זהו הסוג השלישי (והאחרון עבורנו) של פסוקים לוגיים. נסכם: פסוק הוא או פרדיקט (לרבות אטומים, שהם פרדיקטים ללא משתנים), או חיבור של פסוקים קצרים יותר באמצעות קשרים לוגיים, או החלה של כמת על פסוק קצר יותר.
גם לאחר ההרחבה הזו, בכל פסוק יש "פעולה אחרונה": הקשר האחרון או הכמת האחרון שהופעל כדי ליצור את הפסוק. לדוגמא:
* הפעולה האחרונה ב- <math>\ \forall x: ((x<y) \rightarrow (x<0))</math> ("לכל x, אם x קטן מ-y אז x שלילי") היא הכמת הכולל על x; לעומת זאת הפעולה האחרונה ב- <math>\ (\forall x: (x<y)) \rightarrow (y<0))</math> ("אם כל x הוא קטן מ-y, אז y שלילי") היא הקשר "אם-אז".
את החשיבות שיש לזיהוי הפעולה האחרונה נוכל להסביר כשנדון בשלילה של פסוקים.
=== פסוקים אמיתיים ===
'''תרגיל'''.
* באחד התרגילים הקודמים היית אמור לאשר שהפסוק <math>\ \forall x P(x) \implies \exists x P(x)</math> הוא אמיתי, אם הכמתים מתייחסים לקבוצת המספרים השלמים. מצא מרחב חילה של הכמתים שעבורו הפסוק אינו אמיתי (חשוב על הפסוק "כל פיל מעופף יודע קרוא וכתוב; מכאן שיש פיל מעופף היודע קרוא וכתוב").
יש טענות שאפשר לנסח באופן ישיר, אבל קל יותר לנסח באופן יחסי:
'''תרגיל'''. נניח שהיכרות היא פרדיקט סימטרי P בשני משתנים (כלומר, <math>\ \forall x,y: P(x,y) \leftrightarrow P(y,x)</math>).
* נסח את הפסוק: מבין כל ששה אנשים, או שיש שלושה המכירים זה את זה, או שיש שלושה שאף אחד מהם אינו מכיר אף אחד אחר.
'''פתרון חלקי'''. הפתרון הישיר הוא מהצורה <math>\ \forall x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6: P(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)</math> כאשר P הוא פסוק ארוך מאד בן ששה משתנים, שאין בו כמתים. יעיל יותר לפתור כך: <math>\ x_1,\dots,x_6</math> שונים, קיימים y,z,u מתוך הערכים <math>\ x_1,\dots,x_6</math>, המקיימים תנאי מסויים.
בשלב זה קשה לכתוב "קיימים y,z,u מתוך" קבוצה מסויימת; כדי לעשות זאת היטב יש ללמוד מעט תורת הקבוצות.
=== שלילת כמתים ===
כמו לפסוקים המורכבים מקשרים בלבד, גם לאחר הוספת הכמתים יש לכל פסוק "פעולה אחרונה": הקשר האחרון או הכמת האחרון שהופעל כדי ליצור את הפסוק. לדוגמא:
* הפעולה האחרונה ב- <math>\ \forall x: ((x<y) \rightarrow (x<0))</math> ("לכל x, אם x קטן מ-y אז x שלילי") היא הכמת הכולל על x; לעומת זאת הפעולה האחרונה ב- <math>\ (\forall x: (x<y)) \rightarrow (y<0))</math> ("אם כל x הוא קטן מ-y, אז y שלילי") היא הקשר "אם-אז".
כבר למדנו כיצד לשלול פסוק שבו הפעולה האחרונה היא אחד הקשרים. כדי לשלול פסוק שבו הפעולה האחרונה היא כמת מפעילים שתי הבחנות פשוטות, שנציג כדוגמאות:
* <math>\ \forall x: P(x) \equiv \neg \exists x: \neg P(x)</math> ("כל הסוסים שחורים" = "אין אף סוס שאינו שחור").
בפועל, שני הכמתים נמצאים בשימוש מתמטי תמידי.
'''תרגיל'''. '''סדרה''' היא התאמה של מספר ממשי לכל מספר טבעי: <math>\ a_1,a_2,a_3,\cdots</math>. מספר ממשי L הוא '''גבול''' של הסדרה, אם לכל מספר חיובי שנבחר, יש מקום בסדרה שממנו והלאה מרחק האברים בסדרה מ-L קטן מן המספר האמור. הצרן את הטענות הבאות:
* הפונקציה <math>\ f(x) = x^5</math> אינה רציפה במידה שווה בקטע [0,1].
* אם הפונקציה f רציפה במידה שווה בקטע C, אז היא רציפה בכל נקודה שלו.
'''תרגיל'''.
* נסח את שלילתו של הפסוק שהופיע קודם לכן, "מבין כל ששה אנשים, או שיש שלושה המכירים זה את זה, או שיש שלושה שאף אחד מהם אינו מכיר אף אחד אחר", עם חמישה אנשים במקום ששה.
* (נסה להוכיח ששתי הטענות נכונות: מכל ששה אנשים יש שלושה מכרים או שלושה זרים, אבל לא מכל חמישה).
=== על מה מכמתים ===
ראינו כמה טענות שכדי להביע אותן דרושים כמה כמתים, מקוננים זה בתוך זה. ראינו שאפשר לשכלל את מבנה הפסוקים עוד יותר באמצעות כימות יחסי. נתחיל בכמה דוגמאות קלות, ואחר-כך נראה שהדברים יכולים להסתבך.
'''דוגמא'''. הפסוק <math>\ (\exists x: x=x) \wedge (\forall x,y: x=y)</math> מקבל ערך אמת אם במרחב הכימות יש בדיוק ערך אחד.
'''תרגיל'''. כתוב פסוק שיקבל ערך אמת רק אם מרחב הכימות הוא בן שני ערכים.
'''תרגיל'''. כתוב פסוק שיקבל ערך אמת רק אם מרחב הכימות הוא בן שלושה ערכים.
התרגיל הבא יהיה, בשלב זה, קשה מאד לפתרון:
'''תרגיל'''. נסה לתכנן פסוק שיקבל ערך אמת רק אם מרחב הכימות הוא סופי.
הבעיה היא שעד כה הרשינו לכתוב <math>\ \forall x_1,x_2,x_3</math> בתור קיצור ל-<math>\ \forall x_1 \forall x_2 \forall x_3</math>, ובקלות אפשר לנחש למה הכוונה גם בביטוי כמו <math>\ \forall x_1,\dots,x_{100}</math> (למרות שלא נעים לכתוב אותו במפורש). אבל איננו יכולים לכתוב <math>\ \exists n: \forall x_1,\dots,x_n: Q(x_1,\dots,x_n)</math> (זה אינו קיצור של שום דבר). כשנרכוש נסיון מסויים בתורת הקבוצות נראה שאפשר לעקוף את הבעיה הזו די בקלות (הרעיון הוא שאפשר לכמת על אובייקט אחד - פונקציה המוגדרת על המספרים הטבעיים - במקום על מספר לא ידוע של אובייקטים). מאידך, כימות של פונקציה (או אובייקטים דומים לזה) הוא דבר מסובך בפני עצמו: הוא גורם שהפסוק כבר לא יהיה שייך ל"שפה מסדר ראשון". על כך - בקורס בלוגיקה מתמטית, ולא כאן.
ניתן דוגמא נוספת שבה נחוץ לכמת על משתנים שמספרם אינו ידוע מראש.
'''תרגיל'''. אחת הדרכים להגדיר את המבנה הקומבינטורי החשוב '''גרף''' היא לחשוב עליו כעל פרדיקט סימטרי P בשני משתנים (את הסימטריה הגדרנו קודם לכן). גרפים אפשר לצייר, על-ידי מתיחת קשת בין שני קודקודים x,y בדיוק כאשר הפרדיקט <math>\ P(x,y)</math> מקבל ערך אמת T.
* נסח את הפסוק "בגרף אין משולשים".
* גרף שאין בו לולאות נקרא '''עץ'''. נסח את הפסוק "גרף זה הוא עץ", עבור הגרף P.
== הגדרות ==