88-101 חשיבה מתמטית

נושאי הסדנא:

1. אינדוקציה
2. קשרים: או, וגם
3. טבלאות אמת
4. טאוטולוגיות, סתירות, חוקי דה-מורגן
5. מודוס פוננס, סילוגיזם תקין
6. כמתים (לכל, קיים, קיים יחיד, קיימים אינסוף) + כימות יחסי (קיים אפסילון גדול מאפס, לכל אפסילון גדול מאפס)
7. שלילת פסוקים, הוכחה בדרך השלילה, הפרכה על-ידי דוגמא נגדית.
8. הצרנה, דוגמאות מהחיים, דוגמאות מהחיים המתמטיים
9. כתיבת הוכחה
10. מציאת שגיאות בהוכחות

דגשים, דוגמאות, הערות ותרגילים

קשרים

בניסוי מפורסם בתורת ההחלטות, מציגים לנבדק ארבעה כרטיסים שבגבם הסימנים A, P, 2, 3. על כל כרטיס יש אות ומספר. אלו כרטיסים יש להפוך על-מנת לבדוק את הטענה "אם בצד אחד של הכרטיס יש אות ניקוד (AEIOU) אז בצידו האחר יש מספר זוגי?" רוב גדול של האנשים עונים שיש להפוך את הכרטיס הראשון והשלישי. מה התשובה הנכונה?

כמתים

אפשר להיעזר בספר של ליניאל ופרנס לפרק זה.

לעתים מוכיחים טענה "לכל $a,b$ מתקיימת איזשהי תכונה $P(a,b)$". אחר כך בקורס, צריך להשתמש בכך ש $P(b,a)$ נכון. אבל לכאורה המשתנים לא כתובים כמו שהוכחנו. רעיון החלפת השמות של משתנים, במיוחד אם ממחזרים את אותם שמות בסדר אחר, הוא לא טריויאלי וצריך להציגו, בהדרגה:

בטענה עם כמתים, תקפותה לא תשתנה אם נשנה את שמות המשתנים.

תקפותה לא תשתנה גם אם נחליף את שמות המשתנים זה בזה.

דוגמא נוספת מאותו סוג: תהי $\sigma$ תמורה על $1,\dots,n$ ונניח שלכל $i=1,\dots,n$, יש ל $\sigma(i)$ תכונה מסויימת. אזי אפשר, לכל $i$, להציב את $\sigma^{-1}(i)$ ולהסיק שלכל $i$ יש את התכונה הזו.

(זו רק הכוונה כללית, ההצגה טעונה שיפור, וגם כדאי להביא דוגמאות קונקרטיות.)

שלילה

• שלילת הגדרות מקורסים שונים, כאשר הבנת ההגדרות לאו דוקא הכרחית: גבול סדרה, גבול פונקציה לפי היינה/קושי, רציפות במ"ש, התכנסות במ"ש, סכום ישר, חח"ע, על, ת"ל, מטריצה סימטרית, הפיכה,...

• כאן יכולה להכנס גם הדוגמא הבאה, שאיני מלמד בקורס בדידה, משום שבקונקסט שלו היא סתם מבלבלת, אבל בקורס שכולו עוסק בחשיבה לוגית-מתמטית היא מתאימה מאד לדעתי:

הפרדוקס של ראסל (המשפחה $V=\{x : x\notin x\}$ אינה קבוצה), ואחריו דיון:

תהי $A$ קבוצה כלשהי, ונגדיר $B=\{x\in A : x\notin x\}$. האם $B$ קבוצה? (כן).

למה אי אפשר לקבל סתירה כמו בפרדוקס של ראסל?

הצרנה

תרגילים ודוגמאות אלו ילוו אותנו במהלך הסדנא:

אמביוולנטיות בין עברית לבין מתמטיקה

• נניח ויש קופסא המכילה 3 כדורים אותם נחלק בין 3 אנשים. אדם א' מציץ בקופסא ואומר "לא יכול להיות שמישהו יקבל כדור ירוק". אדם ב' אינו מסתכל בקופסא ואומר "יכול להיות שמישהו יקבל כדור ירוק". שניהם צודקים מכיוון שהמושג "יכול להיות", בדבריו של אדם ב', בעצם מופיע במשמעות של "לא הוכחתי שזה בלתי אפשרי", שזו עובדה חסרת משמעות מתמטית.
• מורה אומרת לתלמידיה "שבוע הבא יהיה לכם בוחן, כך שבערב לפניו לא תדעו בוודאות על קיום הבוחן למחרת". לכאורה משפט זה יוצר סתירה לוגית כיוון שאם הבוחן ביום האחרון בשבוע, והמורה דוברת אמת, התלמדים ידעו שהבוחן יהיה למחרת, לכן המורה משקרת או שהבוחן לא ביום האחרון. כן הלאה, אם המורה דוברת אמת הבוחן לא ביום הלפני אחרון והלפני לפני אחרון, ולא יכול להיות בוחן בכלל. לכן אם המורה דוברת אמת, הרי היא משקרת. לעומת זאת, אם הבוחן יהיה ביום שלישי, התלמידים לא ידעו על כך ולכן המורה דברה אמת - סתירה. הסתירה נובעת מחוסר היכולת להגדיר מתמטית את המושג "ידעו", שכן התלמידים לא יכולים "לדעת" שהמורה אומרת אמת, ולכן לא יכולים ל"דעת" שהבוחן יהיה ביום חמישי.
• שקילות משפטים בנוסחים שונים - "ערן לובש חולצה סגולה אם הוא לובש מכנס שחור", "כאשר ערן לובש מכנס שחור אז הוא לובש חולצה סגולה", "יחד עם מכנס שחור, ערן לובש חולצה סגולה בלבד",...
• חלוקת משפטים בנוסחים שונים לקבוצות שקילות - (המשפטים לעיל), "ערן לובש מכנס שחור רק כאשר הוא לובש חולצה סגולה", "ערן לובש חולצה סגולה אם ורק אם הוא לובש מכנס שחור", "לא רק שערן לובש תמיד חולצה סגולה כאשר הוא לובש מכנס שחור, הוא לעולם לא הולך עם חולצה סגולה ללא המכנס השחור",...

ההבדל בין 'אם' לבין 'אם ורק אם'

ראו הערה בדף השיחה לגבי השימוש ב"אם" במתמטיקה. בועז

• "שמוליק נמצא בביתו אם רכבו נמצא בחנייה". כלומר, כאשר אנו רואים את הרכב בחנייה אנו יכולים להסיק ששמוליק נמצא בביתו. אולם, אילו הרכב אינו בחנייה אנו לא יודעים היכן שמוליק - ייתכן ובנו לקח את הרכב ושמוליק נשאר בביתו. "שמוליק נמצא בביתו אם ורק אם רכבו נמצא בחנייה" ממשפט זה ניתן להסיק את שני הכיוונים - אם אנו צופים ברכב בחנייה וודאי שמוליק בביתו, ואם הרכב אינו בחנייה שמוליק בוודאי נמצא בחוץ (אין לאף אחד אחר ביטוח על הרכב).

דוגמא

מילולית

נביט בשלושה משפטים:

1. השמש זורחת אם ורק אם כל התרנגולים קוראים
2. כאשר השמש זורחת, כל התרנגולים קוראים
3. כאשר התרנגול קוקי קורא, השמש זורחת

האם המשפט הראשון נובע בהכרח משני הראשונים? אם לא הבא דוגמא נגדית - כלומר, נניח ומשפטים 2 ו3 הינם אמת, האם יש מצב של זריחת השמש וקריאת התרנגולים שסותרת את המשפט הראשון?

מתמטית

1. הטור $\sum a_n$ מתכנס בהחלט אם"ם לכל סדרה חסומה $b_n$ מתקיים ש $\sum a_n\cdot b_n$ מתכנס
2. אם הטור $\sum a_n$ מתכנס בהחלט אזי לכל סדרה חסומה $b_n$ מתקיים ש $\sum a_n \cdot b_n$ מתכנס
3. קיימת סדרה חסומה $b_n$ כך שהעובדה ש$\sum a_n\cdot b_n$ מתכנס גוררת שהטור $\sum a_n$ מתכנס בהחלט

התרגיל המתמטי הזה שקול לתרגיל המילולי לעיל:

• "השמש זורחת" = "הטור $\sum a_n$ מתכנס בהחלט"
• "תרנול" = "סדרה חסומה"
• "תרנגול קורא" = "סדרה חסומה $b_n$ כך ש $\sum a_n\cdot b_n$ מתכנס"

כתיבת הוכחה

הגדרות

נדבר על חשיבות ההגדרות בעת פתרון תרגיל וכתיבת הוכחה. היום התלמידים מנסים לפתור תרגילי הוכחה מבלי שידעו כלל את ההגדרה המדויקת (גבול, תלות לינארית וכדומה).

• מתורת הקבוצות: הכלה, חיתוך, איחוד,משלים, קבוצת החזקה. כתוב תנאים השקולים לכך שאיבר שייך/אינו שייך לחיתוך/איחוד.
• נגדיר קבוצה פתוחה בתור קבוצה שהמשלימה שלה סגורה. נניח וכל תתי הקבוצות פתוחות, כמה תתי קבוצות סגורות יש?
• נניח וfg חח"ע/על, האם בהכרח f,g חח"ע/על? כתוב הוכחה מדויקת.

דוגמאות

• הטיעון הפלאי "בלי הגבלת הכלליות": מתי מותר להשתמש בו ולמה, ומתי אינו תקף (דוגמאות).

(אני אישית משתדל להמנע מטיעון זה בשנה א', כי באמת תלמידים לא מבינים מתי הוא מותר. אבל כדאי שיכירו אותו, ואת מכשלותיו. בועז)

• נסתכל על תור המכיל אינסוף אנשים, החל מהראשון בתור והלאה. הוכח/הפרך: ניתן להוציא מהתור אנשים כך שנשארים אינסוף, והם מסודרים בצורה עולה או יורדת לפי הגובה. (נניח ואין מגבלות על גובה האדם)

מציאת שגיאות

אינדוקציה שגוייה

• נוכיח שכל הפרחים בעולם הינם מאותו צבע (אדום, לצורך העניין). הנחת האינדוקציה הינה "כל קבוצה המכילה בדיוק n פרחים, מכילה פרחים מאותו צבע בלבד". בדיקה עבור קבוצה המכילה פרח אחד בלבד עובדת. כעת, נניח כי יש לנו קבוצה בעלת n+1 פרחים. ניקח פרח אחד החוצה, n הפרחים הנותרים הינם מאותו הצבע. נחליף את הפרח שהוצאנו בפרח אחר, שוב הקבוצה תהיה באותו צבע ולכן סה"כ כל הפרחים הינם מאותו צבע. מצא את השגיאה.