הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6"

גרסה אחרונה מ־13:27, 23 ביולי 2020

חזרה למערכי התרגול

תוכן עניינים

1 משפט המימדים
2 קואורדינטות
- 2.1 תרגיל
3 דוגמאות ואלגוריתמים
4 מטריצות מעבר בין בסיסים
- 4.1 אלגוריתם למציאת מטריצת מעבר בין כל שני בסיסים E,F
  - 4.1.1 דוגמא:
  - 4.1.2 תרגיל

משפט המימדים

משפט המימדים:

יהי $V$ מ"ו ויהיו $U,W\leq V$ תתי מרחבים. אזי

$dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)$

סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב

ניקח בסיס לU חיתוך W. נסמן אותו ב $\{v_1,...,v_k\}$
נשלים אותו לבסיס לU. נסמן $\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\}$
נשלים את הבסיס לחיתוך גם לבסיס לW. נסמן $\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}$
נוכיח (וזה עיקר העבודה) שהקבוצה הינה בסיס לU+W:
1. נראה כי כל וקטור מהצורה u+w ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברים אלה (זה ברור)
2. נראה כי הקבוצה הזו בת"ל, אחרת וקטורים שהנחנו שאינם בחיתוך יהיו חייבים להיות בחיתוך בסתירה
המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן $dim(U+W) = k+m+p=(k+m)+(k+p) -k$

תרגיל 8.3

יהא V מ"ו ממימד 5, ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים של V. מהן האפשרויות עבור $dim(U\cap W)$ ? הוכח!

פתרון

ראשית, $U+W\subseteq V$ ולכן $dim(U+W)\leq dim(V)=5$ . אבל לפי משפט המימדים מתקיים $5\geq dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)=3+4-dim(U\cap W)$ .

ביחד מקבלים ש $dim(U\cap W)\geq 2$ . מצד שני, החיתוך מוכל גם בU וגם בW ולכן המימד שלו קטן שווה מהמימדים שלהם, ובפרט מהקטן מהם. לכן $dim(U\cap W)\leq 3$ .

סה"כ האפשרויות למימד הן 2,3. קל למצוא דוגמאות המוכיחות שאפשרויות אלה אכן מתקבלות מתישהו.

תרגיל 8.5

יהא $V$ מ"ו ממימד $n$ , ויהיו $U,W$ תתי מרחבים כך ש $dimU=n-1$ ו- $W$ אינו מוכל בU. הוכח כי $W+U=V$

הוכחה

נוכיח בעזרת משפט המימדים ש $dim(U+W)=dimV$ ואז המשל נובע (כי תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד).

$dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)$ . מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן $dim(U\cap W)<dimW$ ולכן $dimW-dim(U\cap W)\geq 1$ . ביחד מקבלים $dim(U+W)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\geq n-1+1=n=dimV$ . משל.

תרגיל

יהיו W1,W2 ת"מ של מ"ו V כך ש $dim(W_1+W_2)=\dim (W_1\cap W_2) +1$ . הוכיחו כי $\{W_1,W_2\}=\{W_1+W_2,W_1\cap W_2\}$

פתרון: מתקיים לפי נתון כי $\dim (W_1\cap W_2)\leq \dim W_1, \dim W_2 \leq dim(W_1+W_2)=\dim (W_1\cap W_2) +1$ ולכן לכל i מתקיים כי $\dim W_i$ שווה למימד הסכום או למימד החיתוך. כיוון שיש הכלה $W_1\cap W_2\subseteq W_1,W_2\subseteq W_1+W_2$ אז יתקיים שיוויון. כעת לא ייתכן כי $W_1,W_2$ שניהם שווים כי אז מימד הסכום היה שווה למימד החיתוך.

תרגיל

יהא $V$ מ"ו מימד אי זוגי $\dim V=2n+1$ ויהיו $W_{1},W_{2},U_{1},U_{2}$ ת"מ המקיימים כי $W_{1}+W_{2}=V=U_{1}+U_{2}$ הוכיחו $\left(W_{1}\cap U_{1}\right)+\left(W_{1}\cap U_{2}\right)+\left(W_{2}\cap U_{1}\right)+\left(W_{2}\cap U_{2}\right)\neq\left\{ 0\right\}$

קואורדינטות

משפט: יהא $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$ , יהי $B=\{v_1,...,v_n\}$ בסיס ל- $V$ ויהי $v\in V$ וקטור. ראינו ש- $v$ ניתן להצגה יחידה כצ"ל של $B$ וההצגה שלו לפי הבסיס הוא וקטור שמורכב מהמקדמים של הצ"ל. באופן פורמאלי, ההצגה של $v$ לפי בסיס $B$ הוא וקטור הקואורדינטות המסומן $[v]_B\in\mathbb{F}^n$ ומוגדר להיות $[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}$ כאשר $v=a_1v_1+...+a_nv_n$ .

חשוב לזכור $[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}$ אם"ם $v=a_1v_1+...+a_nv_n$

תרגיל: הוכח כי לכל בסיס $B$ מתקיים

$v=0$ אם"ם $[v]_B=0$ .

הוכחה: ישירות מההגדרה. $B$ בת"ל ולכן הצ"ל היחידי שמתאפס זהו הצ"ל הטריאלי.

בהכללה:

$[v_1]_B=[v_2]_B$ אמ"מ $v_1=v_2$

הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש בסיסים סטנדרטיים. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:

מרחב וקטורי	בסיס סטנדרטי
$\mathbb{F}^n$	$(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)$
$\mathbb{F}^{m\times n}$	$\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},..., \begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},..., \begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\mathbb{F}_n[x]$	$1,x,x^2,...,x^n$

דוגמא. חשב את הקואורדינטות של הוקטור $v=1+2x-x^2$ לפי הבסיס הסטנדרטי S של $\mathbb{R}_3[x]$ . למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:

$v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1\cdot 1 + 2\cdot x + (-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3$ .

לפיכך $[v]_S=(1,2,-1,0)$ .

דוגמא. חשב את הקואורדינטות של הוקטור $(a,b,c)$ לפי הבסיס הסטנדרטי S של $\mathbb{F}^n$ . קל לראות ש $[v]_S = (a,b,c)$ .

דוגמא. $V=\mathbb{R}^2,B=\{(1,1),(1,-1)\}$ מצא את הקואורדינטות של הוקטור $v=(a,b)$ לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש-

$v=\frac{a+b}{2}\cdot (1,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1)$

ולכן לפי ההגדרה $[v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})$

אנו רואים שאין זה קל למצוא את הקואורדינטות לפי בסיס כלשהו שאינו הסטנדרטי.

