88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8: הבדלים בין גרסאות בדף
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←תרגיל) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) |
||
| (38 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
=העתקות לינאריות ( | =העתקות לינאריות (הע"ל)= | ||
'''הגדרה:''' יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל ''אותו'' שדה <math>\mathbb{F}</math>. | '''הגדרה:''' יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל ''אותו'' שדה <math>\mathbb{F}</math>. פונקציה <math>T:V\to W</math> היא הע"ל אם | ||
# <math>\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)</math> | # <math>\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)</math> | ||
# <math>\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)</math> | # <math>\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)</math> | ||
| שורה 16: | שורה 16: | ||
==דוגמאות | ==דוגמאות== | ||
1. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> | 1. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> | ||
אזי העתקה <math>L_{A}:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto Av</math> היא | אזי העתקה <math>L_{A}:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto Av</math> היא הע"ל. | ||
הוכחה: לכל <math>v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים | הוכחה: לכל <math>v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים | ||
| שורה 26: | שורה 26: | ||
2. <math> | 2.ההעתקה <math>trace:\mathbb{F}^{n\times n}\to \mathbb{F}</math> | ||
המגודרת <math>A\mapsto tr(A)</math> היא | המגודרת <math>A\mapsto tr(A)</math> היא הע"ל. | ||
הוכחה: לכל <math>\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> | הוכחה: לכל <math>\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> | ||
| שורה 34: | שורה 34: | ||
3. <math> | 3. ההעתקה <math>D:\mathbb{R}_{n}[x]\to \mathbb{R}_{n-1}[x]</math> | ||
המגודרת <math>p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)</math> היא | המגודרת <math>p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)</math> היא הע"ל. | ||
הוכחה: | הוכחה: | ||
| שורה 42: | שורה 42: | ||
4. העתקת הזהות <math>I:V\to V</math> המוגדרת <math>v\mapsto v</math> היא | 4. העתקת הזהות <math>I:V\to V</math> המוגדרת <math>v\mapsto v</math> היא הע"ל. | ||
5. העתקת האפס <math>0:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto 0</math> היא | 5. העתקת האפס <math>0:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto 0</math> היא הע"ל. | ||
6. יהי <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> מימד <math>n</math> ויהי <math>B</math> בסיס אזי הפונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math> | 6. יהי <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> מימד <math>n</math> ויהי <math>B</math> בסיס אזי הפונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math> | ||
המוגדרת <math>v\mapsto [v]_B</math> היא | המוגדרת <math>v\mapsto [v]_B</math> היא הע"ל. | ||
=== דוגמאות נגדיות === | === דוגמאות נגדיות === | ||
| שורה 54: | שורה 54: | ||
אזי העתקה <math>f:V\to W</math> המוגדרת | אזי העתקה <math>f:V\to W</math> המוגדרת | ||
<math>\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a^2 \\ b \end{pmatrix}v</math> | <math>\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a^2 \\ b \end{pmatrix}v</math> | ||
אינה | אינה הע"ל. | ||
כי למשל | כי למשל | ||
| שורה 72: | שורה 72: | ||
</math> | </math> | ||
== תרגיל == | === תרגיל === | ||
יהיו <math>T,S:V\to W</math> שתי | יהיו <math>T,S:V\to W</math> שתי הע"ל. <math>B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}</math> בסיס ל <math>V</math>. נניח <math>T(v_{i})=S(v_{i})</math> לכל <math>1\leq i\leq n</math> | ||
הוכח: <math>T=S</math>. כלומר לכל <math>v\in V</math> מתקיים <math>T(v)=S(v)</math> | הוכח: <math>T=S</math>. כלומר לכל <math>v\in V</math> מתקיים <math>T(v)=S(v)</math> | ||
| שורה 89: | שורה 89: | ||
וקטורים כלשהם. | וקטורים כלשהם. | ||
אזי קימת | אזי קימת הע"ל יחידה <math>T:V\to W</math> כך ש <math>T(v_{i})=w_{i}</math> לכל <math>i</math> | ||
'''מסקנה''' ניתן להגדיר | '''מסקנה''' ניתן להגדיר הע"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל '''V''' | ||
===דוגמאות === | ===דוגמאות === | ||
1 | ==== דוגמא 1 ==== | ||
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מצא את '''ה''' | <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מצא את '''ה'''הע"ל <math>T:V\to V</math> | ||
המקימת <math>T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1</math>. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן <math>T</math> | המקימת <math>T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1</math>. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן <math>T</math> | ||
שולחת פולינום כללי <math>a+bx+cx^{2}</math> | שולחת פולינום כללי <math>a+bx+cx^{2}</math> | ||
| שורה 105: | שורה 105: | ||
=a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x</math> | =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x</math> | ||
== | ==== דוגמא 2 ==== | ||
תהא <math>T:V\to W</math> | יהיו <math> | ||
#הגרעין של <math>T</math> מוגדר <math> | v_1=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, | ||
#התמונה של <math>T</math> מוגדרת <math> | v_2= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, | ||
#הדרגה של <math>T</math> מוגדרת <math>rank(T)=dim( | v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} | ||
