הגדרה: '''כפל מטריצות''' יהיו <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n},\, B\in \mathbb{F}^{n\times kp}</math> (שימו לב שמספר העמודות של A זהה למספר השורות של B ) אזי המכפלה
<math>AB\in \mathbb{F}^{m\times k}</math> והאיבר הij בכפל AB מוגדר להיות <math>[AB]_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}</math>
=== תכונות ===
כאשר הפעולות מוגדרות מתקיים כי
*כפל מטריצות קיבוצי כלומר <math>(AB)C=A(BC)</math>.
(לא מומלץ לעשות בתירגול) הוכחה: נסמן
<math>A\in \mathbb{F}^{m\times n},\, B\in \mathbb{F}^{n\times p},\, C\in \mathbb{F}^{p\times l}</math>
* פילוג: מתקיים כי <math>A(B+C)=AB+BC</math>
* הוצאת סקלאר <math>\alpha</math>: מתקיים כי <math>\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)</math>
*חילוף בחיבור <math>A+B=B+A</math>
* ''' הערה: באופן כללי, כפל מטריצות אינו חייב להיות חילופי. כלומר, לא תמיד AB=BA !!'''
נתונה מערכת של m משוואות בn נעלמים: Ax=b. נסמן ב <math>H=\{v\in\mathbb{F}^n:Av=0\}</math> את קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה, וב<math>L=\{v\in\mathbb{F}^n:Av=b\}</math> את קבוצת הפתרונות של המערכת הלא-הומוגנית. הוכח את הטענות הבאות:
====ג(עושים בהרצאה)====
נניח <math>L</math> אינה קבוצה ריקה ויהא <math>v_1\in L</math> פתרון למערכת הלא הומוגנית.
הוכח כי <math>L=\{v_1+v|v\in H\}=v_1 + H</math>. במילים אחרות, כל פתרון של המערכת הלא הומגונית מתקבל מפתרון למערכת ההומוגנית + <math>v_1</math>.
(גם להיפך מתקיים <math>H=L-v_1 =\{v-v_1 : v\in L\}</math>
=====פתרון=====
נוכיח הכלה דו כיוונית.
=====פתרון=====
נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> ובוקטור הפתרונות <math>Ab=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>. במערכת Ax=b מעל הממשיים ישנה שורת סתירה, ולכן אין לה פתרונות, ואילו למערכת ההומוגנית יש אינסוף פתרונות. קבוצת הפתרונות היא
<math>\{\left( \begin{array}{c}
-t \\
</math>
====ו(בקיץ לא לומדים שדות סופיים)====
מצא מקרה שבו אין פתרונות למערכת הלא הומוגנית, אך יש 7 פתרונות למערכת ההומוגנית
====כפל שורה שורה ====
נביט במטריצה <math>A=\begin{pmatrix} -R_1- \\ -R_2- \\ \vdots \\ -R_n- \end{pmatrix}</math> ששורותיה הן <math>R_1,...,R_n</math>, ונביט בוקטור השורה <math>x=(a_1,...,a_n)</math>. מתקיים ש<math>xA=\sum_{i=1}^na_iR_i</math>. במילים - הכפל של השורה <math>x </math> במטריצה <math>A </math> הינה סכום של שורות <math>A </math> כפול הקבועים מהשורה <math>x</math>. נובע בקלות שהשורה ה-j בכפל <math>AB </math> הינה סכום שורות <math>B </math> כפול הקבועים המתאימים מהשורה ה-j של <math>A</math>. למעשה זהו מקרה פרטי של הכפל הרגיל BA <math>AB</math> עבור מטריצה B<math>A=x מגודל 1על \in \mathbb{F}^{1\times n }</math> ומטריצה A מגודל <math>B\in \mathbb{F}^{n על \times m}</math>, ולכן התוצאה שנקבל היא מטריצה 1 על m הלא הוא וקטור שורה.
