הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6"

גרסה מ־21:20, 29 ביולי 2011

קואורדינטות

משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי $B=\{v_1,...,v_n\}$ בסיס ל-V ויהי $v\in V$ וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים $v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n$ אזי בהכרח $\forall i:a_i=b_i$ . (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים $a_i-b_i$ .)

הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי וקטור הקואורדינטות של v לפי בסיס B, מסומן $[v]_B\in\mathbb{F}^n$ מוגדר להיות $[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}$ כאשר $v=a_1v_1+...+a_nv_n$ ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט.

חשוב לזכור $[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}$ אם"ם $v=a_1v_1+...+a_nv_n$

תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל בסיס B מתקיים ש $v=0$ אם"ם $[v]_B=0$ .

הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש בסיסים סטנדרטיים. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:

מרחב וקטורי	בסיס סטנדרטי
$\mathbb{F}^n$	$(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)$
$\mathbb{F}^{m\times n}$	$\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},..., \begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},..., \begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\mathbb{F}_n[x]$	$1,x,x^2,...,x^n$

דוגמא. חשב את הקואורדינטות של הוקטור $v=1+2x-x^2$ לפי הבסיס הסטנדרטי S של $\mathbb{R}_3[x]$ . למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:

$v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1\cdot 1 + 2\cdot x + (-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3$ .

לפיכך $[v]_S=(1,2,-1,0)$ .

דוגמא. חשב את הקואורדינטות של הוקטור $(a,b,c)$ לפי הבסיס הסטנדרטי S של $\mathbb{F}^n$ . קל לראות ש $[v]_S = (a,b,c)$ .

דוגמא. $V=\mathbb{R}^2,B=\{(1,1),(1,-1)\}$ מצא את הקואורדינטות של הוקטור $v=(a,b)$ לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש-

$v=\frac{a+b}{2}\cdot (1,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1)$

ולכן לפי ההגדרה $[v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})$

תרגיל

יהא V מ"ו ויהי B בסיס לו. יהיו $u_1,...,u_k\in V$ וקטורים כלשהם. הוכח:

$u_1,...,u_k$ בת"ל אם"ם $[u_1]_B,...,[u_k]_B$ בת"ל
$w\in span\{u_1,...,u_k\}$ אם"ם $w\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}$

נוכיח תרגיל זה בהמשך, לאחר שנלמד על העתקות לינאריות. כעת נניח שהוא נכון ונתרכז בכלי החישובי המשמעותי שקיבלנו; כל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח $\mathbb{F}^n$ .

דוגמא.

האם הפולינומים $v_1=1+x^2,v_2=1-x,v_3=x+x^2$ תלויים לינארית?

דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש $[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]=(0,1,1)$

הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$

$R_3-R_1,R_3+R_2$

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית. נסכם את התהליך:

אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים

הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
שים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה A
הבא את המטריצה לצורה מדורגת
אם באיזה שלב קיבלת שורת אפסים סימן שהוקטורים תלויים לינארית
אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית

@@ שורה 44: / שורה 44: @@
 '''דוגמא.'''
 חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>(a,b,c)</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{F}^n</math>. קל לראות ש <math>[v]_S = (a,b,c)</math>.
+'''דוגמא.'''
+<math>V=\mathbb{R}^2,B=\{(1,1),(1,-1)\}</math> מצא את הקואורדינטות של הוקטור <math> v=(a,b)</math> לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש-
+<math>v=\frac{a+b}{2}\cdot (1,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1)</math>
+ולכן לפי ההגדרה <math>[v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})</math>
 ===תרגיל===

הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6"

גרסה מ־21:20, 29 ביולי 2011

קואורדינטות

תרגיל

אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים