[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]
==צירופים לינאריים - דוגמאות נוספות==
==בסיס ומימד==
תארנו את ההגדרה של תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש. כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה במקרה זה תקרא '''בסיס'''.
הגדרה: יהי מרחב או תת מרחב W ותהי קבוצת וקטורים S. אזי S נקראת '''בסיס לW''' אם מתקיימות שתי התכונות הבאות:
*S פורשת את W. כלומר, spanS=W.
*S בת"ל. (כלומר, זרקנו ממנה את כל הוקטורים המיותרים.)
משפט: לכל מרחב וקטורי קיים בסיס, וכל הבסיסים לאותו המרחב הם מאותו גודל (כלומר, יש בהם אותו מספר ווקטורים).
נראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג לכן מותר להגדיר את אותו תת המרחב הוקטורי.ההגדרה הבאה:
הגדרה: יהיה מרחב וקטורי. ניקח לו בסיס כלשהו (מותר לפי המשפט), מספר האיברים בבסיס מוגדר להיות '''תרגיל.המימד'''של הבסיס. לא יכולה להיות סתירה בהגדרה מכיוון שלפי המשפט כל בסיס שנבחר ייתן בדיוק את אותו המספר.
יהי <math>V=\mathbb{R}^4</math>, הוכח ששלוש הקבוצות הבאות שוות'''הגדרה:*<math>span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2הבסיס של מרחב האפס הינו הקבוצה הריקה,0)\}</math>ולכן המימד של מרחב האפס הינו אפס.'''
*<math>\{(x,y,z,wחידה מטופשת: אם ניקח את המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימה. מהי?)\in \mathbb{R}^4 |(z-y-x=0)\and (w-y+x=0)\}</math>
*===תרגיל===הוכח כי כל קבוצה A המכילה את אפס הינה תלויה לינארית====הוכחה====יש למצוא קבוצה סופית של וקטורים ת"ל בתוך הקבוצה: <math>\{0\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\bigsubseteq A</math>. וקטור האפס תמיד תלוי לינארית כי לכל סקלר שונה מאפס (ובפרט לאחד)|t,sמתקיים <math>1\in\mathbb{R}\}cdot 0 = 0</math>.
לכן הקבוצה <math>\{0\}</math> '''פתרון:לעולם אינה מהווה בסיס'''כי היא ת"ל, בפרט היא לא בסיס למרחב האפס.
נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה===משפט השלישי חינם===יהיה V מ"ו ותהי S קבוצה המוכלת בV. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אזי אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכןשניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, <math>השלישי מתקיים בהכרח (x,y,z,wבחינם)\in span\{ומתקיים שS היא בסיס לV:*S בת"ל*spanS=V*מספר האיברים בS שווה למימד של V. (0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}מסומן: </math> אם"ם קיימים סקלרים a,b,c כך ש <math>(x,y,z,w)\#S=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)dimV</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות:)
===תרגיל חשוב (חלק מ7.7)===יהיה V מרחב וקטורי, ויהי W תת מרחב. '''הוכח/הפרך''': אם dimV=dimW מתקיים שV=W בהכרח====פתרון====נתון שdimV=dimW. נניח בשלילה ש<math>V\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & | & x neq W</math> ונראה אם אנחנו מקבלים סתירה או האם מוצאים דוגמא נגדית. מכיוון שנתון <math>W\subseteq V</math> העובדה ש<math>V\1 & 1 & 1 & | & y neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש <math>v\1 & 3 & 2 & | & z notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\\1 & -1 & 0 & | & w \\\end{pmatrixv_1,...,v_n\}</math>.
נדרג את המערכת לקבלכעת, נוכיח ש<math>S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.
<math>\begin{pmatrix}על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n+1 & 1 & 1 & | & y \\0 & 2 & 1 & | & x \\0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\\end{pmatrix}</math>וקטורים, בסתירה לכך שהמימד של W הוא n.
'''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', שכן אלו הסקלרים התוצאה של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''האם קיים פתרון למערכת''' ובמקרה תרגיל זה קיים פתרון , כאמור, חשובה מאד. אם"ם <math>z-y-x=0</math> וגם <math>w-y+x=0</math> וזו בדיוק הקבוצה השנייהW תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.
(שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax=b יש פתרון. זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה.)
===תרגיל 7.17===
יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים:
*B בסיס עבור V
*וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>
====הוכחה====
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני:
נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:
*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}</math>
*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math>
(שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זה.)
נניח בשלילה שהתנאי הראשון אינו נכון, לכן קיים בחיתוך וקטור שונה מאפס. כלומר קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. מכיוון שמשני צידי המשוואה יש וקטור שונה מאפס, לפחות אחד מהסקלרים שונה מאפס. נעביר אגף ונקבל סתירה לכך שB בת"ל.
כעת, ברור שהמרחב כולו שווה לסכום הזה מכיוון שהמרחב מורכב מצירופים לינאריים של B והסכום הזה שווה בדיוק לכל הצירופים הלינאריים של B. (למעשה זה נובע מהתכונה הבאה: לכל שתי קבוצות A,B מתקיים: <math>spanA+spanB=span(A \cup B)</math>)
נוכיח שהתנאי השני גורר את הראשון:
מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש <math>V=span\phi\oplus span (B/\phi)=spanB</math> כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל.
נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>A=\{u\}</math> ומכייון שבהכרח <math>u \neq 0</math> נקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (חיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)
==צירופים לינאריים - דוגמאות נוספות==
כעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית הנתונה. נדרג אותה והפעם '''נחפש את הפתרון הכללי'''.
<math>\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\
1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\
\end{pmatrix}</math>
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & | & 0 \\
0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0 \\
\end{pmatrix}</math>
יש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z=t, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה <math>\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)</math>
'''תרגיל 7.31'''