==דוגמאות ==
1. #<math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math> וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math> 2.#מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר. 3.#מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית <math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים. 4.#מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים. 5. #<math>V=\mathbb{R}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{Q}</math> עם חיבור וכפל "רגילים". 6. #<math>V=\mathbb{C}^{3}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>. הערה: #<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math>#<math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha \cdot x,y)</math> כי למשל <math>(1+1)\cdot 2\cdot(0,1)= (0,1)\neq (0,2)=1\cdot(0,1)+1\cdot(0,1)</math>.#<math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha^2 \cdot x,\alpha^2\cdot y)</math>
==תתי מרחבים ==
יקרא '''תת מרחב''' אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות '''V'''. סימון <math>W\leq V</math>
הערה''קריטריון מקוצר'': כדי לבדוק אם <math>W\subseteq V</math> הוא תת מרחב מספיק לבדוק :#לכל איבר נטרלי: <math>w,u\in W0</math> מתקיים#מוגדרות: של <math>V</math> נמצא ב-<math>u+w\in W</math> .;#איבר נטרליסגירות לחיבור: 0 של לכל <math>Vw,u\in W</math> נמצא ב- מתקיים <math>u+w\in W</math> ;#אקסיומות כפל סגירות לכפל בסקלאר: לכל <math>w\in W,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים##מוגדרות <math>\alpha w\in W</math> .
את שאר האקסיומות <math>W</math> יורש מ <math>V</math> כתת קבוצה.
===דוגמאות ודוגמאות נגדיות ===
1. עבור המישור האוקלידי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> :
א. <math> W=\{(x,0)\,|\, x\in \mathbb{R} \}</math> (ציר ה<math>x</math>) הוא תת מרחב (קל לראות). ב. <math> W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}</math> (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי
<math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math>
בג. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}</math>
(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי <math>\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W</math>
גד. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math> קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף (לפי הסעיף הבא:).
2. תהא <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>.
פורמאלית <math>W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n </math>.
הוכחתם בהרצאה כי <math>W\leq \mathbb{F}^n</math> הוא תת מרחב
טענה <math>W\leq \mathbb{F}^n</math> תת מרחב
הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר
# ברור ש <math>W</math> לא ריקה כי <math>0\in W</math>
# לכל <math>v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות כי <math>\alpha v_1 +v_2 \in W</math>. לפי הגדרה צריך להראות כי <math>A(\alpha v_1 +v_2)=0</math>. ואכן, <math>A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0</math>.
3. מרחב המטריצות <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>:
3. מרחב המטריצות <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>
א. המטריצות מסוג
<math>W=\{\left(\begin{array}{cccc}
משפט: יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.
אזי חיתוך תתי המרחבים <math>W_1\cap W_1W_2:=\{v\in V:\, v\in W_1\land v\in W_2\}</math> הינו תת מרחב.
הערה: זהו התת מרחב הכי "גדול" שמוכל ב <math>W_1,W_2</math>. פורמאליתכלומר, כל תת מרחב <math>U</math> המקיים כי <math>U\subseteq W_1,W_2</math> יקיים כי <math>U\subseteq W_1\cap W_2</math> .
====דוגמא 1====
1. יהי <math>V = \mathbb{R}^4 </math>. נגדיר שתי שני תת מרחבים
<math>W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+x_4 =0\} </math>
<math>W_1\cap W_2= \{ v \; | \; \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2\end{pmatrix} v =0 \}</math>
ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת לא הומוגנית. נעשה זאת
<math>
\begin{pmatrix}
====דוגמא 2====
יהי <math>V = \mathbb{R}^3 </math>. נגדיר שתי שני תת מרחבים
<math>W_1=\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
</math>
שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה במשוואהבחיתוך. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את <math>\alpha_1,\alpha_2</math> או את <math>\alpha_3,\alpha_4</math> כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).
