== הצרנה ==
'''הצרנה''' היא תרגום של פסוק או טיעון יומיומי או מתמטי לשפה לוגית מדוייקת, על-פי צורתו, תוך התעלמות מתוכנו. לאחר שהפסוק תורגם, אפשר להפעיל עליו כלים לוגיים סטנדרטיים על-מנת לבחון אותו, להעביר אותו לצורה שקולה, להשוות אותו לפסוקים אחרים, וכדומה.=== אטומים ופסוקים ===
השלב הראשון בהצרנה הוא זיהוי היחידת התוכן הבסיסית בכל שפה היא המשפט. במתמטיקה קיבלה המלה "משפט" משמעות מיוחדת (טענה חד-משמעית אמיתית, שיש לה הוכחה), וכאן נרצה לטפל בטענות אמיתיות ושקריות באותם כלים. משום כך, אנו מייחדים ליחידת התוכן הבסיסית את המלה '''פסוק''' - בתחילת הדרך הפסוק יתייחס ליחידת תוכן בשפה העברית (היינו, משפט), ובהמשך ניתן למלה הזו משמעות קצת יותר טכנית ומדוייקת. כדוגמא, אפשר לחשוב על הפסוק "החלון הזה מרובע, והכדור הזה עגול אבל לא מנופח". הפסוק מורכב בדרך כלל מכמה '''אטומים'''- במקרה הזה, האטומים הם "החלון מרובע", "הכדור עגול", ו"הכדור אינו מנופח". === הצרנת פסוקים === '''הצרנה''' היא תרגום של פסוק יומיומי או מתמטי לשפה לוגית מדוייקת, על-פי צורתו, תוך התעלמות מתוכנו. לאחר שהפסוק תורגם, אפשר להפעיל עליו כלים לוגיים סטנדרטיים על-מנת לבחון אותו, להעביר אותו לצורה שקולה, להשוות אותו לפסוקים אחרים, וכדומה. השלב הראשון בהצרנה הוא זיהוי האטומים, שהם המרכיבים היסודיים של הפסוק. מסמנים כל אטום באות משלו - כאן בחרנו לסמן את האטומים באותיות לטיניות רישיות - A,B,C וכן הלאה.
* '''דוגמא'''. "אם לא תגמור מהצלחת, יבוא שוטר".
כדי לטפל בפסוק כזה, עלינו להגדיר לסמן שני אטומים: A="תגמור מהצלחת", B="יבוא שוטר". הפסוק קובע "אם לא A אז B". כך אפשר לראות מיד שיש לו אותה צורה, ולכן אותן תכונות לוגיות, כמו לפסוק הבא:
* "אם לא נכלכל את צעדינו בתבונה, נמצא את עצמנו מול שוקת שבורה".
(אם לא A אז B, כאשר A="נכלכל את צעדינו בתבונה" ו-B="נמצא את עצמנו מול שוקת שבורה").
=== ערך אמת ===
'''ערך אמת''' הוא אחת משתי האפשרויות - אמת או שקר, שמסמנים לשם הקיצור T ו-F (מ-True ו-False, כמובן). אם האטומים כשהאטומים מפורטים מספיק (מי יגמור מה ומתי מאיזו צלחת), כל אטום אחד מהם מקבל ערך אמת. או שתגמור מהצלחת, או שלא. או שיבוא שוטר, או שלא. אם תגמור מהצלחת, אז ערך האמת של הפסוק "תגמור מהצלחת" הוא T, ואחרת, הוא F. זו הדרך לחבר את תמונת העולם של המציאות, עם הפסוקים הלוגיים הפורמליים.
שימו לב שערך האמת עשוי להיות T או F; אומרים "לפסוק יש ערך אמת T" או "לפסוק יש ערך אמת F", ולא "לפסוק יש ערך אמת" או "לפסוק יש ערך שקר". (למתחכמים: כתוב כאן - (אומרים ("לפסוק יש ערך אמת T" או "לפסוק יש ערך אמת F"), ולא ("לפסוק יש ערך אמת" או "לפסוק יש ערך שקר")), ולא - (אומרים "לפסוק יש ערך אמת T" או ("לפסוק יש ערך אמת F", ולא "לפסוק יש ערך אמת") או "לפסוק יש ערך שקר"); תפקידן השימושי של הסוגריים יודגש בהמשך).
כאשר משייכים לכל אטום של פסוק לוגי ערך אמת, אפשר לחשב את ערך האמת של הפסוק עצמו. לשם כך יש להכיר את ה'''קשרים''' הלוגיים הבסיסיים.
*"במשולש שווה שוקיים, חוצה הזוית מאונך לבסיס" (T)
*"רווק הינו גבר שאינו נשוי" (F)
*"גבר מעניין הינו רווק עם הרבה כסף" (נתון לויכוח)
*"לרוב, מרבית הסטודנטים עוברים את הקורס" (נכון, לרוב...)
* <math>1<2, 2 * 2=4</math> - פסוקים אמיתיים
* <math>1<0</math>- פסוק שקרי
* <math>x<0</math>- לא פסוק, משום שערכו של x אינו ידוע.
'''תרגיל'''. נתונים שלושת הפסוקים הבאים:
ב. נתון ש-A אמיתי, B אמיתי, C שקרי. קבעו את ערכי האמת של הפסוקים בסעיף הקודם.
