=העתקות לינאריות (ההע"ל)=
'''הגדרה:''' יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל ''אותו'' שדה <math>\mathbb{F}</math>. ה"ל היא פונקציה <math>T:V\to W</math> היא הע"ל אם
# <math>\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)</math>
# <math>\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)</math>
==דוגמאות ==
1. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>
אזי העתקה <math>L_{A}:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto Av</math> היא ההע"ל.
הוכחה: לכל <math>v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים
2. ההעתקה <math>V=trace:\mathbb{F}^{n\times n},\,W=to \mathbb{F}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. אזי העתקה <math>trace:V\to W</math>המגודרת <math>A\mapsto tr(A)</math> היא ההע"ל.
הוכחה: לכל <math>\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math>
3. ההעתקה <math>V=D:\mathbb{R}_{n}[x],\,W=to \mathbb{R}_{n-1}[x]</math> שניהם מעל <math>\mathbb{R}</math>. אזי העתקה <math>D:V\to W</math> המגודרת <math>p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)</math> היא ההע"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות <math>I:V\to V</math> המוגדרת <math>v\mapsto v</math> היא ההע"ל.
5. העתקת האפס <math>0:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto 0</math> היא ההע"ל.
6. יהי <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> מימד <math>n</math> ויהי <math>B</math> בסיס אזי הפונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math>
המוגדרת <math>v\mapsto [v]_B</math> היא ההע"ל.
=== דוגמאות נגדיות ===
אזי העתקה <math>f:V\to W</math> המוגדרת
<math>\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a^2 \\ b \end{pmatrix}v</math>
אינה ההע"ל.
כי למשל
</math>
=== תרגיל ===יהיו <math>T,S:V\to W</math> שתי ההע"ל. <math>B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}</math> בסיס ל <math>V</math>. נניח <math>T(v_{i})=S(v_{i})</math> לכל <math>1\leq i\leq n</math>
הוכח: <math>T=S</math>. כלומר לכל <math>v\in V</math> מתקיים <math>T(v)=S(v)</math>
וקטורים כלשהם.
אזי קימת ההע"ל יחידה <math>T:V\to W</math> כך ש <math>T(v_{i})=w_{i}</math> לכל <math>i</math>
'''מסקנה''' ניתן להגדיר ההע"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל '''V'''
===דוגמאות ===
==== דוגמא 1.====<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מצא את '''ה'''ההע"ל <math>T:V\to V</math>
המקימת <math>T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1</math>. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן <math>T</math>
שולחת פולינום כללי <math>a+bx+cx^{2}</math>
=a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x</math>
== הגדרות== דוגמא 2 ====יהיו <math>v_1=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},v_2= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3</math> עוד יהיו <math>w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},w_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},w_3= \begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2</math> האם קיימת הע"ל <math>T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> המקיימת <math>Tv_i=w_i</math> לכל <math>i</math>? פתרון: אם <math>v_1,v_2,v_3</math> היו בסיס אז לפי משפט ההגדרה היתה ה"ל כנדרש אבל... <math> \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\2 & 1 & 4 \\3 & 1 & 7 \\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\0 & -1 & 2 \\0 & -2 & 4 \\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 0 \\\end{pmatrix}</math> מפתרון המערכת רואים שהוקטורים ת"ל ומתקיים <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> לכן גם אם נפעיל את הע"ל על שני האגפים נקבל שיוון, כלומר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> ולכן הדרישה כי <math>Tv_3=w_3</math> מתקבלת "בחינם" ולכן אפשר לוותר עליה.. כעת, ניתן להשלים את <math>v_1,v_2</math> לבסיס <math>v_1,v_2,v</math> ולהגדיר <math>Tv_i=w_i, Tv=0</math>/ לפי משפט ההגדרה, אכן הגדרנו ה"ל. לפי ההגדרה שהגדנו היא מקיימת את תנאי השאלה. #מה היה קורה אם היינו מחליפים את <math>v_1,v_2,v_3</math> להיות <math>u_1=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},u_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix},u_3= \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3</math>?האם קיימת הע"ל <math>T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> המקיימת <math>Tu_i=w_i</math> לכל <math>i</math>? #מה היה קורה אם היינו מחליפים ומגדירים <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math> ? תשובה: לא היינו יכולים להגדיר הע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> ואם מתקיים <math>Tv_1=w_1,Tv_2=w_2</math> אזי בהכרח <math>Tv_3</math> צריך להיות מוגדר לפי הקשר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> שלא מתקיים עבור <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math> == גרעין, תמונה ודרגה==תהא <math>T:V\to W</math> ההע"ל.#הגרעין של <math>T</math> מוגדר <math>kerT\ker T=\{v\in V\,|\,T(v)=0\}\subset leq V</math>#התמונה של <math>T</math> מוגדרת <math>ImgTImT=\{T(v)\,|\,v\in V\}\subset leq W</math>#הדרגה של <math>T</math> מוגדרת <math>rank(T)=dim(ImgTImT)</math>
=== דוגמאות ===
# <math>kerT=N(A)</math>
# <math>ImT=C(A)</math>
# <math>rankT=rankA</math>
2.