בעצם, זה שוב לפתור מערכת משוואות כאשר הנעלמים הם <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4</math>. הנה המערכת (אחרי שנעביר אגף):
ישירות- אם <math>A</math> גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים <math>-A=A^t=A</math>. נעביר אגף ונקבל <math>2A=0</math>. נחלק ב 2 ונקבל כי <math>A=0</math>
====דוגמא 4====
<math>V=\mathbb{R}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> . חיתוך של המטריצות המשולשיות התחתונות והמטריצות המשולשיות העליונות.
=== סכום תתי מרחבים===
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.
נרצה למצוא את התת מרחב <math>W</math> הכי "קטן" שמכיל את <math>W_1,W_2</math>. נסמן תת מרחב זה ב <math>W</math> אז פורמאלית, נרצה "קטן" הכוונה כי כל תת מרחב <math>U</math> המקיים <math> W_1,W_2\subseteq U</math> בהכרח יקיים גם <math>W\subseteq U</math>.
יש שיחשבו שהתת מרחב הכי קטן שמכיל את <math>W_1,W_2</math> הוא האיחוד את <math>W_1,\cup W_2</math>.
אבל התשובה שגויה כיוון שהאיחוד לא בהכרח תת מרחב כפי שנוכיח בתרגיל הבא.
'''תרגיל: (בהרצאה בד"כ)'''
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים. אזי
<math>W_1,\cup W_2\leq V</math> אמ"מ (<math>W_1\subseteq W_2 \lor W_2\subseteq W_1</math>) כלומר אחד מתת המרחב מוכל בשני.
'''הוכחה:'''
כיוון ראשון (<math>\Leftarrow</math>): פשוט, אם אחד מוכל בשני אזי האיחוד שווה ל <math>W_i</math> (כאשר <math>i</math> שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה) שהוא תת מרחב.
====סכום תתי מרחבים וסכום ישר ====
'''הגדרה: ''' <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.אזי '''סכום תתי המרחבים''' <math>W_1 + W_1W_2:=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\}</math> הינו תת מרחב. תכונה: לכל תת מרחב <math>U</math> עבורו <math> W_1,W_2\subseteq U</math> מתקיים כי <math> W_1+ W_2 \subseteq U</math>.
הערה'''הגדרה: זהו התת מרחב הכי "קטן" המכיל את שני תת המרחב. פורמאלית, כל תת מרחב ''' הסכום <math>UW_1+W_2</math> המקיים כי יקרא '''סכום ישר''' אם <math> W_1,\cap W_2= \subseteq U{0\}</math> יקיים כי . סימון <math> W_1+ \oplus W_2 \subseteq U</math>.
הגדרה: הסכום <math>W_1+W_2</math> יקרא '''סכום ישרדוגמאות:''' אם <math>W_1\cap W_2 = \{0\}</math>. סימון <math>W_1 \oplus W_2</math>
דוגמאות:
1. ב <math>V=\mathbb{R}^3</math> נגדיר שני תת מרחב
<math>W_1=\{\alpha\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}
יהא <math>(a_1,\dots ,a_n)=v\in W_1\cap W_2</math> צ"ל שזהו וקטור האפס. בגלל ש <math>v\in W_1</math> ניתן להציג אותו כ <math>v=(a,a,\dots ,a)</math>, כיוון ש <math>v\in W_2</math> צריך להתקיים <math>a+a+\dots +a =na=0</math> ולכן <math>a=0</math> ולכן <math>v=0</math>
==== תרגיל ====
במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math>, הוכיחו כי <math>W_{1}=\left\{ p(x)\,|\,p(2)=0\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ p(x)\,|\,p(x)=x\cdot p'(x)\right\}</math> הם תתי מרחבים. חשבו את החיתוך והסכום שלהם. הראו שהסכום ישר.
=== תרגיל ====
במרחב <math>V=\mathbb{R}^{4}</math>, מצאו את החיתוך והסכום של
<math>W_{1}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\\-a_{1}+2a_{3}=0\end{array}\right\}</math>
ו
<math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}</math>