העתקות לינאריות (ה"ל)

הגדרה: יהיו $V,W$ שני מ"ו מעל אותו שדה $\mathbb{F}$ . ה"ל היא פונקציה $T:V\to W$ אם

(או באופן שקול: אם לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים $T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2})$ )

תכונות בסיסיות:

.1 $T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n})$

.2 $T(0_{V})=0_{W}$

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

.1 יהיו $V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$ . תהא $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$

אזי העתקה  $L_{A}:V\to W$  המוגדרת  $v\mapsto Av$  היא ה"ל.

הוכחה: לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים

$L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2})$

.2 $V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$ . אזי העתקה $trace:V\to W$ המגודרת $A\mapsto tr(A)$ היא ה"ל.

הוכחה: לכל $\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}$

$tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B)$

.3 V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]

 שניהם מעל \mathbb{R}
.אזי העתקה D:V\to W
 המגודרת p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)
 היא ה"ל. הוכחה