[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]
==צירופים לינאריים - דוגמאות נוספות==
'''תרגיל.'''==משפט המימדים==[[משפט המימדים]]:
האם הפולינומים יהי <math>x^3-x+1,2x^2+x-1V</math> מ"ו ויהיו <math>U,x^3-1W\leq V</math> תלויים לינארית?תתי מרחבים. אזי
<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>
====סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב====#ניקח בסיס לU חיתוך W. נסמן אותו ב<math>\{v_1,...,v_k\}</math>#נשלים אותו לבסיס לU. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\}</math>#נשלים את הבסיס לחיתוך גם לבסיס לW. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}</math>#'''פתרון:נוכיח'''(וזה עיקר העבודה) שהקבוצה <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m,w_1,...,w_p\}</math> הינה בסיס לU+W:##נראה כי כל וקטור מהצורה u+w ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברים אלה (זה ברור)##נראה כי הקבוצה הזו בת"ל, אחרת וקטורים שהנחנו שאינם בחיתוך יהיו חייבים להיות בחיתוך בסתירה#המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן <math>dim(U+W) = k+m+p=(k+m)+(k+p) -k</math>
===תרגיל 8.3===יהא V מ"ו ממימד 5, ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים של V. מהן האפשרויות עבור <math>adim(x^3-x+1U\cap W)+b(2x^2+x-1)+c(x^3-1)=0</math> אם"ם? הוכח!
====פתרון====ראשית, <math>U+W\subseteq V</math> ולכן <math>dim(aU+cW)x^3+2bx^2\leq dim(V)=5</math>. אבל לפי משפט המימדים מתקיים <math>5\geq dim(U+W)=dim(b-aU)x+dim(a-bW)-cdim(U\cap W)=03+4-dim(U\cap W)</math> אם"ם.
<math>(a=-c)\and(2b=0)\and(b=a)\and(a=b+c)</math> אם"ם
ביחד מקבלים ש <math>a=b=c=d=0dim(U\cap W)\geq 2</math>. מצד שני, החיתוך מוכל גם בU וגם בW ולכן המימד שלו קטן שווה מהמימדים שלהם, ובפרט מהקטן מהם. לכן <math>dim(U\cap W)\leq 3</math>.
אם כן, הצירוף הלינארי היחיד שמתאפס הינו הטריוויאלי ולכן הפולינומים בת"ל.
סה"כ האפשרויות למימד הן 2,3. קל למצוא דוגמאות המוכיחות שאפשרויות אלה אכן מתקבלות מתישהו.
===תרגיל 8.5===
יהא <math>V</math> מ"ו ממימד <math>n</math>, ויהיו <math>U,W</math> תתי מרחבים כך ש <math>dimU=n-1</math> ו-<math>W</math> אינו מוכל בU. הוכח כי <math>W+U=V</math>
נראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג את אותו ====הוכחה====נוכיח בעזרת משפט המימדים ש <math>dim(U+W)=dimV</math> ואז המשל נובע (כי תת המרחב הוקטורימרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד).
'''תרגיל<math>dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)</math>. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן <math>dim(U\cap W)<dimW </math> ולכן <math>dimW-dim(U\cap W)\geq 1</math>. ביחד מקבלים <math>dim(U+W)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\geq n-1+1=n=dimV</math>. משל.'''
יהי ===תרגיל===יהיו W1,W2 ת"מ של מ"ו V כך ש <math>Vdim(W_1+W_2)=\mathbb{R}^4dim (W_1\cap W_2) +1</math>, הוכח ששלושת הקבוצות הבאות שוות:*. הוכיחו כי <math>span\{(0W_1,1W_2\}=\{W_1+W_2,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)W_1\cap W_2\}</math>
פתרון:
מתקיים לפי נתון כי<math>\dim (W_1\cap W_2)\leq \dim W_1, \dim W_2 \leq dim(W_1+W_2)=\dim (W_1\cap W_2) +1</math>
ולכן לכל i מתקיים כי <math>\dim W_i </math> שווה למימד הסכום או למימד החיתוך. כיוון שיש הכלה <math>W_1\cap W_2\subseteq W_1,W_2\subseteq W_1+W_2 </math> אז יתקיים שיוויון.
כעת לא ייתכן כי <math>W_1,W_2</math> שניהם שווים כי אז מימד הסכום היה שווה למימד החיתוך.