דוגמא
\end{array}\right)</math>
===תרגיל ===תהא<math>A=\left(\begin{array}{ccc}1 & * & *\\0 & * & 3\end{array}\right)</math> ונתון שלמערכת לא בהכרח הומוגנית קיימים שני הפתרונות<math>\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)</math>.האם המטריצה <math>A</math> יכולה להיות בצורה קנונית?===תרגיל 3.7===תהא מערכת Ax=b, יהיה v פתרון למערכת הלא-הומוגנית ו-w פתרון למערכת ההומוגנית Ax=0. נגדיר <math>B=(v,w,v+w,v-w,w-v)</math> חשב את AB ====פתרון====לפי כפל עמודה עמודה (או כפל של מטריצות בלוקים) קל לוודא ש <math>AB=(b,0,b,b,-b)</math> ====כפל מטריצת בלוקים (אפשר לדלג) ====
'''מטריצת בלוקים'''. מטריצה בלוקים הינה מטריצה הבנוייה ממספר מטריצות קטנות יותר (המכונות בלוקים). לדוגמא, ניקח את המטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. אזי מטריצת הבלוקים מוגדרת להיות <math>C=(A|B)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}</math>
'''הוכחה''': נובע בקלות מכפל-עמודה המוזכר לעיל.
===תרגיל 3.7===באופן כללי יהיו תהא מערכת Ax=b, יהיה v פתרון למערכת הלא-הומוגנית ו-w פתרון למערכת ההומוגנית Ax=0. נגדיר <math>BM_1 =\left(v\! \begin{array}{c|c}A & B \\\hline C & D\\\end{array}\!\right),w\,v+w,v-w,w-vM_2 = \left(\! \begin{array}{c|c}X & Y \\\hline Z & W\\\end{array}\!\right)</math> חשב את AB
====פתרון====</math>לפי כפל עמודה עמודה כך שכל הכפלים הבאים מוגדרים (או כפל של מטריצות בלוקיםמבחנית גדלי המטריצות) קל לוודא ש אזי מתקיים <math>ABM_1\cdot M_2 = \left(b,0,b,b,-b\! \begin{array}{c|c}\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Z \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} Y \\ W \end{pmatrix} \\\hline \begin{pmatrix} C & D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X \\ Z \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} C & D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} Y \\ W \end{pmatrix} \\ \end{array}\!\right)</math> במילים אחרות: כאשר הכפל מוגדר אפשר להכפיל בלוקים של מטריצה כאילו היו איברים במטריצה!
===שחלוף וסימטריות===
'''הגדרה''': תהי מטריצה <math>A \in F^{n \times m}</math>. אזי המטריצה המשוחלפת <math>A^t \in F^{m \times n}</math> מוגדרת ע"י <math>[A^t]_{ij}=[A]_{ji}</math>. כלומר, האיבר בשורה ה-i והעמודה ה-j של המטריצה המשוחלפת הוא האיבר בשורה ה-j והעמודה ה-i של המטריצה המקורית - הפכנו את השורות לעמודות, ואת העמודות לשורות.
'''דוגמא''': אם <math>A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}</math> אזי <math>A^t=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}</math>
'''הגדרה''': מטריצה נקראת סימטרית אם היא שווה למשוחלפת של עצמה; כלומר <math>A=A^t</math> (השורות והעמודות שלה זהות). מטריצה נקראת אנטי-סימטרית אם <math>A=-A^t</math>
א. הוכח שלכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> המטריצה <math>AA^t</math> הינה סימטרית.
ב. הוכח שלכל מטריצה ריבועית A (כלומר <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> )מתקיים שהמטריצה <math>A+A^t</math> סימטרית, ואילו המטריצה <math>A-A^t</math> אנטי סימטרית.
====פתרון====
א. תהי A מטריצה ריבועית ממשית (כלומר שאיבריה משדה הממשיים) אנטי סימטרית. הוכח שכל איברי האלכסון שלה שווים לאפס.
ב. (כשמלמדים שדות סופיים) האם הטענה נכונה למטריצות ריבועיות אנטי סימטריות מעל שדות אחרים? אפיין בדיוק את השדות מעליהם הטענה נכונה.
====פתרון====
לכן, בכל שדה ממאפיין שונה מ-2 (כלומר סכום שתי אחדות אינו אפס) קל לראות שאיברי האלכסון '''חייבים''' להיות אפס. לעומת זאת, בכל שדה ממאפיין שתים קל לראות שהמטריצה <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> הינה אנטי סימטרית שכן אם <math>1+1=0</math> נובע ש<math>1=-1</math> ולכן מתקיים ש <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>. כמו כן, ברור שאיברי האלכסון של המטריצה הנ"ל שונים מאפס.
===תרגיל===
מצאו מטריצה ממשית שהיא גם סימטרית וגם אנטי סימטרית. הוכיחו כי קיימת מטריצה יחידה כזאת.
==מטריצות ריבועיות==
'''הגדרה''': מטריצה ריבועית היא <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math>
מטריצות מיוחדות :
* מטריצת היחידה היא
<math>I_{n}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)</math>
מטריצה היחידה מקיימת את התכונה שלכל מטריצה ריבועית <math>A</math> מתקיים כי <math>A\cdot I=I\cdot A =A</math>
* מטריצת האפס היא
<math>0_{n}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0\\
0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>
מטריצה האפס מקיימת את התכונה שלכל מטריצה ריבועית <math>A</math>
מתקיים כי <math>A\cdot 0=0\cdot A =0</math>
וגם <math>A+ 0=0+ A =A</math>
*מטריצה משולשית
:* מטריצה משולשית עליונה היא מהצורה
<math>A=\left(\begin{array}{ccc}
* & * & *\\
0 & \ddots & *\\
0 & 0 & *
\end{array}\right)</math> כלומר <math>a_{ij}=0</math> לכל <math>j<i</math> .
:* מטריצה משולשית תחתונה היא מהצורה
<math>A=\left(\begin{array}{ccc}
* & 0 & 0\\
* & \ddots & 0\\
* & * & *
\end{array}\right)</math> כלומר <math>a_{ij}=0</math> לכל <math>i<j</math> .
* מטריצה אלכסונית היא מהצורה
<math>A=\left(\begin{array}{ccc}
* & 0 & 0\\
0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & *
\end{array}\right)</math> כלומר <math>a_{ij}=0</math> לכל <math>i\not=j</math> .
* מטריצה סקלארית היא מהצורה
<math>A=\left(\begin{array}{ccc}
\alpha & 0 & 0\\
0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & \alpha
\end{array}\right)=\alpha I_{n}</math>
==== תרגיל ====
*הוכיחו כי כפל של סקלאריות היא סקאלרית
*הוכיחו שכפל של אלכסוניות היא אלכסונית
*הוכיחו כי כפל של משולשיות (מאותו סוג) הוא משולשית (מאותו סוג).
=== עקבה ===
'''הגדרה''': העקבה (trace) של מטריצה ריבועית הינה סכום איברי האלכסון של המטריצה.
'''תכונות''':
*<math>tr(A^t)=tr(A)</math>
*<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>
*<math>tr(AB)=tr(BA)</math>
'''הגדרה''': מטריצת היחידה *<math>Itr(\alpha A)=\alpha \cdot tr(A)</math> הינה המטריצה שעל האלכסון שלה יש אחדות, ואפס בכל מקום אחר. לכל מטריצה ריבועית A מתקיים AI=IA=A.
===תרגיל 5.10 וחצי===
ב. עבור המרוכבים ההוכחה הינה דומה, פשוט מקבלים עבור וקטור מרוכב כללי <math>v=(z_1,...,z_n)</math> מתקיים ש <math>vv^*=|z_1|^2+...+|z_n|^2</math> ואז בעזרת טענה דומה מקבלים שכל איברי המטריצה הינם אפס.
===תרגיל===
ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>AA^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה סימטרית <math>B\in \mathbb{F}^{m\times m}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> כך ש- <math>B=AA^t</math>?
====פתרון====
לא. למשל המטריצה הסימטרית <math>B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math> לא כזו כי אילו הייתה <math>A</math> מתאימה אז לפי תרגיל קודם כל איברי האלכסון היו אי-שליליים בסתירה.
===תרגיל===
ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>A+A^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה סימטרית <math>B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש- <math>B=A+A^t</math>?
כן: מגדירים את A ע"י חלוקה ל-3 מקרים: מעל האלכסון 0, מתחת כמו B, באלכסון חצי מ-B.