תרגיל

יהא $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$ ויהי $B=\{v_1,\dots ,v_n\}$ בסיס לו. יהיו $u_1,...,u_k\in V$ וקטורים כלשהם וסקלארים $\alpha_i,\dots ,\alpha_k \in \mathbb{F}$ . הוכח:

$\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B =[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B$

הוכחה:

מ"ל את הטענה $[u_1]_B+[u_2]_B =[u_1+u_2]_B$ ואת הטענה $\alpha[u_1]_B=[\alpha u_1]_B$ (ואז המעבר לצ"ל כללי נעשה ע"י אינדוקציה)

נסמן $u_1=a_1v_1+...+a_nv_n, u_2=b_1v_1+...+b_nv_n$ אזי $u_1+u_2=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n$ ומתקיים

$[u_1]_B+[u_2]_B =\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n\end{pmatrix} [u_1+u_2]_B$

בנוסף $\alpha u_1=\alpha a_1v_1+...+\alpha a_nv_n$ ומתקיים

$\alpha[u_1]_B= \alpha \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha a_2 \\ \vdots \\\alpha a_n\end{pmatrix} = [\alpha u_1]_B$

מש"ל

מסקנה:

2. $u_1,...,u_k$ בת"ל אם"ם $[u_1]_B,...,[u_k]_B$ בת"ל

3. $w\in span\{u_1,...,u_k\}$ אם"ם $[w]_B\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}$

הוכחה:

2. $u_1,...,u_k$ בת"ל

אמ"מ

$\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0$

אמ"מ

$[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B=[0]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0$

אמ"מ

$\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0$

אמ"מ

$[u_1]_B,...,[u_k]_B$ בת"ל

3. ברעיון דומה

מה בעצם המסקנה אומרת? שכל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח $\mathbb{F}^n$ .

ועוד הגדרה לפני ההמשך, עד כה דיברנו "רק" על ייצוג של וקטורים לפי בסיס. אפשר להכליל בפשטות לכל המרחב הוקטורי. הנה ההגדרה:

הגדרה : יהא $V$ מ"ו (או תת מרחב) ויהי $B$ בסיס לו. אזי מרחב הקורדיאנטות (של $V$ לפי בסיס $B$ ) הוא

$[V]_B = \{[v]_B \; | \; v\in V\}$

הערה : יהא $V$ מ"ו, $W_1,W_2\leq V$ תתי מרחבים ו $B$ בסיס. אזי

$[W_1 \cap W_2]_B = [W_1]_B \cap [W_2]_B$
$[W_1 + W_2]_B = [W_1]_B + [W_2]_B$

דוגמאות ואלגוריתמים

חיתוך תת מרחבים

תרגיל 7.31

נגדיר שני תתי מרחבים של $\mathbb{R}_3[x]$ :

$V=\{p(x)|p(2)=0\}$ , ו $U=\{p(x)|p(1)=0\}$

מצא את המימד של חיתוך המרחבים.

פתרון.

בתרגיל זה נשתמש בשיטה נפוצה ביותר. אנו מעוניינים לתאר את המרחבים הוקטוריים באופן קל יותר לעבודה מאשר התיאור לעיל; לכן ננסה לתאר את תתי המרחבים הללו כמרחבי פתרון של מערכת הומוגנית (אחת מהדרכים להצגת תת מרחב מתירגול קודם). המשתנים שלנו במערכת המשוואות יהיו המקדמים של הפולינומים.

נביט ב $V$ . זהו אוסף כל הפולינומים ש2 הוא שורש שלהם. יהי פולינום כללי $p(x)=a+bx+cx^2+dx^3$ , הוא שייך ל $V$ אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית: $a+2b+4c+8d=0$ . לכן $V=\{a+bx+cx^2+dx^3|a+2b+4c+8d=0\}$ אם נעבוד עם הבסיס הסטנדרטי $S$ נקבל כי

$[V]_S=\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+2b+4c+8d=0\}$

באופן דומה הפולינום שייך ל $U$ אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית $0=a+b+c+d$ . ומרחב הקורדינאטות הוא

$[U]_S=\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+b+c+d=0\}$

את החיתוך $[V]_S\cap[U]_S$ קל למצוא! ראינו איך עושים זאת זה פשוט שווה ל $\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 | \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix} = 0 \}$

נדרג את המטריצה ונמצא את הפתרון:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \end{pmatrix}

ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה $(2t+6s,-3t-7s,t,s)$ , ולכן הבסיס הינו $(2,-3,1,0),(6,-7,0,1)$ .

נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית:

$U\cap V = sapn \{v_1, v_2 \; | \; [v_1]_s = (2,-3,1,0), [v_2]_s = (6,-7,0,1) \} = span\{2-3x+x^2,6-7x+x^3\}$

אלגוריתם למציאת חיתוך בין שני תתי מרחבים U,W

ישנן שתי שיטות לחשב את החיתוך, נתחיל בראשונה (שביצענו הרגע, למעשה):

החלף את $U,W$ במרחב הקורדינאטות שלהם.
מצא מערכת משוואות המתארת את $U$ ומערכת משוואות המתארת את $W$
פתור מערכת אחת המכילה את כל המשוואות משתי המערכות וקבל את החיתוך
חזור ל $U,W$ המקוריים.

שיטה שנייה:

החלף את $U,W$ במרחב הקורדינאטות שלהם.
הצג את המרחבים כ $span(?)$
כתוב צירוף לינארי כללי ב $U$ וצירוף לינארי כללי ב $W$
השווה את הצירופים ופתור מערכת משוואות על הסקלרים
הצב את הסקלרים שקיבלת בצירוף הלינארי וקבל את החיתוך
חזור ל $U,W$ המקוריים.

תרגיל =

מצא את החיתוך בין תתי המרחבים הבאים בשיטה השנייה לעיל.

$B=\operatorname{span}\left (\Big\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\Big\}\right ), C=\operatorname{span}\left ( \Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\Big\}\right )$

פתרון.

(קחו נשימה עמוקה) יהיו סקלרים a,b,c,x,y,z, וקטור הוא בחיתוך אם"ם הוא צירוף לינארי של שתי הקבוצות הפורשות:

$a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}$

במרחב הקורדינאטות (עם הבסיס הסטדנדרטי $S$ , נקבל את השיוון

$a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

לכן מערכת המשוואות על הסקלרים הינה:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & | & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 3 & -4 & 2 & | & 0 \\ \end{pmatrix}$

נדרג ונמצא את הפתרונות (שימו לב: מספיק למצוא רק את x,y,z או רק את a,b,c מכיוון שבהנתן צירוף לינארי של איברי C שנותן את החיתוך אין צורך להמשיך (כמו כן לגבי B).)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -4 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 1 & | & 0 \\ \end{pmatrix}$

במקרה זה קל יותר למצוא את x,y,z; המשתנים החופשיים הינם x,z ומתקיים z=5y. ולכן הצ"ל הכללי בחיתוך הינו:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): [B]_S \cap [C]_S= \Big\{x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+5y\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}\Big\}= \\ \Big\{x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}6 \\ 9 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}= span\Big\{\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 \\ 9 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}

אם נחזור למרחבים המקוריים נקבל כי

$B\cap C=span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 & 9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}\Big\}$

תלות לינארית

דוגמא.

האם הפולינומים $v_1=1+x^2,v_2=1-x,v_3=x+x^2$ תלויים לינארית?

דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש $[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]_S=(0,1,1)$

הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \xrightarrow[]{R_3-R_1,R_3+R_2} \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית.

דרך נוספת: נשים את הוקטורים בעמודה של מטריצה $A$ . צ"ל של עמודות $A$ זה פשוט $Ax$ . ולכן הוקטורים בת"ל אמ"מ הפתרון היחידי למערכת $Ax=0$ (צ"ל שמתאפס) הוא הפתרון הטריאלי (הצ"ל הטריאלי)

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \

קיבלנו שיש משתנים חופשיים ולכן יש פתרון לא טרויאלי ולכן הוקטורים תלויים לינארית!

נסכם את התהליך:

אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים

הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
שים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה A
הבא את המטריצה לצורה מדורגת
אם באיזה שלב קיבלת שורת אפסים סימן שהוקטורים תלויים לינארית
אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית

ובדרך הנוספת

הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
שים את וקטורי הקואורדינטות בעמודות מטריצה A
בדוק אם יש פתרון לא טריאלי למערכת $Ax=0$
אם יש אז הם תלויים ואם אין אז הם בת"ל

צירופים לינאריים

דוגמא. האם המטריצה $v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$ היא צ"ל של המטריצות $v_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 10 & 10\end{pmatrix}$ ? אם כן, הצג אותה כצירוף לינארי שלהן.

פתרון: נעבור דבר ראשון למרחב הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי $S=\Big\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\Big\}$

נקבל $[v]_S=(1,2,3,4),[v_1]_S=(1,1,0,0),[v_2]_S=(1,0,2,1),[v_3]_S=(2,2,10,10)$ .

למדנו בשיעור שעבר שוקטור b נפרש על ידי וקטורים מסויימים אם"ם קיים פתרון למערכת Ax=b כאשר A היא המטריצה שעמודותיה הם אותם וקטורים. הפתרון x הוא וקטור הסקלרים מהצירוף הלינארי. לכן, אנו רוצים לדעת האם קיים פתרון למערכת ואם כן מהו:

$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 10\\ 0 & 1 & 10\end{pmatrix} x = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\4 \end{pmatrix}$

קל לפתור ולגלות ש $x=(1,-1,\frac{1}{2})$ מקיים את המערכת ולכן מתקיים $v=v_1-v_2+\frac{1}{2}v_3$

נסכם:

אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי

נתון וקטור b וקבוצת וקטורים. העבר את כולם לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
פתור את המערכת Ax=b כאשר עמודות A הינן וקטורי הקואורדינטות של קבוצת הוקטורים הפורשים
אם אין פתרון, b לא נפרש על ידי האחרים
אם קיים פתרון x אזי הוא מכיל את הסקלרים של הצירוף הלינארי בהתאם לסדר העמודות בA

מטריצות מעבר בין בסיסים

ראינו שקל מאד למצוא קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי, נשתמש בהנחה הזו בהמשך. אנו מעוניינים לדעת כיצד לחשב קואורדינטות לפי בסיס כלשהו, לאו דווקא סטנדרטי.

משפט: יהא $V$ מ"ו ויהיו $E,F$ בסיסים לו. אזי קיימת מטריצה יחידה המסומנת $[I]^E_F$ המקיימת את הפסוק הבא:

$\forall v\in V: [I]^E_F[v]_E=[v]_F$

נסמן $E=\{v_1,...,v_n\}$ ו $F=\{w_1,...,w_n\}$ . אזי מתקיים ש $[I]^E_F$ הינה המטריצה שעמודותיה הן $[v_i]_F$

דוגמא. יהא $V=\mathbb{R}^2$ ושני בסיסים $E=\{v_1=\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \}$ ו $F=\{w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},w_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\}$

נמצא את $[I]^E_F$ .

מתקיים כי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): v_1 = \mathbf{5}w_1-\mathbf{2}w_2 \\ v_2 = -\mathbf{1}w_1+\mathbf{1}w_2

לכן

$[I]^E_F= \begin{pmatrix} 5& -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

תרגיל:

הוכח ש $[I]^S_B[I]^A_S=[I]^A_B$ . מכיוון שאנו יודעים שמטריצה המעבר הינה יחידה, מספיק להראות שהכפל מקיים את הפסוק מההגדרה:

$\forall v\in V: [I]^S_B[I]^A_S[v]_A=[I]^S_B[v]_S=[v]_B$

משפט: לכל שני בסיסים E,F מטריצת המעבר הינה מטריצה הפיכה ומתקיים $([I]^E_F)^{-1}=[I]^F_E$

מסקנה:

אלגוריתם למציאת מטריצת מעבר בין כל שני בסיסים E,F

בחר בסיס סטנדרטי S מתאים למרחב שלך
מצא את מטריצת המעבר $[I]^E_S$ . זה קל מאד שכן יש למצוא את הקואורדינטות של איברי הבסיס E לפי הבסיס הסטנדרטי S
מצא את מטריצת המעבר $[I]^F_S$ .
הפוך את המטריצה האחרונה לקבל $([I]^F_S)^{-1}=[I]^S_F$
כפול את המטריצות על מנת לקבל את התוצאה הסופית $[I]^S_F[I]^E_S=[I]^E_F$

דוגמא:

$V=\mathbb{R}_2[x]$ מצא את $[I]^E_F$ כאשר

$E=\{1+x, x+x^2, x^2\}, F=\{x,1+x,1+2x^2\}$

פתרון:

נסמן $S$ הבסיס הסטנדרטי ואז $[I]^E_S= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, [I]^F_S= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

אחרי חישובים מקבלים כי

$[I]^S_F= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0.5 \\ 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{pmatrix}$

ולכן

$[I]^E_F=[I]^S_F[I]^E_S= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0.5 \\ 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1.5 & 0.5 \\ 1 & -0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

תרגיל

תהא $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

ובסיס

$E = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \}$

מצאו בסיס $F$ כך ש $A=[I]^E_F$

פתרון:

נסמן $F=\{v_1,v_2,v_3\}$

נחשב ונמצא כי

$[I]^F_E= A^{-1} = \begin{pmatrix} -4/3 & 1/3 & 1 \\ 2/3 & 1/3 & -2 \\ 1/3 & -1/3 & 1 \\ \end{pmatrix}$

מהגדרה נקבל כי

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): v_1 = -4/3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+ 2/3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}+ 1/3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/3 \\ -4/3 \\ 1 \\ \end{pmatrix}, \\ v_2 = 1/3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+ 1/3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}+ -1/3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \\ 0 \\ \end{pmatrix}, \\ v_3 = 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+ -2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}+ 1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}

הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6"

גרסה אחרונה מ־13:27, 23 ביולי 2020

תוכן עניינים

משפט המימדים

סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב

תרגיל 8.3

פתרון

תרגיל 8.5

הוכחה

תרגיל

תרגיל

קואורדינטות

תרגיל

דוגמאות ואלגוריתמים

חיתוך תת מרחבים

תרגיל 7.31

אלגוריתם למציאת חיתוך בין שני תתי מרחבים U,W

תרגיל =

תלות לינארית

אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים

צירופים לינאריים

אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי

מטריצות מעבר בין בסיסים

אלגוריתם למציאת מטריצת מעבר בין כל שני בסיסים E,F

דוגמא:

תרגיל

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
-==בסיס ומימד==
+==משפט המימדים==
-תארנו את ההגדרה של תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש. כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה במקרה זה תקרא '''בסיס'''.
+[[משפט המימדים]]:
-הגדרה: יהי מרחב או תת מרחב W ותהי קבוצת וקטורים S. אזי S נקראת '''בסיס לW''' אם מתקיימות שתי התכונות הבאות:
+יהי <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>U,W\leq V</math> תתי מרחבים. אזי
-*S פורשת את W. כלומר, spanS=W.
-*S בת"ל. (כלומר, זרקנו ממנה את כל הוקטורים המיותרים.)
-משפט: לכל מרחב וקטורי קיים בסיס, וכל הבסיסים לאותו המרחב הם מאותו גודל (כלומר, יש בהם אותו מספר ווקטורים).
+<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>
-לכן מותר להגדיר את ההגדרה הבאה:
+====סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב====
+#ניקח בסיס לU חיתוך W. נסמן אותו ב<math>\{v_1,...,v_k\}</math>
+#נשלים אותו לבסיס לU. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\}</math>
+#נשלים את הבסיס לחיתוך גם לבסיס לW. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}</math>
+#'''נוכיח''' (וזה עיקר העבודה) שהקבוצה <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m,w_1,...,w_p\}</math> הינה בסיס לU+W:
+##נראה כי כל וקטור מהצורה u+w ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברים אלה (זה ברור)
+##נראה כי הקבוצה הזו בת"ל, אחרת וקטורים שהנחנו שאינם בחיתוך יהיו חייבים להיות בחיתוך בסתירה
+#המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן <math>dim(U+W) = k+m+p=(k+m)+(k+p) -k</math>
-הגדרה: יהיה מרחב וקטורי. ניקח לו בסיס כלשהו (מותר לפי המשפט), מספר האיברים בבסיס מוגדר להיות '''המימד''' של הבסיס. לא יכולה להיות סתירה בהגדרה מכיוון שלפי המשפט כל בסיס שנבחר ייתן בדיוק את אותו המספר.
+===תרגיל 8.3===
+יהא V מ"ו ממימד 5, ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים של V. מהן האפשרויות עבור <math>dim(U\cap W)</math>? הוכח!
-'''הגדרה: הבסיס של מרחב האפס הינו הקבוצה הריקה, ולכן המימד של מרחב האפס הינו אפס.'''
+====פתרון====
+ראשית, <math>U+W\subseteq V</math> ולכן <math>dim(U+W)\leq dim(V)=5</math>. אבל לפי משפט המימדים מתקיים <math>5\geq dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)=3+4-dim(U\cap W)</math>.
-(חידה מטופשת: אם ניקח את המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימה. מהי?)
+ביחד מקבלים ש <math>dim(U\cap W)\geq 2</math>. מצד שני, החיתוך מוכל גם בU וגם בW ולכן המימד שלו קטן שווה מהמימדים שלהם, ובפרט מהקטן מהם. לכן <math>dim(U\cap W)\leq 3</math>.
-===תרגיל===
+סה"כ האפשרויות למימד הן 2,3. קל למצוא דוגמאות המוכיחות שאפשרויות אלה אכן מתקבלות מתישהו.
-הוכח כי כל קבוצה A המכילה את אפס הינה תלויה לינארית
+===תרגיל 8.5===
+יהא <math>V</math> מ"ו ממימד <math>n</math>, ויהיו <math>U,W</math> תתי מרחבים כך ש <math>dimU=n-1</math> ו-<math>W</math> אינו מוכל בU. הוכח כי <math>W+U=V</math>
 ====הוכחה====
-יש למצוא קבוצה סופית של וקטורים ת"ל בתוך הקבוצה: <math>\{0\}\subseteq A</math>. וקטור האפס תמיד תלוי לינארית כי לכל סקלר שונה מאפס (ובפרט לאחד) מתקיים <math>1\cdot 0 = 0</math>.
+נוכיח בעזרת משפט המימדים ש <math>dim(U+W)=dimV</math> ואז המשל נובע (כי תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד).
-לכן הקבוצה <math>\{0\}</math> '''לעולם אינה מהווה בסיס''' כי היא ת"ל, בפרט היא לא בסיס למרחב האפס.
+<math>dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)</math>. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן <math>dim(U\cap W)<dimW </math> ולכן <math>dimW-dim(U\cap W)\geq 1</math>. ביחד מקבלים <math>dim(U+W)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\geq n-1+1=n=dimV</math>. משל.
-===משפט השלישי חינם===
+===תרגיל===
-יהיה V מ"ו ותהי S קבוצה המוכלת בV. אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים שS היא בסיס לV:
+יהיו W1,W2 ת"מ של מ"ו V כך ש <math>dim(W_1+W_2)=\dim (W_1\cap W_2) +1</math>. הוכיחו כי <math>\{W_1,W_2\}=\{W_1+W_2,W_1\cap W_2\}</math>
-*S בת"ל
-*spanS=V
-*מספר האיברים בS שווה למימד של V. (מסומן: <math>\#S=dimV</math>.)
-===תרגיל חשוב (חלק מ7.7)===
+פתרון:
-יהיה V מרחב וקטורי, ויהי W תת מרחב. '''הוכח/הפרך''': אם dimV=dimW מתקיים שV=W בהכרח
+מתקיים לפי נתון כי<math>\dim (W_1\cap W_2)\leq \dim W_1, \dim W_2 \leq  dim(W_1+W_2)=\dim (W_1\cap W_2) +1</math>
-====פתרון====
+ולכן לכל i מתקיים כי <math>\dim W_i </math> שווה למימד הסכום או למימד החיתוך. כיוון שיש הכלה <math>W_1\cap W_2\subseteq W_1,W_2\subseteq W_1+W_2 </math> אז יתקיים שיוויון.
-נתון שdimV=dimW. נניח בשלילה ש<math>V\neq W</math> ונראה אם אנחנו מקבלים סתירה או האם מוצאים דוגמא נגדית. מכיוון שנתון <math>W\subseteq V</math> העובדה ש<math>V\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש <math>v\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\{v_1,...,v_n\}</math>.
+כעת לא ייתכן כי <math>W_1,W_2</math> שניהם שווים כי אז מימד הסכום היה שווה למימד החיתוך.
+=== תרגיל ===
+יהא <math>V</math> מ"ו מימד אי זוגי <math>\dim V=2n+1</math> ויהיו <math>W_{1},W_{2},U_{1},U_{2}</math> ת"מ המקיימים כי <math>W_{1}+W_{2}=V=U_{1}+U_{2}</math> הוכיחו <math>\left(W_{1}\cap U_{1}\right)+\left(W_{1}\cap U_{2}\right)+\left(W_{2}\cap U_{1}\right)+\left(W_{2}\cap U_{2}\right)\neq\left\{ 0\right\}</math>