=== תרגיל ===
יהא <math>V</math> מ"ו מימד אי זוגי <math>\dim V=2n+1</math> ויהיו <math>W_{1},W_{2},U_{1},U_{2}</math> ת"מ המקיימים כי <math>W_{1}+W_{2}=V=U_{1}+U_{2}</math> הוכיחו <math>\left(W_{1}\cap U_{1}\right)+\left(W_{1}\cap U_{2}\right)+\left(W_{2}\cap U_{1}\right)+\left(W_{2}\cap U_{2}\right)\neq\left\{ 0\right\}</math>
*==קואורדינטות==משפט: יהא <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{(xF}</math>,yיהי <math>B=\{v_1,z...,w)|(zv_n\}</math> בסיס ל-y-x=0)<math>V</math> ויהי <math>v\and (win V</math> וקטור. ראינו ש-y+x<math>v</math> ניתן להצגה יחידה כצ"ל של <math>B</math> וההצגה שלו לפי הבסיס הוא וקטור שמורכב מהמקדמים של הצ"ל. באופן פורמאלי, ההצגה של <math>v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא '''וקטור הקואורדינטות''' המסומן <math>[v]_B\in\mathbb{F}^n</math> ומוגדר להיות <math>[v]_B=0)\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> כאשר <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>.
'''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>
*תרגיל: הוכח כי לכל בסיס <math>\{\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)|t,s\in\mathbb{R}\}B</math>מתקיים
'''פתרון<math>v=0</math> אם"ם <math>[v]_B=0</math>. הוכחה:'''ישירות מההגדרה. <math>B</math> בת"ל ולכן הצ"ל היחידי שמתאפס זהו הצ"ל הטריאלי.
נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, <math>(x,y,z,w)\in span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math> אם"ם קיים סקלרים a,b,c כך ש <math>(x,y,z,w)=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואותבהכללה:
<math>\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & | & x \\1 & 1 & 1 & | & y \\1 & 3 & 2 & | & z \\1 & -1 & 0 & | & w \\\end{pmatrix}[v_1]_B=[v_2]_B</math> אמ"מ <math>v_1=v_2</math>
נדרג את המערכת לקבל
<math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & | & y \\0 & 2 & 1 & | & x \\0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\\end{pmatrix}</math>הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש '''בסיסים סטנדרטיים'''. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:
'''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', שכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''האם קיים פתרון למערכת''' ובמקרה זה קיים פתרון אם"ם <math>z-y-x=0</math> וגם <math>w-y+x=0</math> וזו בדיוק הקבוצה השנייה.
(שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax{| border=b יש פתרון"1" align="center" style="text-align:center;"|מרחב וקטורי|בסיס סטנדרטי|-|<math>\mathbb{F}^n</math>|<math>(1,0,. זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה..,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)</math>|-|<math>\mathbb{F}^{m\times n}</math>|<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>|-|<math>\mathbb{F}_n[x]</math>|<math>1,x,x^2,...,x^n</math>|-|}
כעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית הנתונה. נדרג אותה והפעם '''נחפש את הפתרון הכללידוגמא.'''חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>v=1+2x-x^2</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>.למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
<math>v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1\begin{pmatrix}-cdot 1 & + 2\cdot x + (-1 & 1 & 0 & | & 0 )\\1 & -1 & cdot x^2 + 0 & 1 & | & 0 \\\end{pmatrix}cdot x^3</math>.
לפיכך <math>[v]_S=(1,2,-1,0)</math>.
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & | & 0 \\
0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0 \\
\end{pmatrix}</math>
יש שני משתנים תלויים- x'''דוגמא.'''חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>(a,y ושני משתנים חופשיים- zb,wc)</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{F}^n</math>. נסמן zקל לראות ש <math>[v]_S =t(a, wb,c)</math>. '''דוגמא.'''<math>V=s ונקבל פתרון כללי מהצורה \mathbb{R}^2,B=\{(1,1),(1,-1)\}</math>מצא את הקואורדינטות של הוקטור <math> v=(a,b)</math> לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש- <math>v=\bigfrac{a+b}{2}\cdot (1,1)+\frac{ta-sb}{2}\cdot (1,-1)</math> ולכן לפי ההגדרה <math>[v]_B=(\frac{ta+sb}{2},t\frac{a-b}{2})</math> אנו רואים שאין זה קל למצוא את הקואורדינטות לפי בסיס כלשהו שאינו הסטנדרטי. === תרגיל === יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> ויהי <math>B=\{v_1,s\bigdots ,v_n\}</math> בסיס לו. יהיו <math>u_1,...,u_k\in V</math> וקטורים כלשהם וסקלארים <math>\alpha_i,\dots ,\alpha_k \in \mathbb{F}</math>. הוכח: <math>\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B =[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B</math> הוכחה: מ"ל את הטענה <math>[u_1]_B+[u_2]_B =[u_1+u_2]_B</math> ואת הטענה <math>\alpha[u_1]_B=[\alpha u_1]_B</math> (ואז המעבר לצ"ל כללי נעשה ע"י אינדוקציה) נסמן <math>u_1=a_1v_1+...+a_nv_n, u_2=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי <math>u_1+u_2=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n</math> ומתקיים <math>[u_1]_B+[u_2]_B =\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n\end{pmatrix}[u_1+u_2]_B</math> בנוסף <math>\alpha u_1=\alpha a_1v_1+...+\alpha a_nv_n</math> ומתקיים <math>\alpha[u_1]_B= \alpha \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha a_2 \\ \vdots \\\alpha a_n\end{pmatrix} = [\alpha u_1]_B</math> מש"ל '''מסקנה:''' 2. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אם"ם <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל 3. <math>w\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם"ם <math>[w]_B\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math> הוכחה: 2. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אמ"מ <math>\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math> אמ"מ <math>[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B=[0]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math> אמ"מ <math>\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math> אמ"מ <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל 3. ברעיון דומה מה בעצם המסקנה אומרת? שכל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה '''בכל''' מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbb{F}^n</math>. ועוד הגדרה לפני ההמשך, עד כה דיברנו "רק" על ייצוג של וקטורים לפי בסיס. אפשר להכליל בפשטות לכל המרחב הוקטורי. הנה ההגדרה: '''הגדרה''' : יהא <math>V</math> מ"ו (או תת מרחב) ויהי <math>B</math> בסיס לו. אזי מרחב הקורדיאנטות (של <math>V</math> לפי בסיס <math>B</math>) הוא <math>[V]_B = \{[v]_B \; | \; v\in V\}</math> '''הערה :''' יהא <math>V</math> מ"ו, <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים ו <math>B</math> בסיס. אזי#<math>[W_1 \cap W_2]_B = [W_1]_B \cap [W_2]_B</math>#<math>[W_1 + W_2]_B = [W_1]_B + [W_2]_B</math>
== דוגמאות ואלגוריתמים===== חיתוך תת מרחבים ======='''תרגיל 7.31'''====
נגדיר שני תתי מרחבים של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>:
'''פתרון.'''
בתרגיל זה נשתמש בשיטה נפוצה ביותר. אנו מעוניינים לתאר את המרחבים הוקטוריים באופן קל יותר לעבודה מאשר התיאור לעיל; לכן ננסה לתאר את תתי המרחבים הללו כמרחבי פתרון של מערכת הומוגנית (בדומה להצגה השלישית בתרגיל הקודםאחת מהדרכים להצגת תת מרחב מתירגול קודם). המשתנים שלנו במערכת המשוואות יהיו '''המקדמים''' של הפולינומים.
נביט בVב <math>V</math>. זהו אוסף כל הפולינומים ש2 הוא שורש שלהם. יהי פולינום כללי <math>p(x)=a+bx+cx^2+dx^3</math>, הוא שייך לV ל<math>V</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית: <math>a+2b+4c+8d=0</math>. באופן דומה הפולינום שייך לU אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית לכן <math>0V=\{a+bbx+ccx^2+ddx^3|a+2b+4c+8d=0\}</math>. לכן פולינום נמצא בחיתוך אם"ם מקדמיו (הקואורדינטות) מקיימים את מערכת המשוואות המכיל את שתי המשוואות הללו. נמצא בסיס למרחב זה: נעבוד עם הבסיס הסטנדרטי <math>S</math> נקבל כי
<math>[V]_S=\{\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 a\\ 1 & 2 & 4 & 8b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+2b+4c+8d=0\}</math>. נדרג קנונית לקבל
באופן דומה הפולינום שייך ל<math>U</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית <math>0=a+b+c+d</math>. ומרחב הקורדינאטות הוא
<math>[U]_S=\{\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & -6 a\\ 0 & 1 & 3 & 7b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+b+c+d=0\}</math>
ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה את החיתוך <math>(2t+6s,-3t-7s,t,s)[V]_S\cap[U]_S</math>, ולכן הבסיס הינו קל למצוא! ראינו איך עושים זאת זה פשוט שווה ל <math>(\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |\begin{pmatrix} 1 & 2,-3,& 4 & 8 \\ 1,0),(6,-7,0,& 1)& 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix} = 0 \}</math>. נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית:
נדרג את המטריצה ונמצא את הפתרון:
<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \end{pmatrix} </math> ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2t+6s,-3t-7s,t,s)</math>, ולכן הבסיס הינו <math>(2,-3,1,0),(6,-7,0,1)</math>. נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית: <math>U\cap V = sapn \{v_1, v_2 \; | \; [v_1]_s = (2,-3,1,0), [v_2]_s = (6,-7,0,1) \} = span\{2-3x+x^2,6-7x+x^3\}</math> מהווים בסיס לחיתוך בין V לU.
