הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(תלות לינארית=)
שורה 20: שורה 20:
 
קל לראות ש<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.
 
קל לראות ש<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.
  
==תלות לינארית===
+
==תלות לינארית==
 
דיברנו על כך שצירופים לינאריים הינם כל הסכומים (כולל קבועים) של הוקטורים הנתונים. אם נסתכל על פרישה באופן גיאומטרי, אנו רואים שעל ידי וקטורים נפרשים: קו ישר, מישור, מרחב או משהו 4 מימדי ומעלה. כעת, אנו רוצים לראות אילו מהוקטורים "מיותר" כלומר, אם אנחנו יודעים ש10 וקטורים פורשים מישור מסויים, כמה וקטורים מהם אפשר להסיר ועדיין לקבל את אותו המישור? במקרה וניתן להסיר וקטור כלשהו, קבוצה הוקטורים תקרא '''תלויה לינארית'''.
 
דיברנו על כך שצירופים לינאריים הינם כל הסכומים (כולל קבועים) של הוקטורים הנתונים. אם נסתכל על פרישה באופן גיאומטרי, אנו רואים שעל ידי וקטורים נפרשים: קו ישר, מישור, מרחב או משהו 4 מימדי ומעלה. כעת, אנו רוצים לראות אילו מהוקטורים "מיותר" כלומר, אם אנחנו יודעים ש10 וקטורים פורשים מישור מסויים, כמה וקטורים מהם אפשר להסיר ועדיין לקבל את אותו המישור? במקרה וניתן להסיר וקטור כלשהו, קבוצה הוקטורים תקרא '''תלויה לינארית'''.
  
שורה 54: שורה 54:
  
  
*אם הוקטורים שייכים למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> יוצא שהמטריצה הינה ריבועית וידוע שיש במקרה זה פתרון יחיד למערכת אם"ם המטריצה הפיכה. אם נציב b=0 ניתן להסיק מכך שלמערכת ההומוגית יש פתרון יחיד אם"ם המטריצה הפיכה. למערכת ההומוגנית יש פתרון יחיד אם"ם הצירוף הלינארי היחיד של הוקטורים שמתאפס הינו הצירוף הלינארי הטריוויאלי (אפסים) ולכן '''המטריצה הפיכה אם"ם העמודות שלה בת"ל'''
+
*אם הוקטורים שייכים למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> יוצא שהמטריצה הינה ריבועית וידוע שיש במקרה זה פתרון יחיד למערכת אם"ם המטריצה הפיכה. אם נציב b=0 ניתן להסיק מכך שלמערכת ההומוגית יש פתרון יחיד אם"ם המטריצה הפיכה. למערכת ההומוגנית יש פתרון יחיד אם"ם הצירוף הלינארי היחיד של הוקטורים שמתאפס הינו הצירוף הלינארי הטריוויאלי (אפסים) ולכן '''המטריצה הפיכה אם"ם העמודות שלה בת"ל'''. מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק ש'''מטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל'''.

גרסה מ־11:48, 29 ביולי 2011

צירופים לינאריים, תלות לינארית ומרחבים נפרשים (span)

הגדרת צירוף לינארי

יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F} ויהיו v_1,...,v_n\in V וקטורים במרחב. צירוף לינארי של v_1,...,v_n הינו וקטור במרחב v\in V כך שקיימים סקלרים בשדה a_1,...,a_n\in\mathbb{F} המקיימים v=a_1v_1+...+a_nv_n.

המרחב הנפרש (span)

בתנאי ההגדרה לעיל; המרחב הנפרש על ידי הוקטורים v_1,...,v_n מוגדר להיות קבוצת (אוסף) כל הצירופים הלינאריים של הוקטורים הללו. כלומר, span\{v_1,...,v_n\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+anv_n=v\}.

שימו לב: span של קבוצה אינסופית הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל קבוצה סופית של וקטורים שנבחר מבין המרחב כולו.


עד כה תארנו את הspan כקבוצה ואילו פנינו אליו בשם 'מרחב'. הסיבה היא שהspan הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. לא רק שהמרחב הנפרש הוא אכן מרחב, הוא המרחב הקטן ביותר המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש:

תרגיל

יהי V מ"ו ותהי A תת קבוצה שלו. הוכח שלכל תת מרחב W כך ש A מוכלת בW, מתקיים ש spanA\subseteq W.

הוכחה

אם v\in spanA אזי קיימים וקטורים וסקלרים v_1,...,v_k\in A, a_1,...,a_k\in\mathbb{F} כך שמתקיים v=a_1v_1+...+a_kv_k. מתוך הנתון שA\subseteq W נובע שv_1,...,v_k\in W ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W משל.


קל לראות שU+W=span\{U\cup W\}, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.

תלות לינארית

דיברנו על כך שצירופים לינאריים הינם כל הסכומים (כולל קבועים) של הוקטורים הנתונים. אם נסתכל על פרישה באופן גיאומטרי, אנו רואים שעל ידי וקטורים נפרשים: קו ישר, מישור, מרחב או משהו 4 מימדי ומעלה. כעת, אנו רוצים לראות אילו מהוקטורים "מיותר" כלומר, אם אנחנו יודעים ש10 וקטורים פורשים מישור מסויים, כמה וקטורים מהם אפשר להסיר ועדיין לקבל את אותו המישור? במקרה וניתן להסיר וקטור כלשהו, קבוצה הוקטורים תקרא תלויה לינארית.


הגדרה: וקטורים v_1,...,v_n נקראים תלויים לינארית אם קיימים סקלרים a_1,...,a_n\in\mathbb{F} כך שמתקיימות שתי התכונות הבאות:

  • לפחות אחד מבין הסקלרים שונה מאפס
  • מתקיים שa_1v_1+...+a_nv_n=0


הגדרה: וקטורים נקראים בלתי תלויים לינארית (בת"ל) אם הם אינם תלויים לינארית.


משפט: וקטורים v_1,...,v_n בת"ל אם"ם הצירוף הלינארי היחיד שלהם שמתאפס הוא הצירוף הלינארי הטריוויאלי (כלומר, כל הסקלרים אפסים). זה נובע בקלות בעזרת שלילה לוגית.


תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות

הוכח:

  • b\in span\{v_1,...,v_n\} אם"ם קיים פתרון למערכת Ax=b כאשר A=(v_1 v_2 \cdots v_n) הינה המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים v_1,...,v_n


  • במקרה זה הפתרון x הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b. כלומר, כאשר x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} מתקיים b=x_1v_1+...+x_nv_n


  • נניח והוקטורים שייכים למרחב \mathbb{F}^n. הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את b אם"ם המטריצה הינה הפיכה. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?


פתרון

  • לפי כפל עמודה נכון לאמר ש Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n. אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך חשוב מאד לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: Ax הינה צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מ-x.


  • הוכחנו כבר בסעיף קודם.


  • אם הוקטורים שייכים למרחב \mathbb{F}^n יוצא שהמטריצה הינה ריבועית וידוע שיש במקרה זה פתרון יחיד למערכת אם"ם המטריצה הפיכה. אם נציב b=0 ניתן להסיק מכך שלמערכת ההומוגית יש פתרון יחיד אם"ם המטריצה הפיכה. למערכת ההומוגנית יש פתרון יחיד אם"ם הצירוף הלינארי היחיד של הוקטורים שמתאפס הינו הצירוף הלינארי הטריוויאלי (אפסים) ולכן המטריצה הפיכה אם"ם העמודות שלה בת"ל. מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק שמטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל.