88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6

קואורדינטות

נסביר את כל המושגים תוך כדי שימוש בדוגמא קבועה: $V=\mathbb{R}^2, S_{\mathbb{R}^2}=\{(1,0),(0,1)\},B=\{(1,1),(1,-1)\}$ , מתקיים ששתי הקבוצות מהוות בסיס למרחב V.

משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי $B=\{v_1,...,v_n\}$ בסיס ל-V ויהי $v\in V$ וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים $v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n$ אזי בהכרח $\forall i:a_i=b_i$ . (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים $a_i-b_i$ .)

הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי וקטור הקואורדינטות של v לפי בסיס B, מסומן $[v]_B\in\mathbb{F}^n$ מוגדר להיות $[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}$ כאשר $v=a_1v_1+...+a_nv_n$ ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט.

חשוב לזכור $[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}$ אם"ם $v=a_1v_1+...+a_nv_n$

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6

קואורדינטות

Math-Wiki