שינויים

==קואורדינטות==נסביר את כל המושגים תוך כדי שימוש בדוגמא קבועה: <math>V=\mathbb{R}^2, S_{\mathbb{R}^2}=\{(1,0),(0,1)\},D=\{(1,1),(1,[[88-112 לינארית 1)\}<תיכוניסטים קיץ תשעא/math>, מתקיים ששתי הקבוצות מהוות בסיס למרחב V.מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]

הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי '''וקטור הקואורדינטות''' של v לפי בסיס B, מסומן <math>==משפט המימדים==[v]_B\in\mathbb{F}^n</math> מוגדר להיות <math>[vמשפט המימדים]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> כאשר <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math> ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט.]:

תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל : הוכח כי לכל בסיס <math>B </math> מתקיים ש  <math>v=0</math> אם"ם <math>[v]_B=0</math>. הוכחה: ישירות מההגדרה. <math>B</math> בת"ל ולכן הצ"ל היחידי שמתאפס זהו הצ"ל הטריאלי. בהכללה: <math>[v_1]_B=[v_2]_B</math> אמ"מ <math>v_1=v_2</math>

נוכיח תרגיל זה בהמשך, לאחר שנלמד על העתקות לינאריות'''דוגמא. כעת נניח שהוא נכון ונתרכז בכלי החישובי המשמעותי שקיבלנו; כל בדיקה'''חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>v=1+2x-x^2</חישוב math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbb{FR}^n_3[x]</math>.למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:

<math>v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 =1\cdot 1 + 2\cdot x + (-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3</math>.  לפיכך <math>[v]_S=(1,2,-1,0)</math>.  '''דוגמא.'''חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>(a,b,c)</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{F}^n</math>. קל לראות ש <math>[v]_S =(a,b,c)</math>. '''דוגמא.'''<math>V=\mathbb{R}^2,B=\{(1,1),(1,-1)\}</math> מצא את הקואורדינטות של הוקטור <math> v=(a,b)</math> לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש-   <math>v=\frac{a+b}{2}\cdot (1,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1)</math>   ולכן לפי ההגדרה <math>[v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})</math>  אנו רואים שאין זה קל למצוא את הקואורדינטות לפי בסיס כלשהו שאינו הסטנדרטי. === תרגיל === יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> ויהי <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס לו. יהיו <math>u_1,...,u_k\in V</math> וקטורים כלשהם וסקלארים <math>\alpha_i,\dots ,\alpha_k \in \mathbb{F}</math>. הוכח: <math>\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B =[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B</math> הוכחה: מ"ל את הטענה <math>[u_1]_B+[u_2]_B =[u_1+u_2]_B</math> ואת הטענה <math>\alpha[u_1]_B=[\alpha u_1]_B</math> (ואז המעבר לצ"ל כללי נעשה ע"י אינדוקציה) נסמן <math>u_1=a_1v_1+...+a_nv_n, u_2=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי <math>u_1+u_2=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n</math> ומתקיים  <math>[u_1]_B+[u_2]_B =\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n\end{pmatrix}[u_1+u_2]_B</math> בנוסף <math>\alpha u_1=\alpha a_1v_1+...+\alpha a_nv_n</math> ומתקיים  <math>\alpha[u_1]_B= \alpha \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha a_2 \\ \vdots \\\alpha a_n\end{pmatrix} = [\alpha u_1]_B</math> מש"ל '''מסקנה:''' 2. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אם"ם <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל 3. <math>w\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם"ם <math>[w]_B\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math> הוכחה: 2. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אמ"מ <math>\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math>  אמ"מ <math>[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B=[0]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math>  אמ"מ <math>\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math>  אמ"מ <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל 3. ברעיון דומה   מה בעצם המסקנה אומרת? שכל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה '''בכל''' מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbb{F}^n</math>. ועוד הגדרה לפני ההמשך, עד כה דיברנו "רק" על ייצוג של וקטורים לפי בסיס. אפשר להכליל בפשטות לכל המרחב הוקטורי. הנה ההגדרה: '''הגדרה''' : יהא <math>V</math> מ"ו (או תת מרחב) ויהי <math>B</math> בסיס לו. אזי מרחב הקורדיאנטות (של <math>V</math> לפי בסיס <math>B</math>) הוא  <math>[V]_B = \{[v]_B \; | \; v\in V\}</math> '''הערה :''' יהא <math>V</math> מ"ו, <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים ו <math>B</math> בסיס. אזי#<math>[W_1 \cap W_2]_B = [W_1]_B \cap [W_2]_B</math>#<math>[W_1 + W_2]_B = [W_1]_B + [W_2]_B</math> == דוגמאות ואלגוריתמים===== חיתוך תת מרחבים ======='''תרגיל 7.31''' ==== נגדיר שני תתי מרחבים של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>: <math>V=\{p(x)|p(2)=0\}</math>, ו <math>U=\{p(x)|p(1)=0\}</math> מצא את המימד של חיתוך המרחבים.  '''פתרון.''' בתרגיל זה נשתמש בשיטה נפוצה ביותר. אנו מעוניינים לתאר את המרחבים הוקטוריים באופן קל יותר לעבודה מאשר התיאור לעיל; לכן ננסה לתאר את תתי המרחבים הללו כמרחבי פתרון של מערכת הומוגנית (אחת מהדרכים להצגת תת מרחב מתירגול קודם). המשתנים שלנו במערכת המשוואות יהיו '''המקדמים''' של הפולינומים. נביט ב <math>V</math>. זהו אוסף כל הפולינומים ש2 הוא שורש שלהם. יהי פולינום כללי <math>p(x)=a+bx+cx^2+dx^3</math>, הוא שייך ל<math>V</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית: <math>a+2b+4c+8d=0</math>. לכן <math>V=\{a+bx+cx^2+dx^3|a+2b+4c+8d=0\}</math> אם נעבוד עם הבסיס הסטנדרטי <math>S</math> נקבל כי  <math>[V]_S=\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+2b+4c+8d=0\}</math> באופן דומה הפולינום שייך ל<math>U</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית <math>0=a+b+c+d</math>. ומרחב הקורדינאטות הוא  <math>[U]_S=\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+b+c+d=0\}</math> את החיתוך <math>[V]_S\cap[U]_S</math> קל למצוא! ראינו איך עושים זאת זה פשוט שווה ל <math>\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix} = 0 \}</math> נדרג את המטריצה ונמצא את הפתרון: <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \end{pmatrix} </math>  ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2t+6s,-3t-7s,t,s)</math>, ולכן הבסיס הינו <math>(2,-3,1,0),(6,-7,0,1)</math>.  נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית: <math>U\cap V = sapn \{v_1, v_2 \; | \; [v_1]_s = (2,-3,1,0), [v_2]_s = (6,-7,0,1) \} = span\{2-3x+x^2,6-7x+x^3\}</math> ====אלגוריתם למציאת חיתוך בין שני תתי מרחבים U,W====ישנן שתי שיטות לחשב את החיתוך, נתחיל בראשונה (שביצענו הרגע, למעשה):# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.#מצא מערכת משוואות המתארת את <math>U</math> ומערכת משוואות המתארת את <math>W</math> #פתור מערכת אחת המכילה את כל המשוואות משתי המערכות וקבל את החיתוך# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים. שיטה שנייה:# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.# הצג את המרחבים כ <math>span(?)</math> #כתוב צירוף לינארי כללי ב<math>U</math> וצירוף לינארי כללי ב<math>W</math>#השווה את הצירופים ופתור מערכת משוואות על '''הסקלרים'''#הצב את הסקלרים שקיבלת בצירוף הלינארי וקבל את החיתוך# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.  =====תרגיל ====== מצא את החיתוך בין תתי המרחבים הבאים בשיטה השנייה לעיל. <math>B=\operatorname{span}\left (\Big\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\Big\}\right ),C=\operatorname{span}\left ( \Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\Big\}\right )</math>  '''פתרון.''' (קחו נשימה עמוקה) יהיו סקלרים a,b,c,x,y,z, וקטור הוא בחיתוך אם"ם הוא צירוף לינארי של שתי הקבוצות הפורשות: <math>a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}</math> במרחב הקורדינאטות (עם הבסיס הסטדנדרטי <math>S</math>, נקבל את השיוון  <math>a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}</math> לכן מערכת המשוואות '''על הסקלרים''' הינה: <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -3 & -1 & -1 & | & 0 \\0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 & | & 0 \\0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & | & 0 \\-1 & 0 & 0 & 3 & -4 & 2 & | & 0 \\ \end{pmatrix}</math> נדרג ונמצא את הפתרונות (שימו לב: מספיק למצוא רק את x,y,z או רק את a,b,c מכיוון שבהנתן צירוף לינארי של איברי C שנותן את החיתוך אין צורך להמשיך (כמו כן לגבי B).) <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -3 & -1 & -1 & | & 0 \\0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 & | & 0 \\0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & | & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 1 & | & 0 \\ \end{pmatrix}</math> במקרה זה קל יותר למצוא את x,y,z; המשתנים החופשיים הינם x,z ומתקיים z=5y. ולכן הצ"ל הכללי בחיתוך הינו: <math>[B]_S \cap [C]_S=\Big\{x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+5y\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}\Big\}= \\\Big\{x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}6 \\ 9 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}=span\Big\{\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 \\ 9 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}</math> אם נחזור למרחבים המקוריים נקבל כי  <math>B\cap C=span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 & 9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}\Big\}</math> === תלות לינארית ==='''דוגמא.''' האם הפולינומים <math>v_1=1+x^2,v_2=1-x,v_3=x+x^2</math> תלויים לינארית? דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש <math>[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]_S=(0,1,1)</math> הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג. <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\xrightarrow[]{R_3-R_1,R_3+R_2}\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>  לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית.  דרך נוספת: נשים את הוקטורים בעמודה של מטריצה <math>A</math>. צ"ל של עמודות <math>A</math> זה פשוט <math>Ax</math>. ולכן הוקטורים בת"ל אמ"מ הפתרון היחידי למערכת <math>Ax=0</math> (צ"ל שמתאפס) הוא הפתרון הטריאלי (הצ"ל הטריאלי) <math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \</math> קיבלנו שיש משתנים חופשיים ולכן יש פתרון לא טרויאלי ולכן הוקטורים תלויים לינארית!  נסכם את התהליך: ====אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים====#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''שורות''' מטריצה A#הבא את המטריצה לצורה מדורגת#אם באיזה שלב קיבלת שורת אפסים סימן שהוקטורים תלויים לינארית#אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית ובדרך הנוספת#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''עמודות''' מטריצה A# בדוק אם יש פתרון לא טריאלי למערכת <math>Ax=0</math># אם יש אז הם תלויים ואם אין אז הם בת"ל === צירופים לינאריים ==='''דוגמא.'''האם המטריצה <math>v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}</math> היא צ"ל של המטריצות <math>v_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix},v_3=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 10 & 10\end{pmatrix}</math>? אם כן, הצג אותה כצירוף לינארי שלהן. פתרון: נעבור דבר ראשון למרחב הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי <math>S=\Big\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\Big\}</math> נקבל <math>[v]_S=(1,2,3,4),[v_1]_S=(1,1,0,0),[v_2]_S=(1,0,2,1),[v_3]_S=(2,2,10,10)</math>.  למדנו בשיעור שעבר שוקטור b נפרש על ידי וקטורים מסויימים אם"ם קיים פתרון למערכת Ax=b כאשר A היא המטריצה שעמודותיה הם אותם וקטורים. הפתרון x הוא וקטור הסקלרים מהצירוף הלינארי. לכן, אנו רוצים לדעת האם קיים פתרון למערכת ואם כן מהו: <math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 10\\ 0 & 1 & 10\end{pmatrix} x = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\4 \end{pmatrix}</math>  קל לפתור ולגלות ש <math>x=(1,-1,\frac{1}{2})</math> מקיים את המערכת ולכן מתקיים <math>v=v_1-v_2+\frac{1}{2}v_3</math> נסכם: ====אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי====#נתון וקטור b וקבוצת וקטורים. העבר את כולם לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים#פתור את המערכת Ax=b כאשר '''עמודות''' A הינן וקטורי הקואורדינטות של קבוצת הוקטורים הפורשים#אם אין פתרון, b לא נפרש על ידי האחרים#אם קיים פתרון x אזי הוא מכיל את הסקלרים של הצירוף הלינארי בהתאם לסדר העמודות בA ==מטריצות מעבר בין בסיסים==ראינו שקל מאד למצוא קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי, נשתמש בהנחה הזו בהמשך. אנו מעוניינים לדעת כיצד לחשב קואורדינטות לפי בסיס כלשהו, לאו דווקא סטנדרטי. '''משפט:''' יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>E,F</math> בסיסים לו. אזי '''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' המסומנת <math>[I]^E_F</math> המקיימת את הפסוק הבא:  <math>\forall v\in V: [I]^E_F[v]_E=[v]_F</math>  נסמן <math>E=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>F=\{w_1,...,w_n\}</math>. אזי מתקיים ש<math>[I]^E_F</math> הינה המטריצה שעמודותיה הן <math>[v_i]_F</math>  '''דוגמא.'''יהא <math>V=\mathbb{R}^2</math> ושני בסיסים <math>E=\{v_1=\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \}</math>ו<math>F=\{w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},w_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\}</math>  נמצא את <math>[I]^E_F</math>. מתקיים כי <math>v_1 = \mathbf{5}w_1-\mathbf{2}w_2 \\v_2 = -\mathbf{1}w_1+\mathbf{1}w_2 </math> לכן <math>[I]^E_F=\begin{pmatrix} 5& -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} </math>  '''תרגיל:''' הוכח ש <math>[I]^S_B[I]^A_S=[I]^A_B</math>. מכיוון שאנו יודעים שמטריצה המעבר הינה יחידה, מספיק להראות שהכפל מקיים את הפסוק מההגדרה:  <math>\forall v\in V: [I]^S_B[I]^A_S[v]_A=[I]^S_B[v]_S=[v]_B</math>  '''משפט:''' לכל שני בסיסים E,F מטריצת המעבר הינה מטריצה הפיכה ומתקיים <math>([I]^E_F)^{-1}=[I]^F_E</math>  מסקנה: ===אלגוריתם למציאת מטריצת מעבר בין '''כל''' שני בסיסים E,F===#בחר בסיס סטנדרטי S מתאים למרחב שלך#מצא את מטריצת המעבר <math>[I]^E_S</math>. זה קל מאד שכן יש למצוא את הקואורדינטות של איברי הבסיס E לפי הבסיס הסטנדרטי S#מצא את מטריצת המעבר <math>[I]^F_S</math>.#הפוך את המטריצה האחרונה לקבל <math>([I]^F_S)^{-1}=[I]^S_F</math>#כפול את המטריצות על מנת לקבל את התוצאה הסופית <math>[I]^S_F[I]^E_S=[I]^E_F</math>  ====דוגמא:==== <math>V=\mathbb{R}_2[x]</math> מצא את <math>[I]^E_F</math> כאשר  <math>E=\{1+x, x+x^2, x^2\}, F=\{x,1+x,1+2x^2\}</math> פתרון: נסמן <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי ואז<math>[I]^E_S=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix},  [I]^F_S=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}</math> אחרי חישובים מקבלים כי  <math>[I]^S_F=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}^{-1} =  \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0.5 \\1 & 0 & -0.5 \\0 & 0 & 0.5 \end{pmatrix}</math> ולכן  <math>[I]^E_F=[I]^S_F[I]^E_S= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0.5 \\1 & 0 & -0.5 \\0 & 0 & 0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 1.5 & 0.5 \\1 & -0.5 & -0.5 \\0 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix} </math> ====תרגיל==== תהא <math>A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\1 & 1 & 0 \\\end{pmatrix}</math> ובסיס <math>E =\{\begin{pmatrix}1 \\1 \\0 \\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\0 \\1 \\\end{pmatrix}\}</math> מצאו בסיס <math>F</math> כך ש <math>A=[I]^E_F</math> פתרון:  נסמן <math>F=\{v_1,v_2,v_3\}</math> נחשב ונמצא כי  <math>[I]^F_E= A^{-1} = \begin{pmatrix}-4/3 & 1/3 & 1 \\2/3 & 1/3 & -2 \\1/3 & -1/3 & 1 \\\end{pmatrix}</math> מהגדרה נקבל כי  <math>v_1 = -4/3\begin{pmatrix}1 \\1 \\0 \\\end{pmatrix}+2/3\begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \\\end{pmatrix}+1/3\begin{pmatrix}0 \\0 \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2/3 \\-4/3 \\1 \\\end{pmatrix}, \\v_2 = 1/3\begin{pmatrix}1 \\1 \\0 \\\end{pmatrix}+1/3\begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \\\end{pmatrix}+-1/3\begin{pmatrix}0 \\0 \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2/3 \\1/3 \\0 \\\end{pmatrix},\\v_3 = 1\begin{pmatrix}1 \\1 \\0 \\\end{pmatrix}+-2\begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \\\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}0 \\0 \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 \\1 \\-1 \\\end{pmatrix} </math>