# <math>ImT=\mathbb{F}^n</math>
=== תרגיל ===תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכח# <math>KerT \subseteq KerT^2</math># <math>ImT^2 \subseteq ImT</math> פתרון:# יהא <math>v\in KerT</math> אזי <math>Tv=0</math> ולכן <math>T^2v=T(Tv))=T0=0</math>. כלומר <math>v\in KerT^2</math># יהא <math>v\in ImT^2</math> אזי <math>\exists w: T^2w=v</math> ולכן <math>T(Tw)=T^2w=v</math>. כלומר <math>v\in ImT</math> === משפט ===
תהא <math>T:V\to W</math> ההע"ל.
אזי <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math> מתקיים כי <math>kerT=\{0\}</math>
==== תרגיל: ====
תהא <math>T:V\to W</math> ההע"ל. ויהיו <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> וקטורים ב <math>V</math> אזי
# אם <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל אז <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל
# אם <math>T</math> חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל אז <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math>
=====הוכחה=====
# נניח <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. נפעיל <math>T</math> על שני האגפים ונקבל מלינאריות של <math>T</math> כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. כיוון שנתון ש <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש.
# נניח כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i)_ = 0</math> כיוון ש <math>T</math> חח"ע נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. כיוון ש <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש.
==== תרגיל ====
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל חח"ע?
פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> חח"ע אזי כיוון ש <math>1,x,x^2</math> בתל גם <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> בת"ל אבל <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.
==== תרגיל ====
<math>V=\mathbb{R}^3,\,W=\mathbb{R}^{4}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל על?
פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> על אזי יש מקור ל <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math>. נסמן את המקורות ב<math>v_i</math> כלומר <math>Tv_i=e_i</math>. כיוון ש <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math> בת"ל גם <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> בת"ל אבל <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.
=== תרגיל ===
תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל. תהא <math>A\subseteq V</math> תת קבוצה. אזי <math>T(span(A))=spanT(A)</math>
מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A))</math>
'''מסקנה:''' לכל תת מרחב <math>W\leq V</math> מתקיים כי <math>T(W)</math> תת מרחב.
=== תרגיל ===
כנדרש.
=== תרגיל ===
תהא <math>T:V\to V</math> ההע"ל, <math>W\leq V</math> ת"מ. נתון כי <math>W\cap KerT=0</math>. הוכח כי <math>\dim W = \dim T(W)</math>
הוכחה:
נסתכל על ה"ל <math>T_W:W\to V</math> אזי מתקיים כי <math>KerT_W = W\cap kerT=0</math> ולכן <math>T_W</math> חח"ע. אם נבחר בסיס ל <math>B</math> ל -<math>W</math>, אזי <math>T(B)</math> גם כן בסיס
ואז <math>\dim W =|B|=|T(B)|= \dim T(W)</math>
== משפט הדרגה ==
תהא <math>T:V\to W</math> ההע"ל. אזי <math>\dim ImT+\dim KerT=dimV</math>
'''הערה''': שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> ומשפט <math>\dim C(A)+\dim N(A)=n</math> (זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל)
=== תרגיל ===נסתכל על ה"ל <math>T:\mathbb{F}^{n\times n} \to \mathbb{F} </math> המוגדרת <math>T(A)=tr(A)</math> מצא בסיס לגרעין העתקה. ====פתרון:==== <math>T</math> היא על כי לכל <math>a\in \mathbb{F}</math> יש מקור. למשל <math>a\cdot E_{1,1}</math>.לכן <math>\dim ImT= \dim \mathbb{F} =1</math> ממשפט הדרגה נסיק כי <math>\dim KerT=dimV-\dim ImT=n^2 -1</math> כעת לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>n^2-1</math> מטריצות בת"ל ששיכות לגרעין ואז הם יהיו בסיס. למשל המטריצות <math>\{E_{i.j} \; | \; i\neq j\} \cup \{E_{1,1}-E_{i,i} \; | \; 2\leq i \leq n\} </math> בקבוצה זאת יש אכן <math>(n^2-n)+(n-1)=n^2-1</math> מטריצות בת"ל === תרגיל === תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכח שהבאים שקולים: 1. <math>KerT = KerT^2</math>. 