\in \mathbb{R}^3 | |||
</math> | |||
עוד יהיו | |||
<math> | |||
w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}, | |||
w_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}, | |||
w_3= \begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} | |||
\in \mathbb{R}^2 | |||
</math> | |||
האם קיימת הע"ל <math>T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> המקיימת <math>Tv_i=w_i</math> לכל <math>i</math>? | |||
פתרון: | |||
אם <math>v_1,v_2,v_3</math> היו בסיס אז לפי משפט ההגדרה היתה ה"ל כנדרש אבל... | |||
<math> | |||
\begin{pmatrix} | |||
1 & 1 & 1 \\ | |||
2 & 1 & 4 \\ | |||
3 & 1 & 7 \\ | |||
\end{pmatrix} | |||
\to | |||
\begin{pmatrix} | |||
1 & 1 & 1 \\ | |||
0 & -1 & 2 \\ | |||
0 & -2 & 4 \\ | |||
\end{pmatrix} | |||
\to | |||
\begin{pmatrix} | |||
1 & 0 & 3 \\ | |||
0 & 1 & -2 \\ | |||
0 & 0 & 0 \\ | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
מפתרון המערכת רואים שהוקטורים ת"ל ומתקיים | |||
<math>v_3= 3v_1-2v_2</math> | |||
לכן גם אם נפעיל את הע"ל על שני האגפים נקבל שיוון, כלומר | |||
<math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> | |||
ולכן הדרישה כי <math>Tv_3=w_3</math> מתקבלת "בחינם" ולכן אפשר לוותר עליה.. כעת, ניתן להשלים את <math>v_1,v_2</math> לבסיס <math>v_1,v_2,v</math> | |||
ולהגדיר <math>Tv_i=w_i, Tv=0</math>/ לפי משפט ההגדרה, אכן הגדרנו ה"ל. לפי ההגדרה שהגדנו היא מקיימת את תנאי השאלה. | |||
#מה היה קורה אם היינו מחליפים את <math>v_1,v_2,v_3</math> להיות | |||
<math> | |||
u_1=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, | |||
u_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, | |||
u_3= \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} | |||
\in \mathbb{R}^3 | |||
</math> | |||
? | |||
האם קיימת הע"ל <math>T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2</math> המקיימת <math>Tu_i=w_i</math> לכל <math>i</math>? | |||
#מה היה קורה אם היינו מחליפים ומגדירים <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math> ? | |||
תשובה: לא היינו יכולים להגדיר הע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש <math>v_3= 3v_1-2v_2</math> ואם מתקיים <math>Tv_1=w_1,Tv_2=w_2</math> אזי בהכרח <math>Tv_3</math> צריך להיות מוגדר לפי הקשר <math>w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2</math> שלא מתקיים עבור <math>w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}</math> | |||
== גרעין, תמונה ודרגה== | |||
תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל. | |||
#הגרעין של <math>T</math> מוגדר <math>\ker T=\{v\in V\,|\,T(v)=0\}\leq V</math> | |||
#התמונה של <math>T</math> מוגדרת <math>ImT=\{T(v)\,|\,v\in V\}\leq W</math> | |||
#הדרגה של <math>T</math> מוגדרת <math>rank(T)=dim(ImT)</math> | |||
=== דוגמאות === | === דוגמאות === | ||
| שורה 117: | שורה 189: | ||
# <math>kerT=N(A)</math> | # <math>kerT=N(A)</math> | ||
# <math>ImT=C(A)</math> | # <math>ImT=C(A)</math> | ||
# <math>rankT=rankA</math> | |||
2. | |||
יהי <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> מימד <math>n</math> ויהי <math>B</math> בסיס והעל הלינארית <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math> | |||
המוגדרת <math>v\mapsto [v]_B</math>. | |||
אזי | |||
# <math>kerT=\{0\}</math> | |||
# <math>ImT=\mathbb{F}^n</math> | |||
=== תרגיל === | |||
תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכח | |||
# <math>KerT \subseteq KerT^2</math> | |||
# <math>ImT^2 \subseteq ImT</math> | |||
פתרון: | |||
# יהא <math>v\in KerT</math> אזי <math>Tv=0</math> ולכן <math>T^2v=T(Tv))=T0=0</math>. כלומר <math>v\in KerT^2</math> | |||
# יהא <math>v\in ImT^2</math> אזי <math>\exists w: T^2w=v</math> ולכן <math>T(Tw)=T^2w=v</math>. כלומר <math>v\in ImT</math> | |||
=== משפט === | |||
== משפט == | |||
תהא <math>T:V\to W</math> | תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל. | ||
אזי <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math> מתקיים כי <math>kerT=\{0\}</math> | אזי <math>T</math> חח"ע <math>\Leftrightarrow</math> מתקיים כי <math>kerT=\{0\}</math> | ||
=== תרגיל: === | ==== תרגיל: ==== | ||
תהא <math>T:V\to W</math> | תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל. ויהיו <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> וקטורים ב <math>V</math> אזי | ||
# אם <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל אז <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל | # אם <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל אז <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל | ||
# אם <math>T</math> חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל אז <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> | # אם <math>T</math> חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם <math>\{v_1,\dots, v_n\}</math> בת"ל אז <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> | ||
הוכחה | =====הוכחה===== | ||
# נניח <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. נפעיל <math>T</math> על שני האגפים ונקבל מלינאריות של <math>T</math> כי <math>\sum_{i=1}^n\ | # נניח <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. נפעיל <math>T</math> על שני האגפים ונקבל מלינאריות של <math>T</math> כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. כיוון שנתון ש <math>\{Tv_1,\dots, Tv_n\}</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש. | ||
# נניח כי <math>\sum_{i=1}^n\ | # נניח כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0</math>. מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i)_ = 0</math> כיוון ש <math>T</math> חח"ע נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math>. כיוון ש <math>\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i \alpha_i=0 </math> כנדרש. | ||
=== תרגיל === | ==== תרגיל ==== | ||
<math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל חח"ע? | <math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל חח"ע? | ||
פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> חח"ע אזי כיוון ש <math>1,x,x^2</math> בתל גם <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> בת"ל אבל <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2. | פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> חח"ע אזי כיוון ש <math>1,x,x^2</math> בתל גם <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> בת"ל אבל <math>T(1),T(x),T(x^2)</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2. | ||
=== תרגיל === | ==== תרגיל ==== | ||
<math>V=\mathbb{R}^3,\,W=\mathbb{R}^{4}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל על? | <math>V=\mathbb{R}^3,\,W=\mathbb{R}^{4}</math> האם קימת <math>T:V\to W</math> ה"ל על? | ||
פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> על אזי יש מקור ל <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math>. נסמן את המקורות ב<math>v_i</math> כלומר <math>Tv_i=e_i</math>. כיוון ש <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math> בת"ל גם <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> בת"ל אבל <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3. | פתרון: נניח בשלילה כי <math>T</math> על אזי יש מקור ל <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math>. נסמן את המקורות ב<math>v_i</math> כלומר <math>Tv_i=e_i</math>. כיוון ש <math>e_1,e_2,e_3,e_4</math> בת"ל גם <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> בת"ל אבל <math>v_1,v_2,v_3,v_4</math> שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3. | ||
== תרגיל == | === תרגיל === | ||
תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל. תהא <math>A\subseteq V</math> תת קבוצה. אזי <math>T(span(A))=spanT(A)</math> | תהא <math>T:V\to W</math> ה"ל. תהא <math>A\subseteq V</math> תת קבוצה. אזי <math>T(span(A))=spanT(A)</math> | ||
| שורה 159: | שורה 247: | ||
מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A))</math> | מלינאריות נקבל כי <math>T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A))</math> | ||
'''מסקנה''' לכל תת מרחב <math>W\leq V</math> מתקיים כי <math>T(W)</math> תת מרחב. | '''מסקנה:''' לכל תת מרחב <math>W\leq V</math> מתקיים כי <math>T(W)</math> תת מרחב. | ||
=== תרגיל === | === תרגיל === | ||
יהיו <math>V=\mathbb{R}^{3},\,W=\mathbb{R}^{2}</math> והמישור | יהיו <math>V=\mathbb{R}^{3},\,W=\mathbb{R}^{2}</math> והמישור | ||
<math>U=\ | <math>U=\{ \left( | ||
\begin{array}{c} | |||
x\\ | x\\ | ||
y\\ | y\\ | ||
z | z | ||
\end{array}\right): | \end{array} | ||
\right): x+y+z=0\} | |||
= | = | ||
span\{\left(\begin{array}{c} | span\{\left(\begin{array}{c} | ||
| שורה 189: | שורה 279: | ||
נשלים לבסיס ל V | נשלים לבסיס ל V | ||
בעזרת | |||
<math> | |||
\{ | |||
v_1= | v_1= | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
| שורה 209: | שורה 300: | ||
0 | 0 | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
\ | \}</math> | ||
לפי משפט ההגדרה מספיק להגדיר <math>T</math> בעזרת הבסיס. | לפי משפט ההגדרה מספיק להגדיר <math>T</math> בעזרת הבסיס. | ||
| שורה 218: | שורה 309: | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
ואז | ואז | ||
<math>T(U)=T(span\{v_1,v_2\})= span\{Tv_1,Tv_2\} = span\{0\} = \{0\} </math> | |||
ולכן <math>U\subseteq kerT</math> | |||
בכיוון השני, יהיה <math>v=\alpha_1v_1 +\alpha_2v_2+\alpha_3v_3 \in KerT</math> אזי <math>0=Tv= \alpha_1Tv_1 +\alpha_2Tv_2+\alpha_3Tv_3=\alpha_3 \begin{pmatrix} | |||
1\\ | |||
1\\ | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
ולכן <math>\alpha_3=0</math> ואז <math>v\in U</math> | |||
בנוסף, באופן דומה, | |||
<math>ImT=T(V)=T(span\{v_1,v_2,v_3\}) = span\{Tv_1,Tv_2,Tv_3\} | |||
= span | |||
\begin{pmatrix} | |||
1\\ | |||
1\\ | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
כנדרש. | |||
=== תרגיל === | |||
תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל, <math>W\leq V</math> ת"מ. נתון כי <math>W\cap KerT=0</math>. הוכח כי <math>\dim W = \dim T(W)</math> | |||
הוכחה: | |||
נסתכל על ה"ל <math>T_W:W\to V</math> אזי מתקיים כי <math>KerT_W = W\cap kerT=0</math> ולכן <math>T_W</math> חח"ע. אם נבחר בסיס <math>B</math> ל -<math>W</math>, אזי <math>T(B)</math> גם כן בסיס | |||
ואז <math>\dim W =|B|=|T(B)|= \dim T(W)</math> | |||
== משפט הדרגה == | |||
תהא <math>T:V\to W</math> הע"ל. אזי <math>\dim ImT+\dim KerT=dimV</math> | |||
'''הערה''': שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> ומשפט <math>\dim C(A)+\dim N(A)=n</math> (זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל) | |||
=== תרגיל === | |||
נסתכל על ה"ל <math>T:\mathbb{F}^{n\times n} \to \mathbb{F} </math> המוגדרת <math>T(A)=tr(A)</math> מצא בסיס לגרעין העתקה. | |||
====פתרון:==== | |||
<math>T</math> היא על כי לכל <math>a\in \mathbb{F}</math> יש מקור. למשל <math>a\cdot E_{1,1}</math>. | |||
