שינויים

 ==שדות=====הגדרה===קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <math>(\mathbb{F},\cdot,+מה שנעשה בהרצאה אפשר לדלג)</math> נקראת '''שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות:#'''סגירות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}</math>. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)#'''קומוטטיביות/חילופיות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math>#'''אסוציאטיביות-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}הגדרה:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)</math>#'''קיום איברים נייטרליים-''' קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים <math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a</math>[[שדה]]. בנוסף מתקיים ש<math>0\neq 1</math>#'''קיום איבר נגדי לחיבור-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math>. לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)#'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר <math>a\neq 0</math> קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math>#'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור

[בד"כ נעשה בהרצאה!] יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0</math>, כאשר <math>0 </math> הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.

לפי תכונה (4) מתקיים ש יהא <math>a\in \mathbb{F} </math>. צריך להוכיח כי <math>0+0\cdot a =0</math>

לכן לפי תכונה (4) [ניטרליות <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (</math> לחיבור] מתקיים ש <math>0+0)\cdot a=0</math>

לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף שלכן <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))

לפי תכונה (57) לאיבר [פילוג] מתקיים בנוסף ש<math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>\forall a\in\mathbb{F}:= (0\cdot a + (-(0)\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + </math> (-השתמשנו בעצם בתכונה (0\cdot a7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))</math>

לפי תכונה (35) ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל [קיום נגדי] לאיבר <math>0\forall cdot a\in\mathbb{F}:</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + (0\cdot a ) + (-(0\cdot a)))</math>

יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a</math>. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)

לכל איבר יהא a בשדה:צריך להוכיח כי <math>(-a)+a=0</math> [זה הגדרת נגדי].

מתכונה (5) ===תרגיל 1.3 סעיף ז'===יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכיחו את הטענה הבאה: <math>\forall a+\in\mathbb{F}:(-a1)\cdot a=0-a</math>. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)

כמו כןמתוך תכונות (7), מתכונה (5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, <math>(-0=0\cdot a)= (1+(-(-a1))\cdot a =01\cdot a + (-1)\cdot a</math>

נשווה את שתי ההצגות השונות של אפס לפי תכונה (4) קיבלנו <math>0=a+(-a1)=(-\cdot a)+(-(-a))</math>

נוסיף לשני האגפים את אותו האיבר לכן קיבלנו ש- <math>(a+(-a)1)+\cdot a=((-a)+(-(-a)))+</math> הוא הנגדי של <math>a</math>כפי שרצינו.

לפי תכונות (3), (2) ו(5) נקבל ====פתרון====נניח <math>ab=0</math>. צ"ל שאחד מהם אפס.אם <math>a=0</math> סיימנואחרת <math>a\neq 0 </math> ולכן קיים לו הופכי <math>a^{-(1}</math>. נכפיל את ההופכי של a בשני האגפים ונקבל<math>b=a^{-1}ab=a)^{-1}0=0</math> כפי שרצינווסיימנו.

 ===תרגיל 12.3 סעיף זא'===יהי שדה [בד"כ נעשה בהרצאה!]יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{FN}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: <math>=\forall a\in\mathbb{F}:(-1),2,3,....\cdot a=-a}</math>אינה שדה. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)

מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>0=0\cdot a = (1+(-1))forall n,k\cdot a = 1in\cdot a mathbb{N}:n+ (-1)\cdot ak>n</math>, ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.

נוסיף לשני האגפים את הנגדי של a ונקבל <math>-a=הוכיחו שבשה יש רק איבר אחד שנטרלי לכפל. (-1כלומר, איבר היחידה הוא יחיד)\cdot a</math> כפי שרצינו.

===תרגיל 2.3 סעיף א'===הוכיחו שבשדה לכל איבר יש להוכיח שקבוצת הטבעיים <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,....\}</math> אינה שדההופכי יחיד.

===תרגיל=פתרון====אין איבר נייטרלי לחיבור: <math>\forall n,k\in\mathbb{N}:n+k>n</math> ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים <math>n+0=n</math>.

יש להוכיח ש [בד"כ נעשה בהרצאה!]הגדרה: נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\}</math> אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk).

דעו שעובדה: עבור n=p ראשוני הקבוצה <math>\mathbb{Z}_n_p=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{p-1}\}</math> הינו קבוצה מהצורה הינה שדה ביחס לחיבור וכפל מודלו p. הניטרלי לחיבור הוא 0 והנטרלי לכפל הוא 1. למשל <math>\mathbb{Z}_n_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}</math> תרגיל: הוכיחו כי ש<math>\mathbb{Z}_n</math> יחד עם פעולות אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk)ביחס לפעולות החיבור והכפל הרגילות מודולו n.

לפי הנתונים קיימים <math>0<k,m<n</math> כך ש <math>mk=n</math>. לפיכך, לפי ההגדרה,

לו היה זה שדה, היו קיימים איברים הופכיים (שכן k,m mod n שונה מאפס) בהם היה ניתן לכפול והיינו מקבלים:  כלומר יש מחלקי אפס. כיוון שבשדה אין מחלקי אפס נסיק כי <math>\overlinemathbb{kZ}^{-1}\overline{m}^{-1}\cdot 0 = 1_n</math>  ולכן 0=1 בסתירה לתכונות השדהאינו שדה במקרה זה.