====אלגוריתם למציאת חיתוך בין שני תתי מרחבים U,W====
ישנן שתי שיטות לחשב את החיתוך, נתחיל בראשונה (שביצענו הרגע, למעשה):
# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.#מצא מערכת משוואות המתארת את <math>U </math> ומערכת משוואות המתארת את <math>W (כמו בהצגה השנייה מבין הצגות המרחב)</math> #פתרון פתור מערכת אחת המכילה את כל המשוואות משתי המערכות וקבל את החיתוך# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.
שיטה שנייה:
# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.# הצג את המרחבים כ <math>span(?)</math> #כתוב צירוף לינארי כללי בU ב<math>U</math> וצירוף לינארי כללי בWב<math>W</math>
#השווה את הצירופים ופתור מערכת משוואות על '''הסקלרים'''
#הצב את הסקלרים שקיבלת בצירוף הלינארי וקבל את החיתוך
# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.
'''=====תרגיל.'''======
מצא את החיתוך בין תתי המרחבים הבאים בשיטה השנייה לעיל.
<math>B=\operatorname{span}\left (\Big\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\Big\}\right ),C=\operatorname{span}\left ( \Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\Big\}\right )</math>
<math>a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}</math>
במרחב הקורדינאטות (עם הבסיס הסטדנדרטי <math>S</math>, נקבל את השיוון
<math>a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}</math>
לכן מערכת המשוואות '''על הסקלרים''' הינה:
\end{pmatrix}</math>
==קואורדינטות==משפטנדרג ונמצא את הפתרונות (שימו לב: יהא V מ"ו מעל שדה Fמספיק למצוא רק את x, יהי <math>B=\{v_1y,...,v_n\}</math> בסיס ל-V ויהי <math>v\in V</math> וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי בהכרח <math>\forall i:a_i=b_i</math>. (קל להוכיח z או רק את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאליa, מקבלים b,c מכיוון שבהנתן צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים <math>a_i-b_i</math>של איברי C שנותן את החיתוך אין צורך להמשיך (כמו כן לגבי B).)
הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי '''וקטור הקואורדינטות''' של v לפי בסיס B, מסומן <math>[v]_B\in\mathbb{F}^n</math> מוגדר להיות <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 1 & 0 & 0 & -3 & -1 & -1 & | & 0 \\ a_2 0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & | & 0 \vdots \0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 1 & | & 0 \ a_n\end{pmatrix}</math> כאשר <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math> ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט.
