88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8

העתקות לינאריות (ה"ל)

הגדרה: יהיו $V,W$ שני מ"ו מעל אותו שדה $\mathbb{F}$. ה"ל היא פונקציה $T:V\to W$ אם

1. $\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$
2. $\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)$

(או באופן שקול: אם לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים $T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2})$)

תכונות בסיסיות:

.1 $T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n})$

.2 $T(0_{V})=0_{W}$

דוגמאות

1. יהיו $V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$. תהא$A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ אזי העתקה $L_{A}:V\to W$ המוגדרת $v\mapsto Av$ היא ה"ל.

הוכחה: לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים

$L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2})$

2. $V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$. אזי העתקה $trace:V\to W$ המגודרת $A\mapsto tr(A)$ היא ה"ל.

הוכחה: לכל $\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}$

$tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B)$

3. $V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]$ שניהם מעל $\mathbb{R}$. אזי העתקה $D:V\to W$ המגודרת $p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)$ היא ה"ל.

הוכחה:

$D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)]$

4. העתקת הזהות $I:V\to V$ המוגדרת $v\mapsto v$ היא ה"ל.

5. העתקת האפס $0:V\to W$ המוגדרת $v\mapsto 0$ היא ה"ל.

6. יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$ מימד $n$ ויהי $B$ בסיס אזי הפונקציה $T:V\to \mathbb{F}^n$ המוגדרת $v\mapsto [v]_B$ היא ה"ל.

דוגמאות נגדיות

1. יהיו $V=\mathbb{R}^{2}=W$. אזי העתקה $f:V\to W$ המוגדרת $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a^2 \\ b \end{pmatrix}v$ אינה ה"ל.

כי למשל

$f( 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = f( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}$

שלא שווה ל

$3 f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

תרגיל

יהיו $T,S:V\to W$ שתי ה"ל. $B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ בסיס ל $V$. נניח $T(v_{i})=S(v_{i})$ לכל $1\leq i\leq n$

הוכח: $T=S$. כלומר לכל $v\in V$ מתקיים $T(v)=S(v)$

הוכחה: יהי $v\in V$ אזי $v=\sum\limits _{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}$ כי $B$ בסיס ובפרט פורשת. ואז

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)

משפט ההגדרה

יהיו $V,W$ שני מ"ו מעל $\mathbb{F}$. יהי $B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ בסיס ל $V$ ויהיו $w_{1},\dots,w_{n}\in W$ וקטורים כלשהם.

אזי קימת ה"ל יחידה $T:V\to W$ כך ש $T(v_{i})=w_{i}$ לכל $i$

מסקנה ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V

דוגמאות

1. $V=\mathbb{R}_{2}[x]$ מצא את הה"ל $T:V\to V$ המקימת $T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1$. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן $T$ שולחת פולינום כללי $a+bx+cx^{2}$

פתרון: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x

משפט

תהא $T:V\to W$ ה"ל.

אזי $T$ חח"ע $\Leftrightarrow$ מתקיים כי $kerT=\{0\}$

תרגיל:

תהא $T:V\to W$ ה"ל. ויהיו $\{v_1,\dots, v_n\}$ וקטורים ב $V$ אזי

1. אם $\{Tv_1,\dots, Tv_n\}$ בת"ל אז $\{v_1,\dots, v_n\}$ בת"ל
2. אם $T$ חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם $\{v_1,\dots, v_n\}$ בת"ל אז $\{Tv_1,\dots, Tv_n\}$

הוכחה

1. נניח $\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0$. נפעיל $T$ על שני האגפים ונקבל מלינאריות של $T$ כי $\sum_{i=1}^n\alpha_Tiv_i = 0$. כיוון שנתון ש $\{Tv_1,\dots, Tv_n\}$ בת"ל נקבל כי $\forall i \alpha_i=0$ כנדרש.
2. נניח כי $\sum_{i=1}^n\alpha_Tiv_i = 0$. מלינאריות נקבל כי $T(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i)_ = 0$ כיוון ש $T$ חח"ע נקבל כי $\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0$. כיוון ש $\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0$ בת"ל נקבל כי $\forall i \alpha_i=0$ כנדרש.