לא. ניקח <math>(0+i)\cdot(1+0\cdot i)=0</math> כלומר יש לנו איברים שונים מאפס שמכפלתם הינה אפס. בדומה לתרגיל קודםכלומר מחלקי אפס אבל בשדה אין מחלקי אפס! ===תרגיל 3.4===הצג את הביטוי הבא בצורה <math>z=a+bi</math> וציין מהם <math>Re(z), אם Im(z),\overline{z},|z|</math>. הביטוי הינו: <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math> ====פתרון====נכפול בהופכיים שלהם בצמוד למכנה למעלה ולמטה <math>\frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}</math>.   נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי <math>\frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1}</math> וכעת רשמנו <math>(5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}]</math>  לפיכך נקבל <math>z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i</math>  <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}}</math> <math>Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13}</math> <math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math> ===תכונות של מרוכבים===*<math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math>  *<math>\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}</math>  *<math>\overline{z}z=|z|^2</math>  *<math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> ===משפט דמואבר===[אפשר לדלג] ידוע שניתן להציג כל מספר מרוכב באופן יחיד בצורה <math>z=rcis\theta = r(cos\theta + i\cdot sin\theta)</math> כאשר r הוא ממשי אי-שלילי (המציין את המרחק מראשית הצירים ושווה ל |z|) והזווית <math>\theta</math> נמדדת נגד כיוון השעון מהקרן החיובית של ציר x. צורה זו נקראת הצורה הקוטבית של מספר מרוכב z. (ההצגה של המספר המרוכב z=a+bi, נקראת ההצגה הקרטזית שלו) משפט דמואבר אומר ש <math>(rcis\theta)^n=r^ncis(n\theta)</math> ===תרגיל 3.8 א'===חשב את <math>(1+\sqrt{3}i)^{2011}</math> ===פתרון===דבר ראשון נעבור לצורה קוטבית. בהנתן מספר מרוכב z=a+bi המעבר לצורה הקוטבית שלו <math>z=r\cdot cis(\theta)</math> מתבצע על ידי <math>r=|z|, cos\theta = \frac{a}{r}</math>  אצלנו בשאלה  <math>r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2</math>  <math>cos\theta = \frac{a}{r}=\frac{1}{2}</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{3}</math>  ביחד <math>z=2cis\frac{\pi}{3}</math> ולכן <math>z^{2011}=2^{2011} cis 2011\frac{\pi}{3}</math> מכיוון שגם הסינוס וגם הקוסינוס הם ממחזור שני פאי, זה שווה ל <math>2^{2011}cis(335\cdot 2\pi+\frac{\pi}{3})=2^{2011}cis\frac{\pi}{3}</math> === תרגיל ===פתרון את המשוואה <math>z^5=3+4i</math> === תרגיל ===מצאו דרך פשוטה לסובב נקודה במישור <math>\left(a,b\right)</math> בזווית <math>\theta</math> (כלומר למצוא את הנקודה במישור המתקבלת לאחר הסיבוב) פתרון: נחשוב במרוכבים על האיבר <math>a+bi</math> ונכפיל אותו ב <math>cis(\theta)</math> === תרגיל ===חשבו את הסכום <math>\cos(1)+\cdots +\cos(n)</math> פתרון: ניעזר במרוכבים: <math>\sum_{k=1}^{n}\cos(k)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(k)\right)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}\text{cis}(1)^{k}\right)</math> ===תרגיל (חשוב) ==='''לרוב נעשה בהרצאה''' - ולכן הצעה: הוכיחו שלפולינום <math>p(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5</math> יש שורש ממשי (בלי להזכיר את המשפט מההרצאה, לוודא שהם זוכרים לבד). אחרי זה אפשר להזכיר, אם נדרש, את ההגדרה והמשפט, ולעבור למסקנה. הגדרה: פולינום עם מקדמים משדה <math>\mathbb{F}</math> ומשתנה x הוא <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n</math> כאשר <math>a_i</math> קבועים מהשדה.בהיתן פולינום <math>p(x)</math> ואיבר בשדה <math>a</math> נוכל להציב את a בפולינום לקבל איבר בשדה <math>p(a)=\sum_{i=0 בסתירה}^{n}a_ia^i</math>.עוד נגדיר: a יקרא שורש של פולינום <math>p(x)</math> אם <math>p(a)=0</math> יהא <math>p(x)</math> פולינום עם מקדמים ממשיים. הוכיחו שאם <math>z\in \mathbb{C}</math> שורש של פולינום <math>p(x)</math> אזי גם <math>\bar{z}</math> שורש של אותו פולינום. הוכחה: בשימוש תכונות הצמוד. ==== ~מסקנה====הסיקו (קצת בנפנופי ידיים, העיקר התובנה) שכל פולינום ממשי ניתן לפירוק לגורמים מדרגה קטנה שווה 2.היעזרו במשפט היסודי של האלגברה: כל פולינום מרוכב מדרגה <math>n</math> ניתן לפירוק למכפלה של <math>n</math> גורמים בדיוק מהצורה <math>\left(x-a\right)</math>