הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏הגדרת המרחב הנפרש (span))
(←‏הגדרת המרחב הנפרש (span))
שורה 7: שורה 7:
  
 
שימו לב: span של קבוצה אינסופית הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל קבוצה סופית של וקטורים שנבחר מבין המרחב כולו.
 
שימו לב: span של קבוצה אינסופית הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל קבוצה סופית של וקטורים שנבחר מבין המרחב כולו.
 +
 +
==תכונות המרחב הנפרש==
 +
עד כה תארנו את הspan כקבוצה ואילו פנינו אליו בשם 'מרחב'. הסיבה היא שהspan הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. לא רק שהמרחב הנפרש הוא אכן מרחב, הוא המרחב הקטן ביותר המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש:
 +
 +
===תרגיל===
 +
יהי V מ"ו ותהי A תת קבוצה שלו. הוכח שלכל תת מרחב W כך ש A מוכלת בW, מתקיים ש <math>spanA\subseteq W</math>.
 +
====הוכחה====
 +
אם <math>v\in spanA</math> אזי קיימים וקטורים וסקלרים <math>v_1,...,v_k\in A</math>, <math>a_1,...,a_k\in\mathbb{F}</math> כך שמתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k</math>. מתוך הנתון ש<math>A\subseteq W</math> נובע ש<math>v_1,...,v_k\in W</math> ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W</math> משל.

גרסה מ־11:22, 29 ביולי 2011

צירופים לינאריים, תלות לינארית ומרחבים נפרשים (span)

הגדרת צירוף לינארי

יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F} ויהיו v_1,...,v_n\in V וקטורים במרחב. צירוף לינארי של v_1,...,v_n הינו וקטור במרחב v\in V כך שקיימים סקלרים בשדה a_1,...,a_n\in\mathbb{F} המקיימים v=a_1v_1+...+a_nv_n.

הגדרת המרחב הנפרש (span)

בתנאי ההגדרה לעיל; המרחב הנפרש על ידי הוקטורים v_1,...,v_n מוגדר להיות קבוצת (אוסף) כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים הללו. כלומר, span\{v_1,...,v_n\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+anv_n=v\}.

שימו לב: span של קבוצה אינסופית הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל קבוצה סופית של וקטורים שנבחר מבין המרחב כולו.

תכונות המרחב הנפרש

עד כה תארנו את הspan כקבוצה ואילו פנינו אליו בשם 'מרחב'. הסיבה היא שהspan הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. לא רק שהמרחב הנפרש הוא אכן מרחב, הוא המרחב הקטן ביותר המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש:

תרגיל

יהי V מ"ו ותהי A תת קבוצה שלו. הוכח שלכל תת מרחב W כך ש A מוכלת בW, מתקיים ש spanA\subseteq W.

הוכחה

אם v\in spanA אזי קיימים וקטורים וסקלרים v_1,...,v_k\in A, a_1,...,a_k\in\mathbb{F} כך שמתקיים v=a_1v_1+...+a_kv_k. מתוך הנתון שA\subseteq W נובע שv_1,...,v_k\in W ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W משל.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_לינארית_1_תיכוניסטים_קיץ_תשעא/מערך_תרגול/5&oldid=11856