גרסה מ־20:06, 18 ביולי 2015

העתקות לינאריות (ה"ל)

הגדרה: יהיו $V,W$ שני מ"ו מעל אותו שדה $\mathbb{F}$ . ה"ל היא פונקציה $T:V\to W$ אם

$\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$
$\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)$

(או באופן שקול: אם לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים $T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2})$ )

תכונות בסיסיות:

.1 $T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n})$

.2 $T(0_{V})=0_{W}$

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

1. יהיו $V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$ . תהא $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ אזי העתקה $L_{A}:V\to W$ המוגדרת $v\mapsto Av$ היא ה"ל.

הוכחה: לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים

$L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2})$

2. $V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$ . אזי העתקה $trace:V\to W$ המגודרת $A\mapsto tr(A)$ היא ה"ל.

הוכחה: לכל $\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}$

$tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B)$

3. $V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]$ שניהם מעל $\mathbb{R}$ . אזי העתקה $D:V\to W$ המגודרת $p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)$ היא ה"ל.

הוכחה:

$D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)]$

@@ שורה 18: / שורה 18: @@
 ==דוגמאות ודוגמאות נגדיות ==
-.1 יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>.  תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>
+. יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>.  תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>
- אזי העתקה <math>L_{A}:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto Av</math> היא ה"ל.
+אזי העתקה <math>L_{A}:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto Av</math> היא ה"ל.
 הוכחה: לכל <math>v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים
@@ שורה 26: / שורה 26: @@
-.2 <math>V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. אזי העתקה <math>trace:V\to W</math>
+. <math>V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. אזי העתקה <math>trace:V\to W</math>
 המגודרת <math>A\mapsto tr(A)</math> היא ה"ל.
@@ שורה 33: / שורה 33: @@
 <math>tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B) </math>
-.3 V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]
+. <math>V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]</math> שניהם מעל <math>\mathbb{R}</math>. אזי העתקה <math>D:V\to W</math>
-  שניהם מעל \mathbb{R}
+המגודרת <math>p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)</math> היא ה"ל.
- .אזי העתקה D:V\to W
-  המגודרת p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)
+הוכחה:
-  היא ה"ל. הוכחה
+<math>D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)]</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8"

גרסה מ־20:06, 18 ביולי 2015

העתקות לינאריות (ה"ל)

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים