד '''לזכור''' ו'''להבין''' כל הגדרה שאתם נתקלים בה. בשפה הטבעית אפשר להבין מלים קשות מתוך ההקשר. במתמטיקה, כשלא זוכרים את ההגדרה, קשה - בוודאי לתלמיד חסר נסיון - לפענח למה הכוונה. מאידך, לא מספיק לזכור את ההגדרה באופן כזה שאפשר יהיה לפרוט אותה לרשימת התכונות המרכיבות אותה - כפי שראינו, נסיון כזה יגרום למשפטים שבהם המושג החדש מופיע להתארך במידה כזו שאי-אפשר יהיה להבין אותם כלל. (כשמנסים להמנע מהמושג "משפחה", מתברר ששבט הוא קבוצה של קבוצות של קופים, שבכל אחת מהן, לכל אגוז קוקוס השייך לאחד מחברי הקבוצה יש קוף אחר מאותה קבוצה שלו שייך אותו אגוז, וכך שאם יש שתי קבוצות שבכל אחת מהן, לכל אגוז קוקוס השייך לאחד מחברי הקבוצה יש קוף אחר מאותה קבוצה שלו שייך אותו אגוז, אז יש קבוצה נוספת שבה לכל אגוז קוקוס השייך לאחד מחברי הקבוצה יש קוף אחר מאותה קבוצה שלו שייך אותו אגוז, שבה יש קוף שהוא חבר לאחד הקופים מן הקבוצה הראשונה, וקוף שהוא חבר לאחד הקופים מן הקבוצה השניה).
כדי להבין הגדרה, תצטרכו לדמיין איזו תכונה היא אמורה לתפוס. בשלב ראשון כדאי לבדוק את ההגדרה על מקרים קיצוניים: האם קוף יכול להיות חבר של עצמו? (כן; כל קוף הוא חבר של עצמו). מיהם החברים של קוף שאין לו אגוזי קוקוס? (כל הקופים שאין להם אגוזי קוקוס, ורק הם). האם יכולה להיות משפחה שיש בה רק קוף אחד? (לא). וכן הלאה.
לכל ההגדרות להגדרות יש מבנה אחיד: דבר מסויים נקרא בשם מסויים, אם הוא מקיים תכונה מסויימת. לדוגמא, קבוצה של קופים היא משפחה אם היא מקיימת תכונה מסויימת; ההגדרה אינה יכולה לחול על מה שאיננו קבוצה של קופים; אין משמעות לשאלה "האם אגוז קוקוס זה הוא משפחה", משום שהגדרנו מהי משפחה רק עבור קבוצות של קופים. בהמשך הדרך נוכל גם להגדיר מתי קבוצת אגוזי קוקוס היא משפחה - ואז, כאשר נתון ש-A היא משפחה, יהיה עלינו להבין מן ההקשר האם מדובר בקבוצה של קופים (שהיא משפחה), או בקבוצה של אגוזי קוקוס.
לפעמים הגדרה דורשת עבודת הכנה. יכולנו להגדיר, עבור שבט של קופים, ש"'''מלך השבט''' הוא הקוף שיש לו אגוז משותף עם כל קוף בשבט", אבל השימוש בהא-הידיעה רומז שאכן קיים לכל שבט מלך (יחיד), וזה בכלל לא ברור. הגדרה כזו אינה תקפה, עד שנוכיח את הקיום והיחידות של המלך. באי מסודר, המושג "מנהיג השבט" מוגדר כראוי, לא משום שהתאמצנו להוכיח את קיומו, אלא משום שכך הגדרנו מהו אי מסודר; גם זה תעלול מתמטי שכיח למדי.
ההבחנה בין פרדיקט (שיש לו משתנים) לאטום (שהוא פרידקט ללא משתנים) חלה גם על הגדרות. הגדרה אטומית קובעת אילו עצמים עונים על ההגדרה. לדוגמא, "מעגל הוא המקום הגאומטרי של נקודות במרחק קבוע מנקודה קבועה" - ולכן עקום יכול להיות מעגל ויכול שלא להיות מעגל. למעשה אפשר לחשוב על המושג המוגדר ("מעגל") כפרדיקט עם משתנה אחד. אבל לעתים קרובות רוצים להגדיר מושג עבור עצם מסויים, למשל "מעגל חוסם של משולש הוא המעגל היחיד העובר דרך שלושת הקודקודים של המשולש" (מהי עבודת ההכנה כאן?); ההגדרה הזו קובעת - לכל משולש - איזה מעגל נקרא המעגל החוסם של המשולש הזה. הגדרה כזו היא למעשה פרדיקט בן שני מקומות - <math>\ B(x,y)</math> - שמתאימה לכל משולש x את המעגל היחיד החוסם אותו. כלומר, <math>\ \forall x \exists ! y: B(x,y)</math>, ובמקרה המיוחד הזה המושג "מעגל חוסם" הוא פונקציה המקבלת משולשים ומחזירה מעגלים. ההבדל הוא שההגדרה אינה קובעת איזה מעגל הוא מעגל חוסם (הרי כל מעגל חוסם איזשהו משולש - הצרינו זאת), אלא מבודדת עבור משולש מסויים, את המעגל החוסם שלו.
== הוכחות ==