\end{pmatrix}</math>
'''חשוב לזכור''' <math>[v]_Bבמקרה זה קל יותר למצוא את x,y,z; המשתנים החופשיים הינם x,z ומתקיים z=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם5y. ולכן הצ"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>ל הכללי בחיתוך הינו:
תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל בסיס B מתקיים ש <math>v=0</math> אם"ם <math>[vB]_B_S \cap [C]_S=0</math>. הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש '''בסיסים סטנדרטיים'''. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם: {| border="1" align="center" style="text-align:center;"|מרחב וקטורי|בסיס סטנדרטי|-|<math>\mathbb{F}^n</math>|<math>(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)</math>|-|<math>Big\mathbb{F}^{m\times n}</math>|<math>x\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 \cdots & 0 \2 \ 0 & \cdots & 4 \cdots & 0 \-3\ end{pmatrix}+y\vdots & begin{pmatrix}1 \vdots & \vdots & 4 \vdots \-1 \ 0 & \cdots & \cdots & 04 \end{pmatrix},+5y\begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \1 \ 0 & \cdots & 1 \cdots & 0 \-2\ end{pmatrix}\vdots & Big\vdots & }= \vdots & \vdots \Big\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,x\begin{pmatrix}0 & 3 \cdots & \cdots & 0 2 \\ 1 & 0 & 4 \cdots & 0 \-3\ end{pmatrix}+y\vdots & begin{pmatrix}6 \vdots & \vdots & 9 \vdots \4 \ 0 & \cdots & \cdots & 0-6 \end{pmatrix},...,\Big\}=span\Big\{\begin{pmatrix}0 & 3 \cdots & \cdots & 0 2 \\ 0 & 4 \cdots & \cdots & 0 -3\end{pmatrix},\ begin{pmatrix}6 \vdots & \vdots & 9 \vdots & \vdots 4 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 -6 \end{pmatrix}\Big\}
</math>
|-
|<math>\mathbb{F}_n[x]</math>
|<math>1,x,x^2,...,x^n</math>
|-
|}
אם נחזור למרחבים המקוריים נקבל כי
'''דוגמא.'''חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>vB\cap C=1+2x-x^span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb\ 4 & -3\end{Rpmatrix}_3[x]</math>. למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס: <math>v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1,\begin{pmatrix}6 & 9 \cdot 1 + 2\cdot x + (4 & -1)6 \cdot x^2 + 0end{pmatrix}\cdot x^3</math>. לפיכך <math>[v]_S=(1,2,-1,0)Big\}</math>.
=== תלות לינארית ===
'''דוגמא.'''
חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>(a,b,c)</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{F}^n</math>. קל לראות ש <math>[v]_S = (a,b,c)</math>.
'''דוגמא.'''האם הפולינומים <math>Vv_1=\mathbb{R}1+x^2,Bv_2=\{(1-x,1),(1,-1)\}</math> מצא את הקואורדינטות של הוקטור <math> vv_3=(a,b)x+x^2</math> לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש- תלויים לינארית?
דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש <math>[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]_S=(0,1,1)</math>
<math>v=\frac{a+b}{2}\cdot (1הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1)</math> נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.
<math>
\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
\xrightarrow[]{R_3-R_1,R_3+R_2}
\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>
ולכן לפי ההגדרה <math>[v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})</math>
לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית.
אנו רואים שאין זה קל למצוא את הקואורדינטות לפי בסיס כלשהו שאינו הסטנדרטי.
'''טענהדרך נוספת: נשים את הוקטורים בעמודה של מטריצה <math>A</math>.'''צ"ל של עמודות <math>A</math> זה פשוט <math>Ax</math>. ולכן הוקטורים בת"ל אמ"מ הפתרון היחידי למערכת <math>Ax=0</math> (צ"ל שמתאפס) הוא הפתרון הטריאלי (הצ"ל הטריאלי)
יהא V מ"ו ויהי B בסיס לו. יהיו <math>u_1,...,u_k\in V</math> וקטורים כלשהם. הוכח:*<math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אם"ם <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל*<math>wbegin{pmatrix}1 & 1 & 0 \in span\0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{u_1,...,u_kpmatrix} \to \begin{pmatrix}</math> אם"ם <math>[w]_B1 & 1 & 0 \in span\0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{[u_1]_B,...,[u_k]_Bpmatrix} \}</math>to נוכיח טענה זו בהמשך, לאחר שנלמד על העתקות לינאריות. כעת נניח שהיא נכונה ונתרכז בכלי החישובי המשמעותי שקיבלנו; כל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbbbegin{Fpmatrix}^n</math>. '''דוגמא.''' האם הפולינומים <math>v_1=1+x^2,v_2=& 1& 0 \\ 0 & -x,v_3=x+x^21 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \</math> תלויים לינארית?
דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש <math>[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]=(0,1,1)</math>קיבלנו שיש משתנים חופשיים ולכן יש פתרון לא טרויאלי ולכן הוקטורים תלויים לינארית!
הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.
<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}</math>נסכם את התהליך:
<math>R_3-R_1,R_3+R_2</math> <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית. נסכם את התהליך: ====אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים====
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''שורות''' מטריצה A
#אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית
ובדרך הנוספת
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''עמודות''' מטריצה A
# בדוק אם יש פתרון לא טריאלי למערכת <math>Ax=0</math>
# אם יש אז הם תלויים ואם אין אז הם בת"ל
=== צירופים לינאריים ===
'''דוגמא.'''