2. <math>ImT^2 = ImT</math>. 3. <math>V=KerT\oplus ImT</math>. ====פתרון:==== ממשפט הדרגה מתקיים (פעם אחת עבור <math>T</math> ופעם אחת עבור <math>T^2</math> כי <math>\dim ImT+\dim KerT=dimV=\dim ImT^2+\dim KerT^2</math> ולכן <math>\dim ImT=\dim ImT^2</math> אמ"מ <math>\dim KerT=\dim KerT^2</math> אם <math>\dim ImT=\dim ImT^2</math> אזי <math> ImT= ImT^2</math> (ראינו <math>ImT^2 \subseteq ImT</math>, אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו) אם <math>\dim KerT=\dim KerT^2</math> אזי <math> ImT= ImT^2</math> (ראינו <math>KerT \subseteq KerT^2</math>, אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו) ולכן 1. ו 2. שקולים. נשאר להוכיח שקילות בין 1. ל 3. <math>3 \Leftarrow 1</math> נראה כי הסכום '''ישר''': יהא <math>v\in KerT\cap ImT </math> אזי <math>(\exists w: Tw=v)\land Tv=0</math> ואז <math>T^2w=Tv=0</math> ולכן <math>w\in KerT^2=KerT</math>ומכאן ש <math>v=Tw=0</math> כנדרש. '''סכום''': לפי משפט המימדים ומשפט הדרגה נקבל כי <math>\dim (KerT+ ImT)= \dim KerT + \dim ImT - \dim (KerT\cap ImT)=\dim KerT + \dim ImT= \dim V</math>. כיוון ש <math>KerT+ ImT\subseteq V</math> מאותו מימד נקבל שיוויון <math>3 \Rightarrow 1</math> מ"ל כי <math>KerT^2 \subseteq KerT</math>.יהא <math>v\in KerT^2</math> אזי מצד אחד <math>Tv\in KerT</math> ומצד שני (לפי הגדרה) <math>Tv\in ImT</math> לכן <math>Tv\in KerT\cap ImT=\{0\}</math> ולכן <math>Tv=0</math> כלומר <math>v\in KerT</math> כנדרש
== הפיכות ואיזמורפיזם ==
ה"ל <math>T:V\to W</math> היא הפיכה אם יש ההע"ל<math>S:W\to V</math> כך ש: <math>ST=Id_V,TS=Id_W</math>. במקרה זה מסמנים <math>T^{-1}=S</math>
'''===משפט'''===
<math>T</math> הפיכה אמ"מ <math>T</math> חח"ע ועל
(שימו לב שידוע ש'''פונקציה''' חח"ע ועל היא הפיכה כפונקציה. המשפט אומר שבמקרה זה '''הפונקציה''' היא ההע"ל)
'''===תכונות'''===
# אם <math>T</math> הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים<math>(T^{-1})^{-1}=T</math>
# יהיו <math>T,S:V\to V</math> שתי הע"ל אזי <math>T,S</math> הפיכות אמ"מ ההרכבה <math>ST</math> הפיכה. במקרה זה מתקיים <math>(ST)^{-1} =T^{-1}S^{-1}</math>
# אם ה"ל <math>L_A(v)=Av</math> הפיכה אז ההופכית היא <math>L_{A^{-1}}</math>
=== איזומורפיזם ===
'''הגדרה''' ההע"ל <math>T:V\to W</math> תקרא
# מונומורפיזם אם <math>T</math> חח"ע
# אפימורפיזם אם <math>T</math> על
#<math>V\cong W \Rightarrow W\cong V</math>
#<math>V_1\cong V_2 \land V_2 \cong V_3 \Rightarrow V_1\cong V_3</math>
'''הערה''' 2 מרחבים איזומורפים בעצם אומר שהם "אותו דבר" במובן מסוים. יש להם אותו מבנה במובן שאם "נטשטש" את זהות האיברים ונסתכל רק על המבנה (למשל שחיבור של שני וקטורים מסוימים שווה וקטור מסוים אחר) אז נראה אותו דבר בשני המרחבים.
דוגמא: <math>T:\mathbb{F}^{m\times n} \to \mathbb{F}^{n\times m}</math> המוגדרת <math>T(A)=A^t</math> היא איזומורפיזם.
==== משפט ====
יהיו <math>V,W</math> שני מרחבים וקטורים. אזי
<math>V\cong W \iff \dim V = \dim W</math>
"הוכחה"
(<math>\Rightarrow</math>) נבחר בסיס <math>B</math> עבור <math>V</math>. מהנתון, קיימת <math>T:V\to W</math> הפיכה. לכן <math>|B|=|T(B)|</math> ובנוסף, <math>T(B)</math> בסיס ל <math>W</math>. זה אומר שהמימדים שווים.
(<math>\Leftarrow </math>) נבחר <math>B=\{v_1,\dots, v_n\}, B'=\{w_1,\dots , w_n\}</math> בסיסים. לפי משפט ההגדרה נגדיר <math>T:V\to W</math> ע"י <math>Tv_i=w_i</math>. במקרה זה <math>T</math> הע"ל הפיכה, כלומר המרחבים איזומורפים.
'''הערה''' אפשר למצוא את איזו' בצורה מפורשת ע"י הצגה לפי בסיס
אם נגדיר <math>T_B:V\to \mathbb{F}^n</math> המוגדרת ע"י <math>T(v)=[v]_B</math> כאשר <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> היא איזומורפיזם.
כעת עבור מציאת איזו' בין 2 מרחבים <math>V,W</math> זה פשוט יהיה <math>T_{B'}^{-1}T_B</math> כאשר <math>B</math> בסיס ל <math>V</math> ו- <math>B'</math> בסיס ל <math>W</math>
====דוגמא====
<math>\mathbb{C}^{2\times 3} \cong \mathbb{C}^6 \cong \mathbb{C}_5 [x] \cong span\{e_1, e_7, e_{12},e_{101}\} </math>