בדרך כלל המשחק כולל יותר משלב אחד. למשל, כדי להוכיח "לכל x חיובי קיים y חיובי הקטן ממנו", עלינו לאפשר ליריב לבחור x כרצונו; אחר-כך עלינו להראות שקיים y הקטן מן ה-x הזה, וזאת נעשה על-ידי בחירת y מתאים (למשל: <math>\ y = x/2</math>). אפשר לכתוב זאת כך:
* עלינו להוכיח שלכל <math>\ 0<x</math> יש <math>\ 0<y<x</math>. יהי <math>\ x>0</math> (היריב בוחר x *כרצונו*). נבחר <math>\ y = x/2</math>, ואז <math>\ 0<y=x/2<x</math> (כאן אנו מראים בודקים שעבור y שבחרנו, הטענה אכן מתקיימת). להלן דוגמא דומה, ושגויה בתכלית:* רוצים להוכיח שלכל n שלם קיים m (שלם) כך ש-<math>\ n^3-n=3m</math>. יהי n מספר שלם. נבחר m כך שמתקיים <math>\ n^3-n=3m</math> -- מה שהיה להוכיח.בדוגמא הזו לא *הוכחנו* שקיים m שלם המקיים את התנאי: הסתפקנו בהצהרה שהוא קיים, ו"בחרנו" אותו. זו אינה הוכחה. הבחירה צריכה להיות מפורשת, על-מנת שכל קורא (וכל בודק מבחנים) יוכל להשתכנע שאותו m אכן קיים.
נזכיר שהסדרה <math>\ a_1,a_2,\dots</math> מתכנסת לגבול L אם
להלן כמה טכניקות הוכחה שכיחות.
* "'''מספיק להוכיח ש-'''": לפעמים הדרך הקצרה ביותר להוכיח טענה מסויימת היא הוכחת טענה חזקה יותר. זהו שימוש ישיר במודוס פוננס: במקום להוכיח את Q, אנו מוכיחים את P, כאשר הטענה <math>\ P\rightarrow Q</math> ידועה מראש. למשל, כדי להוכיח "קיים מספר ראשוני הגדול מ-<math>\ 10^{4300}</math>", מספיק להוכיח שקיימים אינסוף ראשוניים.
'''הפרכה''' של טענה אינה אלא הוכחה שהטענה אינה נכונה. הדוגמא החשובה ביותר היא '''הפרכה על-ידי דוגמא נגדית''':
* כדי להפריך את הטענה <math>\ \forall x: P(x)</math>, יש להראות שקיים x שעבורו הטענה <math>\ P(x)</math> אינה נכונה. גם כאן, הדרך השכיחה ביותר היא להצביע על ערך מסויים של x שעבורו הטענה אינה נכונה.
* כידוע, שני דברים השווים לדבר שלישי שווים ביניהם (בשפה המתמטית, זוהי "תכונת הטרנזיטיביות של יחס השוויון"). הפרך את הטענה הבאה: שני דברים השונים מדבר שלישי, שונים זה מזה.
'''תרגילים'''.
** גם כאשר ההגדרה באחד הסעיפים הקודמים אינה שקולה מבחינה לוגית, על-פי הפרדיקטים שניסחתם, לכאורה יתכן שההגדרות כן שקולות, משום שיש תכונות נוספות של כיסויים פתוחים שלא לקחתם בחשבון. אלו תכונות של כיסויים פתוחים יספיקו כדי לקבוע בכל מקרה שההגדרות באמת אינן שקולות?
* '''דוגמא'''. לפני המאפיה עומדים בתור אינסוף אנשים - ראשון, שני, שלישי וכן הלאה. האם אפשר לסמן אינסוף אנשים, שאו שגובהם אינו עולה, או אינסוף אנשים שגובהם אינו יורד?'''פתרון'''. כן. נגדיר איש '''נישא''' בתור איש שאין אחריו אף אדם גבוה יותר. אם קיימים אינסוף נישאים בתור, אזי הם מהווים תור אינסופי שאינו עולה. אם לעומת זאת, יש רק מספר סופי של נישאים, נסלק את כל האנשים מהראשון בתור ועד לאחרון הנישאים. נשארנו עם אינסוף אנשים לא נישאים, כלומר שלכל אחד מהם יש מישהו הגבוה ממנו. נתחיל בראשון בתור, נעבור לגבוה ממנו, נעבור משם לגבוה ממנו, וכן הלאה, כך שיתקבל תור אינסופי שאינו יורד. === הפרכה === '''הפרכה''' של טענה אינה אלא '''הוכחה''' שהטענה אינה נכונה. הסוג הנפוץ ביותר הוא '''הפרכה על-ידי דוגמא נגדית''': * כדי להפריך את הטענה <math>\ \forall x: P(x)</math>, יש להראות שקיים x שעבורו הטענה <math>\ P(x)</math> אינה נכונה. גם כאן, הדרך השכיחה ביותר היא להצביע על ערך מסויים של x שעבורו הטענה אינה נכונה. * כידוע, שני דברים השווים לדבר שלישי שווים ביניהם (בשפה המתמטית, זוהי "תכונת הטרנזיטיביות של יחס השוויון"). הפרך את הטענה הבאה: (כל) שני דברים השונים מדבר שלישי, שונים זה מזה.
=== שגיאות נפוצות ===