== פסוקים וקשרים הקשרים הלוגיים ==
==== וגם ===='''קשר''' הוא פונקציה לוגית המחברת כמה אטומים. יש כמה קשרים חשובים. הדרך הפשוטה ביותר לתאור של קשר היא באמצעות '''טבלת האמת''' שלו, המציינת את ערך האמת של הקשר, לפי ערכי האמת של האטומים המרכיבים אותו. בהמשך נדון בטבלאות אמת של פסוקים מורכבים יותר.
1. '''וגם''' הוא קשר לוגי: . אפשר לומר משפטים כמו "התפוח הזה אדום, וגם הצלחת ירוקה", שההצרנה שלהם היא במבנה "A וגם B". אי אפשר לומר "התפוח הזה אדום וגם", משום ש"וגם" הוא '''קשר בינארי''' - הוא מחבר שני אטומים. ערך האמת של הפסוק "A וגם B" הוא T, רק כאשר גם A וגם B הם T. בכל מקרה אחר, ערך האמת הוא F.
{| border="1" align="center" style="text-align:center;"
'''דוגמא'''. כשפוליטיקאי מבטיח "לא נעלה מסים וגם נגדיל את ההוצאה לחינוך" (שצורתו "(לא A) וגם B"), הוא יצטרך לקיים שתי הבטחות: גם לא A, וגם B.
==== 2. '''לא ===='''. כבר פגשנו את קשר השלילה, '''לא''', שהוא ה'''קשר האונארי''' היחיד (קשר אונארי הוא קשר המטפל באטום אחד). הפסוק המתקבל משלילת A הוא, כמובן, "לא A"; ערך האמת שלו הפוך לזה של A: אם "יבוא שוטר" הוא פסוק אמיתי, אז "לא יבוא שוטר" הוא פסוק שקרי, ולהיפך.
כבר פגשנו את קשר השלילה, '''לא''', שהוא ה'''קשר האונארי''' היחיד (קשר אונארי הוא קשר המטפל באטום אחד)3. הפסוק המתקבל משלילת A הוא, כמובן, "לא A"; ערך האמת שלו הפוך לזה של A: אם "יבוא שוטר" הוא פסוק אמיתי, אז "לא יבוא שוטר" הוא פסוק שקרי, ולהיפך. ==== או ==== קשר נוסף הוא '''או''': גם הוא קשר בינארי, המאפשר לבנות את הפסוק "A או B". פסוק כזה מקבל ערך אמת T אם אחת ההצהרות קיבלה ערך אמת T, או שתיהן.
{| border="1" align="center" style="text-align:center;"
'''דוגמא'''. כשפוליטיקאי מבטיח "לא נעלה מסים, או שנגדיל את ההוצאה לחינוך" (שצורתו "(לא A) או B"), הוא יוכל להסתפק בקיום אחת ההבטחות.
==== אם-אז ==== 4. הקשר '''אם-אז''' בונה משפטים כמו "אם נגדיל את ההוצאה לחינוך, נעלה מסים": "אם A אז B". אם ערך האמת של A הוא T, אז ערך האמת של "אם A אז B" שווה לערך האמת של B: אם מבטיחים, ההצהרה "אם הבטחתי אז אקיים" נכונה אם אקיים, ולא נכונה אם לא אקיים. לעומת זאת, אם לא הבטחתי, ההצהרה נכונה בכל מקרה: כשערך האמת של A הוא F, ערך האמת של "אם A אז B" הוא T בלי קשר לערך האמת של B. זהו הסכם חשוב, גם אם קצת קשה לקבל אותו בתחילה.
{| border="1" align="center" style="text-align:center;"
'''תרגיל'''. בניסוי מפורסם בתורת ההחלטות, מציגים לנבדק ארבעה כרטיסים שבגבם הסימנים A, P, 2, 3. על כל כרטיס יש אות ומספר. אלו כרטיסים יש להפוך על-מנת לבדוק את הטענה "אם בצד אחד של הכרטיס יש אות ניקוד (AEIOU) אז בצידו האחר יש מספר זוגי?" רוב גדול של האנשים עונים שיש להפוך את הכרטיס הראשון והשלישי. מה התשובה הנכונה?
==== 5. '''אם ורק אם ===='''.
'''דוגמא'''. הפסוק "אם יש עננים אז יורד גשם" אינו אמיתי, משום שיתכן שיהיו עננים בלי שירד גשם. לעומת זאת הפסוק "אם יורד גשם אז יש עננים" הוא אמיתי. את הפסוק השני, האמיתי, אפשר לנסח בצורות נוספות: "יש עננים אם יורד גשם" (מוכרחים להיות עננים אם יורד גשם), וגם "יורד גשם רק אם יש עננים" (כל אימת שיורד גשם, מוכרחים להיות עננים).
נסכם: הפסוקים "אם A אז B", "B אם A" ו"A רק אם B" אומרים אותו הדבר.
|T
|}
התנאי לקבלת טיפ: <math>\neg \left[(\neg H\and \neg 0)\and (\neg K\and \neg B)\right] \or (\neg H\and K \and \neg O \and D ) \leftrightarrow P </math>
=== פסוקים מורכבים ===