88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8

העתקות לינאריות (ה"ל)

הגדרה: יהיו $V,W$ שני מ"ו מעל אותו שדה $\mathbb{F}$. ה"ל היא פונקציה $T:V\to W$ אם

1. $\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$
2. $\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)$

(או באופן שקול: אם לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים $T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2})$)

תכונות בסיסיות:

.1 $T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n})$

.2 $T(0_{V})=0_{W}$

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

1. יהיו $V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$. תהא$A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ אזי העתקה $L_{A}:V\to W$ המוגדרת $v\mapsto Av$ היא ה"ל.

הוכחה: לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים

$L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2})$

2. $V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$. אזי העתקה $trace:V\to W$ המגודרת $A\mapsto tr(A)$ היא ה"ל.

הוכחה: לכל $\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}$

$tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B)$

3. $V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]$ שניהם מעל $\mathbb{R}$. אזי העתקה $D:V\to W$ המגודרת $p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)$ היא ה"ל.

הוכחה:

$D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)]$