לכן <math>\dim ImT= \dim \mathbb{F} =1</math> ממשפט הדרגה נסיק כי <math>\dim KerT=dimV-\dim ImT=n^2 -1</math> | |||
כעת לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>n^2-1</math> מטריצות בת"ל ששיכות לגרעין ואז הם יהיו בסיס. | |||
למשל המטריצות <math>\{E_{i.j} \; | \; i\neq j\} \cup \{E_{1,1}-E_{i,i} \; | \; 2\leq i \leq n\} </math> | |||
בקבוצה זאת יש אכן <math>(n^2-n)+(n-1)=n^2-1</math> מטריצות בת"ל | |||
=== תרגיל === | |||
תהא <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכח שהבאים שקולים: | |||
1. <math>KerT = KerT^2</math>. | |||
2. <math>ImT^2 = ImT</math>. | |||
3. <math>V=KerT\oplus ImT</math>. | |||
====פתרון:==== | |||
ממשפט הדרגה מתקיים (פעם אחת עבור <math>T</math> ופעם אחת עבור <math>T^2</math> כי | |||
<math>\dim ImT+\dim KerT=dimV=\dim ImT^2+\dim KerT^2</math> | |||
ולכן <math>\dim ImT=\dim ImT^2</math> אמ"מ <math>\dim KerT=\dim KerT^2</math> | |||
אם <math>\dim ImT=\dim ImT^2</math> אזי <math> ImT= ImT^2</math> (ראינו <math>ImT^2 \subseteq ImT</math>, אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו) | |||
אם <math>\dim KerT=\dim KerT^2</math> אזי <math> ImT= ImT^2</math> (ראינו <math>KerT \subseteq KerT^2</math>, אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו) | |||
ולכן 1. ו 2. שקולים. | |||
נשאר להוכיח שקילות בין 1. ל 3. | |||
<math>3 \Leftarrow 1</math> | |||
נראה כי הסכום '''ישר''': יהא <math>v\in KerT\cap ImT </math> אזי <math>(\exists w: Tw=v)\land Tv=0</math> ואז <math>T^2w=Tv=0</math> ולכן <math>w\in KerT^2=KerT</math> | |||
ומכאן ש <math>v=Tw=0</math> כנדרש. | |||
'''סכום''': לפי משפט המימדים ומשפט הדרגה נקבל כי | |||
<math>\dim (KerT+ ImT)= \dim KerT + \dim ImT - \dim (KerT\cap ImT)=\dim KerT + \dim ImT= \dim V</math>. | |||
כיוון ש <math>KerT+ ImT\subseteq V</math> מאותו מימד נקבל שיוויון | |||
<math>3 \Rightarrow 1</math> | |||
מ"ל כי <math>KerT^2 \subseteq KerT</math>. יהא <math>v\in KerT^2</math> אזי מצד אחד <math>Tv\in KerT</math> ומצד שני (לפי הגדרה) <math>Tv\in ImT</math> | |||
לכן <math>Tv\in KerT\cap ImT=\{0\}</math> ולכן <math>Tv=0</math> כלומר <math>v\in KerT</math> כנדרש | |||
== הפיכות ואיזמורפיזם == | |||
ה"ל <math>T:V\to W</math> היא הפיכה אם יש הע"ל<math>S:W\to V</math> כך ש: <math>ST=Id_V,TS=Id_W</math>. במקרה זה מסמנים <math>T^{-1}=S</math> | |||
===משפט=== | |||
<math>T</math> הפיכה אמ"מ <math>T</math> חח"ע ועל | |||
(שימו לב שידוע ש'''פונקציה''' חח"ע ועל היא הפיכה כפונקציה. המשפט אומר שבמקרה זה '''הפונקציה''' היא הע"ל) | |||
===תכונות=== | |||
# אם <math>T</math> הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים<math>(T^{-1})^{-1}=T</math> | |||
# יהיו <math>T,S:V\to V</math> שתי הע"ל אזי <math>T,S</math> הפיכות אמ"מ ההרכבה <math>ST</math> הפיכה. במקרה זה מתקיים <math>(ST)^{-1} =T^{-1}S^{-1}</math> | |||
# אם ה"ל <math>L_A(v)=Av</math> הפיכה אז ההופכית היא <math>L_{A^{-1}}</math> | |||
=== איזומורפיזם === | |||
'''הגדרה''' הע"ל <math>T:V\to W</math> תקרא | |||
# מונומורפיזם אם <math>T</math> חח"ע | |||
# אפימורפיזם אם <math>T</math> על | |||
# איזומורפיזם אם <math>T</math> חח"ע ועל (כלומר הפיכה). במקרה זה נאמר ש <math>V</math> ו <math>W</math> איזומורפים ונסמן <math>V\cong W</math> | |||
'''הערה:''' <math>\cong</math> מתנהג כמו יחס שקילות. כלומר | |||
#<math>\forall V : V\cong V</math> | |||
#<math>V\cong W \Rightarrow W\cong V</math> | |||
#<math>V_1\cong V_2 \land V_2 \cong V_3 \Rightarrow V_1\cong V_3</math> | |||
'''הערה''' 2 מרחבים איזומורפים בעצם אומר שהם "אותו דבר" במובן מסוים. יש להם אותו מבנה במובן שאם "נטשטש" את זהות האיברים ונסתכל רק על המבנה (למשל שחיבור של שני וקטורים מסוימים שווה וקטור מסוים אחר) אז נראה אותו דבר בשני המרחבים. | |||
דוגמא: <math>T:\mathbb{F}^{m\times n} \to \mathbb{F}^{n\times m}</math> המוגדרת <math>T(A)=A^t</math> היא איזומורפיזם. | |||
==== משפט ==== | |||
יהיו <math>V,W</math> שני מרחבים וקטורים. אזי | |||
<math>V\cong W \iff \dim V = \dim W</math> | |||
"הוכחה" | |||
(<math>\Rightarrow</math>) נבחר בסיס <math>B</math> עבור <math>V</math>. מהנתון, קיימת <math>T:V\to W</math> הפיכה. לכן <math>|B|=|T(B)|</math> ובנוסף, <math>T(B)</math> בסיס ל <math>W</math>. זה אומר שהמימדים שווים. | |||
(<math>\Leftarrow </math>) נבחר <math>B=\{v_1,\dots, v_n\}, B'=\{w_1,\dots , w_n\}</math> בסיסים. לפי משפט ההגדרה נגדיר <math>T:V\to W</math> ע"י <math>Tv_i=w_i</math>. במקרה זה <math>T</math> הע"ל הפיכה, כלומר המרחבים איזומורפים. | |||
'''הערה''' אפשר למצוא את איזו' בצורה מפורשת ע"י הצגה לפי בסיס | |||
אם נגדיר <math>T_B:V\to \mathbb{F}^n</math> המוגדרת ע"י <math>T(v)=[v]_B</math> כאשר <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> היא איזומורפיזם. | |||
כעת עבור מציאת איזו' בין 2 מרחבים <math>V,W</math> זה פשוט יהיה <math>T_{B'}^{-1}T_B</math> כאשר <math>B</math> בסיס ל <math>V</math> ו- <math>B'</math> בסיס ל <math>W</math> | |||
====דוגמא==== | |||
<math>\mathbb{C}^{2\times 3} \cong \mathbb{C}^6 \cong \mathbb{C}_5 [x] \cong span\{e_1, e_7, e_{12},e_{101}\} </math> | |||
גרסה אחרונה מ־13:12, 30 ביולי 2020
העתקות לינאריות (הע"ל)
הגדרה: יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] שני מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] היא הע"ל אם
- [math]\displaystyle{ \forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v) }[/math]
(או באופן שקול: אם לכל [math]\displaystyle{ v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2}) }[/math])
תכונות בסיסיות:
.1 [math]\displaystyle{ T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) }[/math]
.2 [math]\displaystyle{ T(0_{V})=0_{W} }[/math]
דוגמאות
1. יהיו [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m} }[/math] שניהם מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. תהא[math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי העתקה [math]\displaystyle{ L_{A}:V\to W }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto Av }[/math] היא הע"ל.
הוכחה: לכל [math]\displaystyle{ v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
[math]\displaystyle{ L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2}) }[/math]
2.ההעתקה [math]\displaystyle{ trace:\mathbb{F}^{n\times n}\to \mathbb{F} }[/math]
המגודרת [math]\displaystyle{ A\mapsto tr(A) }[/math] היא הע"ל.
הוכחה: לכל [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n} }[/math]
[math]\displaystyle{ tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B) }[/math]
3. ההעתקה [math]\displaystyle{ D:\mathbb{R}_{n}[x]\to \mathbb{R}_{n-1}[x] }[/math]
המגודרת [math]\displaystyle{ p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x) }[/math] היא הע"ל.
הוכחה:
[math]\displaystyle{ D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)] }[/math]
4. העתקת הזהות [math]\displaystyle{ I:V\to V }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto v }[/math] היא הע"ל.
5. העתקת האפס [math]\displaystyle{ 0:V\to W }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto 0 }[/math] היא הע"ל.
6. יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] מימד [math]\displaystyle{ n }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס אזי הפונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to \mathbb{F}^n }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto [v]_B }[/math] היא הע"ל.
דוגמאות נגדיות
1. יהיו [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{2}=W }[/math]. אזי העתקה [math]\displaystyle{ f:V\to W }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a^2 \\ b \end{pmatrix}v }[/math] אינה הע"ל.
כי למשל
[math]\displaystyle{ f( 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = f( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix} }[/math]
שלא שווה ל
[math]\displaystyle{ 3 f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} }[/math]
תרגיל
יהיו [math]\displaystyle{ T,S:V\to W }[/math] שתי הע"ל. [math]\displaystyle{ B=\{v_{1},\dots,v_{n}\} }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ V }[/math]. נניח [math]\displaystyle{ T(v_{i})=S(v_{i}) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 1\leq i\leq n }[/math]
הוכח: [math]\displaystyle{ T=S }[/math]. כלומר לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ T(v)=S(v) }[/math]
הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] אזי [math]\displaystyle{ v=\sum\limits _{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i} }[/math] כי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס ובפרט פורשת. ואז
[math]\displaystyle{ T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v) }[/math]
משפט ההגדרה
יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] שני מ"ו מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ B=\{v_{1},\dots,v_{n}\} }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ V }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ w_{1},\dots,w_{n}\in W }[/math] וקטורים כלשהם.
אזי קימת הע"ל יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ T(v_{i})=w_{i} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math]
מסקנה ניתן להגדיר הע"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V
דוגמאות
דוגמא 1
[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{2}[x] }[/math] מצא את ההע"ל [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] המקימת [math]\displaystyle{ T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1 }[/math]. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן [math]\displaystyle{ T }[/math] שולחת פולינום כללי [math]\displaystyle{ a+bx+cx^{2} }[/math]
פתרון: [math]\displaystyle{ T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x }[/math]
דוגמא 2
יהיו [math]\displaystyle{ v_1=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 }[/math]
עוד יהיו
[math]\displaystyle{ w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}, w_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}, w_3= \begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 }[/math]
האם קיימת הע"ל [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math]?
פתרון:
אם [math]\displaystyle{ v_1,v_2,v_3 }[/math] היו בסיס אז לפי משפט ההגדרה היתה ה"ל כנדרש אבל...
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 4 \\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} }[/math]
מפתרון המערכת רואים שהוקטורים ת"ל ומתקיים [math]\displaystyle{ v_3= 3v_1-2v_2 }[/math]
לכן גם אם נפעיל את הע"ל על שני האגפים נקבל שיוון, כלומר
[math]\displaystyle{ w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2 }[/math]
ולכן הדרישה כי [math]\displaystyle{ Tv_3=w_3 }[/math] מתקבלת "בחינם" ולכן אפשר לוותר עליה.. כעת, ניתן להשלים את [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] לבסיס [math]\displaystyle{ v_1,v_2,v }[/math] ולהגדיר [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i, Tv=0 }[/math]/ לפי משפט ההגדרה, אכן הגדרנו ה"ל. לפי ההגדרה שהגדנו היא מקיימת את תנאי השאלה.