האם המטריצה <math>v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}</math> נפרשת על ידי היא צ"ל של המטריצות
<math>
v_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},
v_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix},
v_3=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 10 & 10\end{pmatrix}
</math>? אם כן, הצג אותה כצירוף לינארי שלהן.
פתרון: נעבור דבר ראשון למרחב הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי <math>S=\Big\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\Big\}</math>
למדנו בשיעור שעבר שוקטור b נפרש על ידי וקטורים מסויימים אם"ם קיים פתרון למערכת Ax=b כאשר A היא המטריצה שעמודותיה הם אותם וקטורים. הפתרון x הוא וקטורים וקטור הסקלרים מהצירוף הלינארי. לכן, אנו רוצים לדעת האם קיים פתרון למערכת ואם כן מהו:
<math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 10\\ 0 & 1 & 10\end{pmatrix} x = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\4 \end{pmatrix}</math>
נסכם:
====אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי====
#נתון וקטור b וקבוצת וקטורים. העבר את כולם לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#פתור את המערכת Ax=b כאשר '''עמודות''' A הינן וקטורי הקואורדינטות של קבוצת הוקטורים הפורשים
#אם קיים פתרון x אזי הוא מכיל את הסקלרים של הצירוף הלינארי בהתאם לסדר העמודות בA
==מרחבי המטריצותמטריצות מעבר בין בסיסים==תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. מגדירים שלושה מרחבים עיקריים:*'''מרחב השורות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי שורות המטריצה A. נסמן <math>R(A)=span\{R_1(A)ראינו שקל מאד למצוא קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי,נשתמש בהנחה הזו בהמשך...אנו מעוניינים לדעת כיצד לחשב קואורדינטות לפי בסיס כלשהו,R_m(A)\}\subseteq\mathbb{F}^n</math>*'''מרחב העמודות''' של Aלאו דווקא סטנדרטי. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq\mathbb{F}^m</math>*'''מרחב השורות''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית Ax=0. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq\mathbb{F}^n</math>
'''משפט:''' לכל מטריצה יהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}V</math> מתקיים מ"ו ויהיו <math>\mathbb{E,F}</math> בסיסים לו. אזי '''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' המסומנת <math>[I]^n=R(A)\oplus N(A)E_F</math>המקיימת את הפסוק הבא:
<math>\forall v\in V: [I]^E_F[v]_E=[v]_F</math>
הגדרה: '''דרגת''' המטריצה A שווה למספר השורות בצורה המדורגת שלה השונות מאפס. מסומן rankA
משפט: נסמן <math>rankAE=dimR(A)=dimC(A)=n-dimN(A)\{v_1,...,v_n\}</math>ו <math>F=\{w_1,... אלה שווים למספר המשתנים התלויים, ומימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשייםw_n\}</math>.אזי מתקיים ש<math>[I]^E_F</math> הינה המטריצה שעמודותיה הן <math>[v_i]_F</math>
'''דוגמא.'''
מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה יהא <math>V=\mathbb{R}^2</math> ושני בסיסים <math>E=\{v_1=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 3\\ -2 & \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 0\\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix} \ }</math>ו<math>F=\{w_1= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \\ 0 & \end{pmatrix},w_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}\}</math>
דבר ראשון, נדרג קנונית נמצא את המטריצה לקבל <math>[I]^E_F</math>.
