== הוכחות ==
עד כאן עסקנו במבנה הצורני של טענות: בתרגום לשפה פורמלית, בפסוקים שקולים וכדומה. עיקר העניין במתמטיקה אינו בטענות סתם, אלא בטענות '''נכונות'''; ולא בטענות נכונות סתם, אלא באלו שאפשר '''להוכיח'''. אם כך, עלינו ללמוד להוכיח טענות: כיצד מוכיחים, כיצד כותבים הוכחה, כיצד בודקים הוכחה, ומהן השגיאות הנפוצות שמהן יש להמנע. התשובה שניתן כאן לשאלות האלה היא חלקית ועל קצה המזלג, ותגע ברעיונות הבסיסיים בלבד. ככל שתלמדו מושגים מתקדמים ותורות חדשות, תלמדו גם טכניקות מתקדמות להוכחת טענות. ראו [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/MathWriting.html כאן] רשימה קצרה בנושא כתיבה מתמטית. דבר אחד חשוב לזכור מן הרגע הראשון: הוכחות מתמטיות כותבים '''בעברית תקנית'''. מותר להשתמש בסימנים מתמטיים לפי הצורך, אבל בלי הקפדה על שפה תקינה, על פיסוק נכון ועל בניה שיטתית של הפסקאות, אי אפשר יהיה להבין את ההוכחות שלכם.
פסוק שיש לו הוכחה מתמטית נקרא '''משפט'''. המשפטים מבוססים על משפטים קודמים להם וכן הלאה, עד שמגיעים אל האקסיומות היסודיות. בכל תורה מתמטית יש אקסיומות (למעט הלוגיקה הפסוקית, שבה אין בהן צורך). חלק מן הפסוקים האמיתיים שפגשנו קודם לכן נחשבים ל'''אקסיומות''' בכל מערכת מתמטית.
'''תרגילים'''.
* השתמש בפרדיקט <math>\ P(x,y)</math> (אדם x חובב חיות מסוג y) כדי להצרין את הטענה "כל אדם החובב חיות, חובב לפחות שני סוגים שלהן". מה יש לעשות כדי להוכיח טענה כזו? מה יש לעשות כדי להפריך אותה?
* מרחב הוא קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו, יש תת-כיסוי סופי. לצורך העניין אין זה חשוב מהו כיסוי פתוח של מרחב, מהו תת-כיסוי, ומתי תת-כיסוי הוא סופי; נעיר רק שכל תת-כיסוי הוא בעצמו כיסוי, והתכונה "a הוא תת-כיסוי של b" היא פרדיקט דו-מקומי (אם תרצו, אתם יכולים להצרין את כל הנתונים האלה). קבע אלו מההגדרות מהטענות הבאות שקולותנכונה:
** המרחב K הוא קומפקטי אם ורק אם יש לו כיסוי סופי.
** המרחב K הוא קומפקטי אם ורק אם יש לו כיסוי פתוח שיש לו תת-כיסוי סופי.
** המרחב K אינו קומפקטי אם ורק אם יש לו כיסוי פתוח שאין לו תת-כיסוי סופי.
** גם כאשר ההגדרה באחד הסעיפים הקודמים בחר אחת מההגדרות החלופיות שהוצעו לעיל, שלכאורה אינה שקולה מבחינה לוגית, על-פי הפרדיקטים שניסחתם, לכאורה לקומפקטיות. יתכן שההגדרות כן שקולותבכל זאת, משום שיש תכונות נוספות של כיסויים פתוחים שלא לקחתם בחשבון. אלו תכונות של כיסויים פתוחים יספיקו כדי לקבוע בכל מקרה שההגדרות באמת אינן שקולות?
* '''דוגמא'''. לפני המאפיה עומדים בתור אינסוף אנשים - ראשון, שני, שלישי וכן הלאה. האם אפשר לחלק לאנשים אינסוף כובעים, כך שכל חובש כובע גבוה לפחות כמו חובש הכובע שלפניו, או כך שכל חובש כובע נמוך לפחות כמו חובש הכובע שלפניו? (לפני שתגשו לפתור את השאלה, שימו לב לכך שהטענה "אפשר לחלק לאנשים אינסוף כובעים, כך שכל חובש כובע גבוה לפחות כמו חובש הכובע שלפניו, או נמוך לפחות כמו חובש הכובע שלפניו" היא טריוויאלית ואינה שקולה לטענה שאנו מנסים להוכיח).
אין שיטות בטוחות לפתרון בעיות מתמטיות (בעיות שיש שיטה לפתרונן הן, למעשה, פתורות). בכל זאת, יש לא מעט רעיונות כלליים ואסטרטגיות שיסייעו לכם לתקוף שאלות הוכחה ביעילות. חלק מהעצות סותרות זו את זו; אבל ממילא כל אחת מהן ישימה במקרים אחרים.
* '''הבינו את השאלה'''. אין טעם להתחיל לפתור בעיה לפני שהבנתם את המושגים המופיעים בה, ואת הטענה שיש להוכיח.* '''האם זה הגיוני בכלל?'''. לפני שאתם מנסים להוכיח טענה, נסו להפריך אותה! כשלון נסיונות ההפרכה יעזור לכם להבין מדוע הטענה נכונה אחרי הכל.* '''השוו לבעיות דומות'''. לפעמים אפשר לאמץ את השיטה מן הבעיה האחרת כפי שהיא; בפעמים אחרות, הבנת הסיבה לכך שהשיטה אינה עובדת יכולה לסייע בגילוי האלטרנטיבות.
* '''השוו את הנתונים למסקנות'''. לפעמים יש רק מספר דרכים מצומצם להגיע מן הנתונים אל המטרה.
* '''תכננו לפני שאתם כותבים'''. אין טעם למלא עמוד וחצי בתאור מדוקדק של הצעד הראשון בפתרון, כשאין לכם מושג איך להמשיך משם.
שגיאה נוספת, הנובעת מחוסר הבנה או חוסר תשומת לב, היא שימוש ב"טאוטולוגיות" שגויות.
* כל החתולים צהובים. רוצים להראות ש-c חתול. לשם כך מראים שהוא צהוב.
* רוצים להפריך את הטענה שלפיה כל החולצות אדומות. מצביעים בארשת נצחון על כובע בגד אדום, ושוכחים לבדוק שזו חולצה.
* הפעלת תנאי מספיק כאילו היה הכרחי: אם הוא יודע אלגברה לינארית, סימן שהוא חכם. הוא אינו יודע אלגברה לינארית, ומכאן שאינו חכם.
* רוצים להוכיח שכל הסוסים שחורים. רוזיננטה הוא סוס. הבה נוכיח שהוא שחור.
* קריאה סלקטיבית: כשהפסוק הלוגי נעשה ארוך ומסובך (אם לכל x קיים y כך ש..., אז ...), יש נטיה לשלוף קטע ממנו ולהתייחס אליו בלבד. זיכרו שגזירה במספריים אינה אופרטור חוקי בלוגיקה.