- מה היה קורה אם היינו מחליפים את [math]\displaystyle{ v_1,v_2,v_3 }[/math] להיות
[math]\displaystyle{ u_1=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, u_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, u_3= \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 }[/math] ? האם קיימת הע"ל [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ Tu_i=w_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math]?
- מה היה קורה אם היינו מחליפים ומגדירים [math]\displaystyle{ w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix} }[/math] ?
תשובה: לא היינו יכולים להגדיר הע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש [math]\displaystyle{ v_3= 3v_1-2v_2 }[/math] ואם מתקיים [math]\displaystyle{ Tv_1=w_1,Tv_2=w_2 }[/math] אזי בהכרח [math]\displaystyle{ Tv_3 }[/math] צריך להיות מוגדר לפי הקשר [math]\displaystyle{ w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2 }[/math] שלא מתקיים עבור [math]\displaystyle{ w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix} }[/math]
גרעין, תמונה ודרגה
תהא [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] הע"ל.
- הגרעין של [math]\displaystyle{ T }[/math] מוגדר [math]\displaystyle{ \ker T=\{v\in V\,|\,T(v)=0\}\leq V }[/math]
- התמונה של [math]\displaystyle{ T }[/math] מוגדרת [math]\displaystyle{ ImT=\{T(v)\,|\,v\in V\}\leq W }[/math]
- הדרגה של [math]\displaystyle{ T }[/math] מוגדרת [math]\displaystyle{ rank(T)=dim(ImT) }[/math]
דוגמאות
1. יהיו [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m} }[/math]. תהא[math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]ונסתכל על העתקה [math]\displaystyle{ L_{A}:V\to W }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto Av }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ kerT=N(A) }[/math]
- [math]\displaystyle{ ImT=C(A) }[/math]
- [math]\displaystyle{ rankT=rankA }[/math]
2. יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] מימד [math]\displaystyle{ n }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס והעל הלינארית [math]\displaystyle{ T:V\to \mathbb{F}^n }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto [v]_B }[/math].
אזי
- [math]\displaystyle{ kerT=\{0\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ ImT=\mathbb{F}^n }[/math]
תרגיל
תהא [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] הע"ל. הוכח
- [math]\displaystyle{ KerT \subseteq KerT^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ ImT^2 \subseteq ImT }[/math]
פתרון:
- יהא [math]\displaystyle{ v\in KerT }[/math] אזי [math]\displaystyle{ Tv=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ T^2v=T(Tv))=T0=0 }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ v\in KerT^2 }[/math]
- יהא [math]\displaystyle{ v\in ImT^2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \exists w: T^2w=v }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ T(Tw)=T^2w=v }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ v\in ImT }[/math]
משפט
תהא [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] הע"ל.
אזי [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ kerT=\{0\} }[/math]
תרגיל:
תהא [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] הע"ל. ויהיו [math]\displaystyle{ \{v_1,\dots, v_n\} }[/math] וקטורים ב [math]\displaystyle{ V }[/math] אזי
- אם [math]\displaystyle{ \{Tv_1,\dots, Tv_n\} }[/math] בת"ל אז [math]\displaystyle{ \{v_1,\dots, v_n\} }[/math] בת"ל
- אם [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם [math]\displaystyle{ \{v_1,\dots, v_n\} }[/math] בת"ל אז [math]\displaystyle{ \{Tv_1,\dots, Tv_n\} }[/math]
הוכחה
- נניח [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0 }[/math]. נפעיל [math]\displaystyle{ T }[/math] על שני האגפים ונקבל מלינאריות של [math]\displaystyle{ T }[/math] כי [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0 }[/math]. כיוון שנתון ש [math]\displaystyle{ \{Tv_1,\dots, Tv_n\} }[/math] בת"ל נקבל כי [math]\displaystyle{ \forall i \alpha_i=0 }[/math] כנדרש.
- נניח כי [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0 }[/math]. מלינאריות נקבל כי [math]\displaystyle{ T(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i)_ = 0 }[/math] כיוון ש [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע נקבל כי [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0 }[/math] בת"ל נקבל כי [math]\displaystyle{ \forall i \alpha_i=0 }[/math] כנדרש.
תרגיל
[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2} }[/math] האם קימת [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל חח"ע?
פתרון: נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע אזי כיוון ש [math]\displaystyle{ 1,x,x^2 }[/math] בתל גם [math]\displaystyle{ T(1),T(x),T(x^2) }[/math] בת"ל אבל [math]\displaystyle{ T(1),T(x),T(x^2) }[/math] שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.
תרגיל
[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^3,\,W=\mathbb{R}^{4} }[/math] האם קימת [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל על?
פתרון: נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ T }[/math] על אזי יש מקור ל [math]\displaystyle{ e_1,e_2,e_3,e_4 }[/math]. נסמן את המקורות ב[math]\displaystyle{ v_i }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ Tv_i=e_i }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ e_1,e_2,e_3,e_4 }[/math] בת"ל גם [math]\displaystyle{ v_1,v_2,v_3,v_4 }[/math] בת"ל אבל [math]\displaystyle{ v_1,v_2,v_3,v_4 }[/math] שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.
תרגיל
תהא [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל. תהא [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] תת קבוצה. אזי [math]\displaystyle{ T(span(A))=spanT(A) }[/math]
הוכחה:
([math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]) יהא [math]\displaystyle{ v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i }[/math] צ"ל באיברי [math]\displaystyle{ A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ Tv\in T(span(A)) }[/math] הוא איבר כללי.
כעת [math]\displaystyle{ Tv=\sum_{i=1}^n\alpha_i Tv_i }[/math] שזה צ"ל באיברי [math]\displaystyle{ T(A) }[/math] ולכן שייך ל [math]\displaystyle{ spanT(A) }[/math]
([math]\displaystyle{ \supseteq }[/math]) יהא צ"ל באיברי [math]\displaystyle{ T(A) }[/math] אזי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\alpha_i Tv_i }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ v_i\in A }[/math]
מלינאריות נקבל כי [math]\displaystyle{ T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A)) }[/math]
מסקנה: לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ W\leq V }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ T(W) }[/math] תת מרחב.
תרגיל
יהיו [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3},\,W=\mathbb{R}^{2} }[/math] והמישור [math]\displaystyle{ U=\{ \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right): x+y+z=0\} = span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right)\} \leq V }[/math]
מצא ה"ל [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ kerT=U }[/math] וגם [math]\displaystyle{ ImT=span(\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)\}) }[/math]
פתרון
נשלים לבסיס ל V בעזרת [math]\displaystyle{ \{ v_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \} }[/math]
לפי משפט ההגדרה מספיק להגדיר [math]\displaystyle{ T }[/math] בעזרת הבסיס.
נגדיר [math]\displaystyle{ Tv_1=Tv_2 = 0, Tv_3 = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} }[/math]
ואז [math]\displaystyle{ T(U)=T(span\{v_1,v_2\})= span\{Tv_1,Tv_2\} = span\{0\} = \{0\} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ U\subseteq kerT }[/math]
בכיוון השני, יהיה [math]\displaystyle{ v=\alpha_1v_1 +\alpha_2v_2+\alpha_3v_3 \in KerT }[/math] אזי [math]\displaystyle{ 0=Tv= \alpha_1Tv_1 +\alpha_2Tv_2+\alpha_3Tv_3=\alpha_3 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \alpha_3=0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ v\in U }[/math]
בנוסף, באופן דומה,
[math]\displaystyle{ ImT=T(V)=T(span\{v_1,v_2,v_3\}) = span\{Tv_1,Tv_2,Tv_3\} = span \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} }[/math]
כנדרש.
תרגיל
תהא [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] הע"ל, [math]\displaystyle{ W\leq V }[/math] ת"מ. נתון כי [math]\displaystyle{ W\cap KerT=0 }[/math]. הוכח כי [math]\displaystyle{ \dim W = \dim T(W) }[/math]
הוכחה:
נסתכל על ה"ל [math]\displaystyle{ T_W:W\to V }[/math] אזי מתקיים כי [math]\displaystyle{ KerT_W = W\cap kerT=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ T_W }[/math] חח"ע. אם נבחר בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] ל -[math]\displaystyle{ W }[/math], אזי [math]\displaystyle{ T(B) }[/math] גם כן בסיס
ואז [math]\displaystyle{ \dim W =|B|=|T(B)|= \dim T(W) }[/math]
משפט הדרגה
תהא [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] הע"ל. אזי [math]\displaystyle{ \dim ImT+\dim KerT=dimV }[/math]
הערה: שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ומשפט [math]\displaystyle{ \dim C(A)+\dim N(A)=n }[/math] (זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל)
תרגיל
נסתכל על ה"ל [math]\displaystyle{ T:\mathbb{F}^{n\times n} \to \mathbb{F} }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ T(A)=tr(A) }[/math] מצא בסיס לגרעין העתקה.
פתרון:
[math]\displaystyle{ T }[/math] היא על כי לכל [math]\displaystyle{ a\in \mathbb{F} }[/math] יש מקור. למשל [math]\displaystyle{ a\cdot E_{1,1} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \dim ImT= \dim \mathbb{F} =1 }[/math] ממשפט הדרגה נסיק כי [math]\displaystyle{ \dim KerT=dimV-\dim ImT=n^2 -1 }[/math]
כעת לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא [math]\displaystyle{ n^2-1 }[/math] מטריצות בת"ל ששיכות לגרעין ואז הם יהיו בסיס.
למשל המטריצות [math]\displaystyle{ \{E_{i.j} \; | \; i\neq j\} \cup \{E_{1,1}-E_{i,i} \; | \; 2\leq i \leq n\} }[/math]
בקבוצה זאת יש אכן [math]\displaystyle{ (n^2-n)+(n-1)=n^2-1 }[/math] מטריצות בת"ל
תרגיל
תהא [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] הע"ל. הוכח שהבאים שקולים:
1. [math]\displaystyle{ KerT = KerT^2 }[/math].
2. [math]\displaystyle{ ImT^2 = ImT }[/math].
3. [math]\displaystyle{ V=KerT\oplus ImT }[/math].
פתרון:
ממשפט הדרגה מתקיים (פעם אחת עבור [math]\displaystyle{ T }[/math] ופעם אחת עבור [math]\displaystyle{ T^2 }[/math] כי
[math]\displaystyle{ \dim ImT+\dim KerT=dimV=\dim ImT^2+\dim KerT^2 }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ \dim ImT=\dim ImT^2 }[/math] אמ"מ [math]\displaystyle{ \dim KerT=\dim KerT^2 }[/math]
אם [math]\displaystyle{ \dim ImT=\dim ImT^2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ ImT= ImT^2 }[/math] (ראינו [math]\displaystyle{ ImT^2 \subseteq ImT }[/math], אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו)
אם [math]\displaystyle{ \dim KerT=\dim KerT^2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ ImT= ImT^2 }[/math] (ראינו [math]\displaystyle{ KerT \subseteq KerT^2 }[/math], אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו)
ולכן 1. ו 2. שקולים.