-כעת, נוכיח ש<math>S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.
+==קואורדינטות==
+משפט: יהא <math>V</math> מ"ו מעל שדה  <math>\mathbb{F}</math>, יהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-<math>V</math> ויהי <math>v\in V</math> וקטור.
+ראינו ש-<math>v</math> ניתן להצגה יחידה כצ"ל של <math>B</math> וההצגה שלו לפי הבסיס הוא וקטור שמורכב מהמקדמים של הצ"ל.
+באופן פורמאלי, ההצגה של <math>v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא  '''וקטור הקואורדינטות''' המסומן <math>[v]_B\in\mathbb{F}^n</math> ומוגדר להיות <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> כאשר <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>.
-על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n+1 וקטורים, בסתירה לכך שהמימד של W הוא n.
+'''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>
-התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.
+תרגיל: הוכח כי לכל בסיס <math>B</math> מתקיים
+<math>v=0</math> אם"ם <math>[v]_B=0</math>.
+הוכחה: ישירות מההגדרה. <math>B</math> בת"ל ולכן הצ"ל היחידי שמתאפס זהו הצ"ל הטריאלי.
-===תרגיל 7.17===
+בהכללה:
-יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים:
-*B בסיס עבור V
-*וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>
-====הוכחה====
+<math>[v_1]_B=[v_2]_B</math> אמ"מ <math>v_1=v_2</math>
-ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני:
-נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:
-*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}</math>
-*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math>
-(שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זה.)
+הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש '''בסיסים סטנדרטיים'''. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:
-נניח בשלילה שהתנאי הראשון אינו נכון, לכן קיים בחיתוך וקטור שונה מאפס. כלומר קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. מכיוון שמשני צידי המשוואה יש וקטור שונה מאפס, לפחות אחד מהסקלרים שונה מאפס. נעביר אגף ונקבל סתירה לכך שB בת"ל.
+{| border="1" align="center" style="text-align:center;"
+|מרחב וקטורי
+|בסיס סטנדרטי
+|-
+|<math>\mathbb{F}^n</math>
+|<math>(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)</math>
+|-
+|<math>\mathbb{F}^{m\times n}</math>
+|<math>
+\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},
+\begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,
+\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,
+\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
+</math>
+|-
+|<math>\mathbb{F}_n[x]</math>
+|<math>1,x,x^2,...,x^n</math>
+|-
+|}
-כעת, ברור שהמרחב כולו שווה לסכום הזה מכיוון שהמרחב מורכב מצירופים לינאריים של B והסכום הזה שווה בדיוק לכל הצירופים הלינאריים של B. (למעשה זה נובע מהתכונה הבאה: לכל שתי קבוצות A,B מתקיים: <math>spanA+spanB=span(A \cup B)</math>)
+'''דוגמא.'''
+חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>v=1+2x-x^2</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>. למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
-נוכיח שהתנאי השני גורר את הראשון:
+<math>v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1\cdot 1 + 2\cdot x + (-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3</math>.
-מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש <math>V=span\phi\oplus span (B/\phi)=spanB</math> כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל.
+לפיכך <math>[v]_S=(1,2,-1,0)</math>.
-נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>A=\{u\}</math> ומכייון שבהכרח <math>u \neq 0</math> נקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (חיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)
-==משפט המימדים==
+'''דוגמא.'''
-[[משפט המימדים]]:
+חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>(a,b,c)</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{F}^n</math>. קל לראות ש <math>[v]_S = (a,b,c)</math>.
-יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחבים. אזי <math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>
+'''דוגמא.'''
+<math>V=\mathbb{R}^2,B=\{(1,1),(1,-1)\}</math> מצא את הקואורדינטות של הוקטור <math> v=(a,b)</math> לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש-
-====סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב====
-#ניקח בסיס לU חיתוך W. נסמן אותו ב<math>\{v_1,...,v_k\}</math>
-#נשלים אותו לבסיס לU. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\}</math>
-#נשלים את הבסיס לחיתוך גם לבסיס לW. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}</math>
-#'''נוכיח''' (וזה עיקר העבודה) שהקבוצה <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m,w_1,...,w_p\}</math> הינה בסיס לU+W:
-##נראה כי כל וקטור מהצורה u+w ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברים אלה (זה ברור)
-##נראה כי הקבוצה הזו בת"ל, אחרת וקטורים שהנחנו שאינם בחיתוך יהיו חייבים להיות בחיתוך בסתירה
-#המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן <math>dim(U+W) = k+m+p=(k+m)+(k+p) -k</math>
-===תרגיל 8.3===
+<math>v=\frac{a+b}{2}\cdot (1,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1)</math>
-יהא V מ"ו ממימד 5, ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים של V. מהן האפשרויות עבור <math>dim(U\cap W)</math>? הוכח!
-====פתרון====
-ראשית, <math>U+W\subseteq V</math> ולכן <math>dim(U+W)\leq dim(V)=5</math>. אבל לפי משפט המימדים מתקיים <math>5\geq dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)=3+4-dim(U\cap W)</math>.
+ולכן לפי ההגדרה <math>[v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})</math>
-ביחד מקבלים ש <math>dim(U\cap W)\geq 2</math>. מצד שני, החיתוך מוכל גם בU וגם בW ולכן המימד שלו קטן שווה מהמימדים שלהם, ובפרט מהקטן מהם. לכן <math>dim(U\cap W)\leq 3</math>.
+אנו רואים שאין זה קל למצוא את הקואורדינטות לפי בסיס כלשהו שאינו הסטנדרטי.
-סה"כ האפשרויות למימד הן 2,3. קל למצוא דוגמאות המוכיחות שאפשרויות אלה אכן מתקבלות מתישהו.
+=== תרגיל ===
-===תרגיל 8.5===
+יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> ויהי <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס לו. יהיו <math>u_1,...,u_k\in V</math>  וקטורים כלשהם וסקלארים <math>\alpha_i,\dots ,\alpha_k \in \mathbb{F}</math>. הוכח:
-יהא V מ"ו ממימד n, ויהיו U,W תתי מרחבים כך ש dimU=n-1 ו-W אינו מוכל בU. הוכח כי W+U=V
-====הוכחה====
+<math>\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B =[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B</math>
-נוכיח בעזרת משפט המימדים ש dim(U+W)=dimV ואז המשל נובע.
-<math>dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)</math>. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן <math>dim(U\cap W)<dimW </math> ולכן <math>dimW-dim(U\cap W)\geq 1</math>. ביחד מקבלים <math>dim(U+W)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\geq n-1+1=n=dimV</math>. משל.
+הוכחה:
-==צירופים לינאריים - דוגמאות נוספות==
+מ"ל את הטענה <math>[u_1]_B+[u_2]_B =[u_1+u_2]_B</math> ואת הטענה <math>\alpha[u_1]_B=[\alpha u_1]_B</math> (ואז המעבר לצ"ל כללי נעשה ע"י אינדוקציה)
+נסמן  <math>u_1=a_1v_1+...+a_nv_n, u_2=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי <math>u_1+u_2=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n</math> ומתקיים
+<math>[u_1]_B+[u_2]_B =\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}  + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} =
+\begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n\end{pmatrix}
+[u_1+u_2]_B</math>
+בנוסף <math>\alpha u_1=\alpha a_1v_1+...+\alpha a_nv_n</math> ומתקיים
+<math>\alpha[u_1]_B= \alpha \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}=
+\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha a_2 \\ \vdots \\\alpha a_n\end{pmatrix} =
+[\alpha u_1]_B</math>
+מש"ל
-'''תרגיל 7.31'''
+'''מסקנה:'''
+. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אם"ם <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל
+. <math>w\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם"ם <math>[w]_B\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math>
+הוכחה:
+. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל
+אמ"מ
+<math>\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math>
+אמ"מ
+<math>[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B=[0]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math>
+אמ"מ
+<math>\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math>
+אמ"מ
+<math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל
+. ברעיון דומה
+מה בעצם המסקנה אומרת? שכל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה '''בכל''' מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbb{F}^n</math>.
+ועוד הגדרה לפני ההמשך, עד כה דיברנו "רק" על ייצוג של וקטורים לפי בסיס. אפשר להכליל בפשטות לכל המרחב הוקטורי. הנה ההגדרה:
+'''הגדרה''' :
+יהא <math>V</math> מ"ו (או תת מרחב) ויהי <math>B</math> בסיס לו. אזי מרחב הקורדיאנטות (של <math>V</math> לפי בסיס <math>B</math>) הוא
+<math>[V]_B = \{[v]_B \; | \; v\in V\}</math>
+'''הערה :''' יהא <math>V</math> מ"ו, <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים ו <math>B</math> בסיס. אזי
+#<math>[W_1 \cap W_2]_B = [W_1]_B \cap [W_2]_B</math>
+#<math>[W_1 + W_2]_B = [W_1]_B + [W_2]_B</math>
+== דוגמאות ואלגוריתמים==
+=== חיתוך תת מרחבים ===
+===='''תרגיל 7.31''' ====
 נגדיר שני תתי מרחבים של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>:
@@ שורה 124: / שורה 194: @@
 '''פתרון.'''
-בתרגיל זה נשתמש בשיטה נפוצה ביותר. אנו מעוניינים לתאר את המרחבים הוקטוריים באופן קל יותר לעבודה מאשר התיאור לעיל; לכן ננסה לתאר את תתי המרחבים הללו כמרחבי פתרון של מערכת הומוגנית (בדומה להצגה השלישית בתרגיל הקודם). המשתנים שלנו במערכת המשוואות יהיו '''המקדמים''' של הפולינומים.
+בתרגיל זה נשתמש בשיטה נפוצה ביותר. אנו מעוניינים לתאר את המרחבים הוקטוריים באופן קל יותר לעבודה מאשר התיאור לעיל; לכן ננסה לתאר את תתי המרחבים הללו כמרחבי פתרון של מערכת הומוגנית (אחת מהדרכים להצגת תת מרחב מתירגול קודם). המשתנים שלנו במערכת המשוואות יהיו '''המקדמים''' של הפולינומים.
-נביט בV. זהו אוסף כל הפולינומים ש2 הוא שורש שלהם. יהי פולינום כללי <math>p(x)=a+bx+cx^2+dx^3</math>, הוא שייך לV אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית: <math>a+2b+4c+8d=0</math>. באופן דומה הפולינום שייך לU אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית <math>0=a+b+c+d</math>. לכן פולינום נמצא בחיתוך אם"ם מקדמיו (הקואורדינטות) מקיימים את מערכת המשוואות המכילה את שתי המשוואות הללו. נמצא בסיס למרחב זה:
+נביט ב <math>V</math>. זהו אוסף כל הפולינומים ש2 הוא שורש שלהם. יהי פולינום כללי <math>p(x)=a+bx+cx^2+dx^3</math>, הוא שייך ל<math>V</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית: <math>a+2b+4c+8d=0</math>. לכן <math>V=\{a+bx+cx^2+dx^3|a+2b+4c+8d=0\}</math> אם נעבוד עם הבסיס הסטנדרטי <math>S</math> נקבל כי
-<math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8\end{pmatrix}</math>. נדרג קנונית לקבל
+<math>[V]_S=\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+2b+4c+8d=0\}</math>
+באופן דומה הפולינום שייך ל<math>U</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית <math>0=a+b+c+d</math>. ומרחב הקורדינאטות הוא
-<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 7\end{pmatrix}</math>
+<math>[U]_S=\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+b+c+d=0\}</math>
+את החיתוך <math>[V]_S\cap[U]_S</math> קל למצוא! ראינו איך עושים זאת זה פשוט שווה ל
+<math>\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |
+\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix} = 0 \}</math>
+נדרג את המטריצה ונמצא את הפתרון:
+<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1  \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & -1 & -3 & -7  \end{pmatrix} \to
+ \\
+\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & -1 & -3 & -7  \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 7  \end{pmatrix}
+</math>
-ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2t+6s,-3t-7s,t,s)</math>, ולכן הבסיס הינו <math>(2,-3,1,0),(6,-7,0,1)</math>. נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית:
+ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2t+6s,-3t-7s,t,s)</math>, ולכן הבסיס הינו <math>(2,-3,1,0),(6,-7,0,1)</math>.
+נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית:
-<math>\{2-3x+x^2,6-7x+x^3\}</math> מהווים בסיס לחיתוך בין V לU.
+<math>U\cap V = sapn \{v_1, v_2 \; | \; [v_1]_s = (2,-3,1,0), [v_2]_s = (6,-7,0,1) \}  = span\{2-3x+x^2,6-7x+x^3\}</math>
-===אלגוריתם למציאת חיתוך בין שני תתי מרחבים U,W===
+====אלגוריתם למציאת חיתוך בין שני תתי מרחבים U,W====
 ישנן שתי שיטות לחשב את החיתוך, נתחיל בראשונה (שביצענו הרגע, למעשה):
-#מצא מערכת משוואות המתארת את U ומערכת משוואות המתארת את W (כמו בהצגה השנייה מבין הצגות המרחב)
+# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.
+#מצא מערכת משוואות המתארת את <math>U</math> ומערכת משוואות המתארת את <math>W</math>
 #פתור מערכת אחת המכילה את כל המשוואות משתי המערכות וקבל את החיתוך
+# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.
 שיטה שנייה:
-#כתוב צירוף לינארי כללי בU וצירוף לינארי כללי בW
+# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.
+# הצג את המרחבים כ  <math>span(?)</math>
+#כתוב צירוף לינארי כללי ב<math>U</math> וצירוף לינארי כללי ב<math>W</math>
 #השווה את הצירופים ופתור מערכת משוואות על '''הסקלרים'''
 #הצב את הסקלרים שקיבלת בצירוף הלינארי וקבל את החיתוך
+# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.
-'''תרגיל.'''
+=====תרגיל ======
 מצא את החיתוך בין תתי המרחבים הבאים בשיטה השנייה לעיל.
@@ שורה 162: / שורה 251: @@
 <math>a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}</math>
+במרחב הקורדינאטות (עם הבסיס הסטדנדרטי <math>S</math>, נקבל את השיוון
+<math>a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}</math>
 לכן מערכת המשוואות '''על הסקלרים''' הינה:
@@ שורה 185: / שורה 278: @@
 במקרה זה קל יותר למצוא את x,y,z; המשתנים החופשיים הינם x,z ומתקיים z=5y. ולכן הצ"ל הכללי בחיתוך הינו:
-<math>B\cap C=\Big\{x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}+5y\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\Big\}=</math>
+<math>[B]_S \cap [C]_S=
+\Big\{x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+5y\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}\Big\}= \\
-<math>=\Big\{x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}6 & 9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}\Big\}=span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 & 9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}\Big\}</math>
+\Big\{x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}6 \\ 9 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}=
+span\Big\{\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 \\ 9 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}
-==קואורדינטות==
-משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V ויהי <math>v\in V</math> וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי בהכרח <math>\forall i:a_i=b_i</math>. (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים <math>a_i-b_i</math>.)
-הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי '''וקטור הקואורדינטות''' של v לפי בסיס B, מסומן <math>[v]_B\in\mathbb{F}^n</math> מוגדר להיות <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> כאשר <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math> ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט.
-'''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>
-תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל בסיס B מתקיים ש <math>v=0</math> אם"ם <math>[v]_B=0</math>.
-הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש '''בסיסים סטנדרטיים'''. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:
-{| border="1" align="center" style="text-align:center;"
-|מרחב וקטורי
-|בסיס סטנדרטי
-|-
-|<math>\mathbb{F}^n</math>
-|<math>(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)</math>
-|-
-|<math>\mathbb{F}^{m\times n}</math>
-|<math>
-\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},
-\begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,
-\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,
-\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
 </math>
-|-
-|<math>\mathbb{F}_n[x]</math>
-|<math>1,x,x^2,...,x^n</math>
-|-
-|}
+אם נחזור למרחבים המקוריים נקבל כי
-'''דוגמא.'''
+<math>B\cap C=span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 & 9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}\Big\}</math>
-חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>v=1+2x-x^2</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>. למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
-<math>v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1\cdot 1 + 2\cdot x + (-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3</math>.
-לפיכך <math>[v]_S=(1,2,-1,0)</math>.
+=== תלות לינארית ===
 '''דוגמא.'''
-חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>(a,b,c)</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{F}^n</math>. קל לראות ש <math>[v]_S = (a,b,c)</math>.
-'''דוגמא.'''
+האם הפולינומים <math>v_1=1+x^2,v_2=1-x,v_3=x+x^2</math> תלויים לינארית?
-<math>V=\mathbb{R}^2,B=\{(1,1),(1,-1)\}</math> מצא את הקואורדינטות של הוקטור <math> v=(a,b)</math> לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש-
+דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש <math>[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]_S=(0,1,1)</math>
-<math>v=\frac{a+b}{2}\cdot (1,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1)</math>
+הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות  שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.
+<math>
+\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
+\xrightarrow[]{R_3-R_1,R_3+R_2}
+\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>
-ולכן לפי ההגדרה <math>[v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})</math>
+לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית.
-אנו רואים שאין זה קל למצוא את הקואורדינטות לפי בסיס כלשהו שאינו הסטנדרטי.
-'''טענה.'''
+דרך נוספת: נשים את הוקטורים בעמודה של מטריצה <math>A</math>. צ"ל של עמודות <math>A</math> זה פשוט <math>Ax</math>. ולכן הוקטורים בת"ל אמ"מ הפתרון היחידי למערכת <math>Ax=0</math> (צ"ל שמתאפס) הוא הפתרון הטריאלי (הצ"ל הטריאלי)
-יהא V מ"ו ויהי B בסיס לו. יהיו <math>u_1,...,u_k\in V</math> וקטורים כלשהם. הוכח:
+<math>
-*<math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אם"ם <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל
+\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \to
-*<math>w\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם"ם <math>[w]_B\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math>
+\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \to