מתקיים כי <math>v_1 = \beginmathbf{pmatrix5}1 & 0 & 1 & 1w_1-\mathbf{2}w_2 \ 0 & 1 & \v_2 = -\mathbf{1 & 0 }w_1+\\ 0 & 0 & 0 & 0\endmathbf{pmatrix1}w_2 </math>
לפיכך המשתנה השלישי והרביעי הם חופשיים, נציב במקומם פרמטרים t,s והפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-t-s,t,t,s)</math>. תמיד ניתן לפרק את הפתרון הכללי לסכום של וקטורים קבועים כפול הסקלרים שהם הפרמטרים: <math>t(-1,1,1,0) +s(-1,0,0,1)</math>. וקטורים קבועים אלה תמיד מהווים בסיס למרחב הפתרונות: *אנו רואים שכל פתרון הוא צירוף לינארי של הוקטורים הללו עם הסקלרים שהם הפרמטרים (במקרה זה - t,s)*וקטורים אלה תמיד בת"ל, שכן אם יש צירוף לינארי שלהם שמתאפס, מכיוון שהפרמטרים תמיד מופיעים לבדם בעמודה של המשתנה שלהם, הם חייבים להיות אפסלכן
לכן הבסיס למרחב האפס הינו <math>[I]^E_F=\begin{(pmatrix} 5& -1,0,0,1),(\\ -2 & 1,1,1,0)\end{pmatrix}</math>
===אלגוריתם למציאת בסיס למרחב האפס===
#דרג את המטריצה קנונית
#הצב פרמטרים במקום המשתנים החופשיים
#מצא את הפתרון הכללי
#פרק את הפתרון הכללי לצירוף לינארי של וקטורים קבועים כפול הפרמטרים
#הוקטורים הקבועים מהווים בסיס למרחב האפס
ראינו בהרצאה שפעולות שורה אינן משנות את המרחב הנפרש על ידי השורות. מכאן נובע האלגוריתם הבא: ===אלגוריתם למציאת בסיס למרחב השורות (ומציאת בסיס לקבוצה כלשהי של וקטורים)===#שים את הקואורדינטות של הוקטורים לפי בסיס סטנדרטי מתאים בשורות מטריצה#דרג את המטריצה#השורות שאינן שורות אפסים בצורה המדורגת מהוות יחדיו בסיס למרחב השורות (או למרחב הקואורדינטות של הוקטורים שלנו) ==מטריצות מעבר בין בסיסים==ראינו שקל מאד למצוא קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי, נשתמש בהנחה הזו בהמשך. אנו מעוניינים לדעת כיצד לחשב קואורדינטות לפי בסיס כלשהו, לאו דווקא סטנדרטי. '''משפטתרגיל:''' יהא V מ"ו ויהיו E,F בסיסים לו. אזי '''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' המסומנת <math>[I]^E_F</math> המקיימת את הפסוק הבא: <math>\forall v\in V: [I]^E_F[v]_E=[v]_F</math> נסמן <math>E=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>F=\{w_1,...,w_n\}</math>. אזי מתקיים ש<math>[I]^E_F</math> הינה המטריצה שעמודותיה הן <math>[v_i]_F</math> '''דוגמא.'''
הוכח ש <math>[I]^S_B[I]^A_S=[I]^A_B</math>. מכיוון שאנו יודעים שמטריצה המעבר הינה יחידה, מספיק להראות שהכפל מקיים את הפסוק מההגדרה:
#הפוך את המטריצה האחרונה לקבל <math>([I]^F_S)^{-1}=[I]^S_F</math>
#כפול את המטריצות על מנת לקבל את התוצאה הסופית <math>[I]^S_F[I]^E_S=[I]^E_F</math>
====דוגמא:====
<math>V=\mathbb{R}_2[x]</math> מצא את <math>[I]^E_F</math> כאשר
<math>E=\{1+x, x+x^2, x^2\}, F=\{x,1+x,1+2x^2\}</math>
פתרון:
נסמן <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי ואז
<math>
[I]^E_S=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix},
[I]^F_S=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
</math>
אחרי חישובים מקבלים כי
<math>[I]^S_F=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}^{-1} =
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0.5 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 0.5
\end{pmatrix}
</math>
ולכן
<math>[I]^E_F=[I]^S_F[I]^E_S=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0.5 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 0.5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1.5 & 0.5 \\
1 & -0.5 & -0.5 \\
0 & 0.5 & 0.5
\end{pmatrix}
</math>
====תרגיל====
תהא
<math>
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>
ובסיס
<math>
E =
\{
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\}
</math>
מצאו בסיס <math>F</math> כך ש <math>A=[I]^E_F</math>
פתרון:
נסמן <math>F=\{v_1,v_2,v_3\}</math>
נחשב ונמצא כי
<math>
[I]^F_E= A^{-1} =
\begin{pmatrix}
-4/3 & 1/3 & 1 \\
2/3 & 1/3 & -2 \\
1/3 & -1/3 & 1 \\
\end{pmatrix}
</math>
מהגדרה נקבל כי
<math>
v_1 =
-4/3
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
2/3
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
1/3
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-2/3 \\
-4/3 \\
1 \\
\end{pmatrix},
\\
v_2 =
1/3
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
1/3
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
-1/3
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2/3 \\
1/3 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\\
v_3 =
1
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
-2
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
1
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
</math>