נשאר להוכיח שקילות בין 1. ל 3.
[math]\displaystyle{ 3 \Leftarrow 1 }[/math]
נראה כי הסכום ישר: יהא [math]\displaystyle{ v\in KerT\cap ImT }[/math] אזי [math]\displaystyle{ (\exists w: Tw=v)\land Tv=0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ T^2w=Tv=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ w\in KerT^2=KerT }[/math] ומכאן ש [math]\displaystyle{ v=Tw=0 }[/math] כנדרש.
סכום: לפי משפט המימדים ומשפט הדרגה נקבל כי [math]\displaystyle{ \dim (KerT+ ImT)= \dim KerT + \dim ImT - \dim (KerT\cap ImT)=\dim KerT + \dim ImT= \dim V }[/math].
כיוון ש [math]\displaystyle{ KerT+ ImT\subseteq V }[/math] מאותו מימד נקבל שיוויון
[math]\displaystyle{ 3 \Rightarrow 1 }[/math]
מ"ל כי [math]\displaystyle{ KerT^2 \subseteq KerT }[/math]. יהא [math]\displaystyle{ v\in KerT^2 }[/math] אזי מצד אחד [math]\displaystyle{ Tv\in KerT }[/math] ומצד שני (לפי הגדרה) [math]\displaystyle{ Tv\in ImT }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ Tv\in KerT\cap ImT=\{0\} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ Tv=0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ v\in KerT }[/math] כנדרש
הפיכות ואיזמורפיזם
ה"ל [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] היא הפיכה אם יש הע"ל[math]\displaystyle{ S:W\to V }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ ST=Id_V,TS=Id_W }[/math]. במקרה זה מסמנים [math]\displaystyle{ T^{-1}=S }[/math]
משפט
[math]\displaystyle{ T }[/math] הפיכה אמ"מ [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע ועל
(שימו לב שידוע שפונקציה חח"ע ועל היא הפיכה כפונקציה. המשפט אומר שבמקרה זה הפונקציה היא הע"ל)
תכונות
- אם [math]\displaystyle{ T }[/math] הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים[math]\displaystyle{ (T^{-1})^{-1}=T }[/math]
- יהיו [math]\displaystyle{ T,S:V\to V }[/math] שתי הע"ל אזי [math]\displaystyle{ T,S }[/math] הפיכות אמ"מ ההרכבה [math]\displaystyle{ ST }[/math] הפיכה. במקרה זה מתקיים [math]\displaystyle{ (ST)^{-1} =T^{-1}S^{-1} }[/math]
- אם ה"ל [math]\displaystyle{ L_A(v)=Av }[/math] הפיכה אז ההופכית היא [math]\displaystyle{ L_{A^{-1}} }[/math]
איזומורפיזם
הגדרה הע"ל [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] תקרא
- מונומורפיזם אם [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע
- אפימורפיזם אם [math]\displaystyle{ T }[/math] על
- איזומורפיזם אם [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע ועל (כלומר הפיכה). במקרה זה נאמר ש [math]\displaystyle{ V }[/math] ו [math]\displaystyle{ W }[/math] איזומורפים ונסמן [math]\displaystyle{ V\cong W }[/math]
הערה: [math]\displaystyle{ \cong }[/math] מתנהג כמו יחס שקילות. כלומר
- [math]\displaystyle{ \forall V : V\cong V }[/math]
- [math]\displaystyle{ V\cong W \Rightarrow W\cong V }[/math]
- [math]\displaystyle{ V_1\cong V_2 \land V_2 \cong V_3 \Rightarrow V_1\cong V_3 }[/math]
הערה 2 מרחבים איזומורפים בעצם אומר שהם "אותו דבר" במובן מסוים. יש להם אותו מבנה במובן שאם "נטשטש" את זהות האיברים ונסתכל רק על המבנה (למשל שחיבור של שני וקטורים מסוימים שווה וקטור מסוים אחר) אז נראה אותו דבר בשני המרחבים.
דוגמא: [math]\displaystyle{ T:\mathbb{F}^{m\times n} \to \mathbb{F}^{n\times m} }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ T(A)=A^t }[/math] היא איזומורפיזם.
משפט
יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] שני מרחבים וקטורים. אזי
[math]\displaystyle{ V\cong W \iff \dim V = \dim W }[/math]
"הוכחה"
([math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]) נבחר בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] עבור [math]\displaystyle{ V }[/math]. מהנתון, קיימת [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] הפיכה. לכן [math]\displaystyle{ |B|=|T(B)| }[/math] ובנוסף, [math]\displaystyle{ T(B) }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ W }[/math]. זה אומר שהמימדים שווים.
([math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math]) נבחר [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\dots, v_n\}, B'=\{w_1,\dots , w_n\} }[/math] בסיסים. לפי משפט ההגדרה נגדיר [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math]. במקרה זה [math]\displaystyle{ T }[/math] הע"ל הפיכה, כלומר המרחבים איזומורפים.
הערה אפשר למצוא את איזו' בצורה מפורשת ע"י הצגה לפי בסיס
אם נגדיר [math]\displaystyle{ T_B:V\to \mathbb{F}^n }[/math] המוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ T(v)=[v]_B }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\dots ,v_n\} }[/math] היא איזומורפיזם.
כעת עבור מציאת איזו' בין 2 מרחבים [math]\displaystyle{ V,W }[/math] זה פשוט יהיה [math]\displaystyle{ T_{B'}^{-1}T_B }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ V }[/math] ו- [math]\displaystyle{ B' }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ W }[/math]
דוגמא
[math]\displaystyle{ \mathbb{C}^{2\times 3} \cong \mathbb{C}^6 \cong \mathbb{C}_5 [x] \cong span\{e_1, e_7, e_{12},e_{101}\} }[/math]