+\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \
-נוכיח טענה זו בהמשך, לאחר שנלמד על העתקות לינאריות. כעת נניח שהיא נכונה ונתרכז בכלי החישובי המשמעותי שקיבלנו; כל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbb{F}^n</math>.
+</math>
-'''דוגמא.'''
-האם הפולינומים <math>v_1=1+x^2,v_2=1-x,v_3=x+x^2</math> תלויים לינארית?
-דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש <math>[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]=(0,1,1)</math>
+קיבלנו שיש משתנים חופשיים ולכן יש פתרון לא טרויאלי ולכן הוקטורים תלויים לינארית!
-הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.
-<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}</math>
+נסכם את התהליך:
-<math>R_3-R_1,R_3+R_2</math>
+====אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים====
-<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>
-לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית. נסכם את התהליך:
-===אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים===
 #הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
 #שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''שורות''' מטריצה A
@@ שורה 280: / שורה 326: @@
 #אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית
+ובדרך הנוספת
+#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
+#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''עמודות''' מטריצה A
+# בדוק אם יש פתרון לא טריאלי למערכת <math>Ax=0</math>
+# אם יש אז הם תלויים ואם אין אז הם בת"ל
+=== צירופים לינאריים ===
 '''דוגמא.'''
-האם המטריצה <math>v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}</math> נפרשת על ידי המטריצות
+האם המטריצה <math>v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}</math> היא צ"ל של המטריצות
 <math>
 v_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},
 v_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix},
 v_3=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 10 & 10\end{pmatrix}
-</math>
+</math>?
-? אם כן, הצג אותה כצירוף לינארי שלהן.
+אם כן, הצג אותה כצירוף לינארי שלהן.
 פתרון: נעבור דבר ראשון למרחב הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי <math>S=\Big\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\Big\}</math>
@@ שורה 304: / שורה 356: @@
 נסכם:
-===אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי===
+====אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי====
 #נתון וקטור b וקבוצת וקטורים. העבר את כולם לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
 #פתור את המערכת Ax=b כאשר '''עמודות''' A הינן וקטורי הקואורדינטות של קבוצת הוקטורים הפורשים
@@ שורה 313: / שורה 365: @@
 ראינו שקל מאד למצוא קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי, נשתמש בהנחה הזו בהמשך. אנו מעוניינים לדעת כיצד לחשב קואורדינטות לפי בסיס כלשהו, לאו דווקא סטנדרטי.
-'''משפט:''' יהא V מ"ו ויהיו E,F בסיסים לו. אזי '''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' המסומנת <math>[I]^E_F</math> המקיימת את הפסוק הבא:
+'''משפט:''' יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>E,F</math> בסיסים לו. אזי '''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' המסומנת <math>[I]^E_F</math> המקיימת את הפסוק הבא:
 <math>\forall v\in V: [I]^E_F[v]_E=[v]_F</math>
@@ שורה 322: / שורה 374: @@
 '''דוגמא.'''
+יהא <math>V=\mathbb{R}^2</math> ושני בסיסים
+<math>E=\{v_1=\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \}</math>
+ו<math>F=\{w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},w_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\}</math>
+נמצא את <math>[I]^E_F</math>.
+מתקיים כי
+<math>
+v_1 = \mathbf{5}w_1-\mathbf{2}w_2 \\
+v_2 = -\mathbf{1}w_1+\mathbf{1}w_2
+</math>
+לכן
+<math>
+[I]^E_F=
+\begin{pmatrix} 5& -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
+</math>
+'''תרגיל:'''
 הוכח ש <math>[I]^S_B[I]^A_S=[I]^A_B</math>. מכיוון שאנו יודעים שמטריצה המעבר הינה יחידה, מספיק להראות שהכפל מקיים את הפסוק מההגדרה:
@@ שורה 340: / שורה 413: @@
 #הפוך את המטריצה האחרונה לקבל  <math>([I]^F_S)^{-1}=[I]^S_F</math>
 #כפול את המטריצות על מנת לקבל את התוצאה הסופית <math>[I]^S_F[I]^E_S=[I]^E_F</math>
+====דוגמא:====
+<math>V=\mathbb{R}_2[x]</math> מצא את <math>[I]^E_F</math> כאשר
+<math>E=\{1+x, x+x^2, x^2\}, F=\{x,1+x,1+2x^2\}</math>
+פתרון:
+נסמן <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי ואז
+<math>
+[I]^E_S=
+\begin{pmatrix}
+& 0 & 0 \\
+& 1 & 0 \\
+& 1 & 1
+\end{pmatrix},
+[I]^F_S=
+\begin{pmatrix}
+& 1 & 1 \\
+& 1 & 0 \\
+& 0 & 2
+\end{pmatrix}
+</math>
+אחרי חישובים מקבלים כי
+<math>[I]^S_F=
+\begin{pmatrix}
+& 1 & 1 \\
+& 1 & 0 \\
+& 0 & 2
+\end{pmatrix}^{-1} =
+\begin{pmatrix}
+-1 & 1 & 0.5 \\
+& 0 & -0.5 \\
+& 0 & 0.5
+\end{pmatrix}
+</math>
+ולכן
+<math>[I]^E_F=[I]^S_F[I]^E_S=
+\begin{pmatrix}
+-1 & 1 & 0.5 \\
+& 0 & -0.5 \\
+& 0 & 0.5
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+& 0 & 0 \\
+& 1 & 0 \\
+& 1 & 1
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+& 1.5 & 0.5 \\
+& -0.5 & -0.5 \\
+& 0.5 & 0.5
+\end{pmatrix}
+</math>
+====תרגיל====
+תהא
+<math>
+A =
+\begin{pmatrix}
+& 2 & 3 \\
+& 5 & 6 \\
+& 1 & 0 \\
+\end{pmatrix}
+</math>
+ובסיס
+<math>
+E =
+\{
+\begin{pmatrix}
+  \\
+  \\
+  \\
+\end{pmatrix},
+\begin{pmatrix}
+  \\
+  \\
+\\
+\end{pmatrix},
+\begin{pmatrix}
+  \\
+  \\
+  \\
+\end{pmatrix}
+\}
+</math>
+מצאו בסיס <math>F</math> כך ש <math>A=[I]^E_F</math>
+פתרון:
+נסמן <math>F=\{v_1,v_2,v_3\}</math>
+נחשב ונמצא כי
+<math>
+[I]^F_E= A^{-1} =
+\begin{pmatrix}
+-4/3 & 1/3 & 1 \\
+/3 & 1/3 & -2 \\
+/3 & -1/3 & 1 \\
+\end{pmatrix}
+</math>
+מהגדרה נקבל כי
+<math>
+v_1 =
+-4/3
+\begin{pmatrix}
+  \\
+  \\
+  \\
+\end{pmatrix}+
+/3
+\begin{pmatrix}
+  \\
+  \\
+\\
+\end{pmatrix}+
+/3
+\begin{pmatrix}
+  \\
+  \\
+  \\
+\end{pmatrix} =
+\begin{pmatrix}
+-2/3  \\
+-4/3  \\
+  \\
+\end{pmatrix},
+\\
+v_2 =
+/3
+\begin{pmatrix}
+  \\
+  \\
+  \\
+\end{pmatrix}+
+/3
+\begin{pmatrix}
+  \\
+  \\
+\\
+\end{pmatrix}+
+-1/3
+\begin{pmatrix}
+  \\
+  \\
+  \\
+\end{pmatrix} =
+\begin{pmatrix}
+/3  \\
+/3  \\
+  \\
+\end{pmatrix},
+\\
+v_3 =
+\begin{pmatrix}
+  \\
+  \\
+  \\
+\end{pmatrix}+
+-2
+\begin{pmatrix}
+  \\
+  \\
+\\
+\end{pmatrix}+
+\begin{pmatrix}
+  \\
+  \\
+  \\
+\end{pmatrix} =
+\begin{pmatrix}
+-1  \\
+\\
+-1  \\
+\end{pmatrix}
+</math>