88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8

העתקות לינאריות (ה"ל)

הגדרה: יהיו $V,W$ שני מ"ו מעל אותו שדה $\mathbb{F}$. ה"ל היא פונקציה $T:V\to W$ אם

1. $\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$
2. $\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)$

(או באופן שקול: אם לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים $T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2})$)

תכונות בסיסיות:

.1 $T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n})$

.2 $T(0_{V})=0_{W}$

דוגמאות

1. יהיו $V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$. תהא$A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ אזי העתקה $L_{A}:V\to W$ המוגדרת $v\mapsto Av$ היא ה"ל.

הוכחה: לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים

$L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2})$

2. $V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$. אזי העתקה $trace:V\to W$ המגודרת $A\mapsto tr(A)$ היא ה"ל.

הוכחה: לכל $\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}$

$tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B)$

3. $V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]$ שניהם מעל $\mathbb{R}$. אזי העתקה $D:V\to W$ המגודרת $p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)$ היא ה"ל.

הוכחה:

$D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)]$

4. העתקת הזהות $I:V\to V$ המוגדרת $v\mapsto v$ היא ה"ל.

5. העתקת האפס $0:V\to W$ המוגדרת $v\mapsto 0$ היא ה"ל.

6. יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$ מימד $n$ ויהי $B$ בסיס אזי הפונקציה $T:V\to \mathbb{F}^n$ המוגדרת $v\mapsto [v]_B$ היא ה"ל.

דוגמאות נגדיות

1. יהיו $V=\mathbb{R}^{2}=W$. אזי העתקה $f:V\to W$ המוגדרת $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a^2 \\ b \end{pmatrix}v$ אינה ה"ל.

כי למשל

$f( 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = f( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}$

שלא שווה ל

$3 f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

תרגיל

יהיו $T,S:V\to W$ שתי ה"ל. $B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ בסיס ל $V$. נניח $T(v_{i})=S(v_{i})$ לכל $1\leq i\leq n$

הוכח: $T=S$. כלומר לכל $v\in V$ מתקיים $T(v)=S(v)$

הוכחה: יהי $v\in V$ אזי $v=\sum\limits _{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}$ כי $B$ בסיס ובפרט פורשת. ואז

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)

משפט ההגדרה

יהיו $V,W$ שני מ"ו מעל $\mathbb{F}$. יהי $B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ בסיס ל $V$ ויהיו $w_{1},\dots,w_{n}\in W$ וקטורים כלשהם.

אזי קימת ה"ל יחידה $T:V\to W$ כך ש $T(v_{i})=w_{i}$ לכל $i$

מסקנה ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V

דוגמאות

1. $V=\mathbb{R}_{2}[x]$ מצא את הה"ל $T:V\to V$ המקימת $T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1$. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן $T$ שולחת פולינום כללי $a+bx+cx^{2}$

פתרון: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x

הגדרות

תהא $T:V\to W$ ה"ל.

1. הגרעין של $T$ מוגדר $kerT=\{v\in V\,|\,T(v)=0\}\subset V$
2. התמונה של $T$ מוגדרת $ImgT=\{T(v)\,|\,v\in V\}\subset W$
3. הדרגה של $T$ מוגדרת $rank(T)=dim(ImgT)$

דוגמאות

1. יהיו $V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}$. תהא$A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ונסתכל על העתקה $L_{A}:V\to W$ המוגדרת $v\mapsto Av$. אזי

1. $kerT=N(A)$
2. $ImT=C(A)$

2. יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$ מימד $n$ ויהי $B$ בסיס והעל הלינארית $T:V\to \mathbb{F}^n$ המוגדרת $v\mapsto [v]_B$.

אזי

1. $kerT=\{0\}$
2. $ImT=\mathbb{F}^n$

משפט

תהא $T:V\to W$ ה"ל.

אזי $T$ חח"ע $\Leftrightarrow$ מתקיים כי $kerT=\{0\}$

תרגיל:

תהא $T:V\to W$ ה"ל. ויהיו $\{v_1,\dots, v_n\}$ וקטורים ב $V$ אזי

1. אם $\{Tv_1,\dots, Tv_n\}$ בת"ל אז $\{v_1,\dots, v_n\}$ בת"ל
2. אם $T$ חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם $\{v_1,\dots, v_n\}$ בת"ל אז $\{Tv_1,\dots, Tv_n\}$

הוכחה

1. נניח $\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0$. נפעיל $T$ על שני האגפים ונקבל מלינאריות של $T$ כי $\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0$. כיוון שנתון ש $\{Tv_1,\dots, Tv_n\}$ בת"ל נקבל כי $\forall i \alpha_i=0$ כנדרש.
2. נניח כי $\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0$. מלינאריות נקבל כי $T(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i)_ = 0$ כיוון ש $T$ חח"ע נקבל כי $\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0$. כיוון ש $\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0$ בת"ל נקבל כי $\forall i \alpha_i=0$ כנדרש.

תרגיל

$V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}$ האם קימת $T:V\to W$ ה"ל חח"ע?

פתרון: נניח בשלילה כי $T$ חח"ע אזי כיוון ש $1,x,x^2$ בתל גם $T(1),T(x),T(x^2)$ בת"ל אבל $T(1),T(x),T(x^2)$ שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.

תרגיל

$V=\mathbb{R}^3,\,W=\mathbb{R}^{4}$ האם קימת $T:V\to W$ ה"ל על?

פתרון: נניח בשלילה כי $T$ על אזי יש מקור ל $e_1,e_2,e_3,e_4$. נסמן את המקורות ב$v_i$ כלומר $Tv_i=e_i$. כיוון ש $e_1,e_2,e_3,e_4$ בת"ל גם $v_1,v_2,v_3,v_4$ בת"ל אבל $v_1,v_2,v_3,v_4$ שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.

תרגיל

תהא $T:V\to W$ ה"ל. תהא $A\subseteq V$ תת קבוצה. אזי $T(span(A))=spanT(A)$

הוכחה:

($\subseteq$) יהא $v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i$ צ"ל באיברי $A$ אזי $Tv\in T(span(A))$ הוא איבר כללי.

כעת $Tv=\sum_{i=1}^n\alpha_i Tv_i$ שזה צ"ל באיברי $T(A)$ ולכן שייך ל $spanT(A)$

($\supseteq$) יהא צ"ל באיברי $T(A)$ אזי הוא מהצורה $\sum_{i=1}^n\alpha_i Tv_i$ כאשר $v_i\in A$

מלינאריות נקבל כי $T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A))$

מסקנה לכל תת מרחב $W\leq V$ מתקיים כי $T(W)$ תת מרחב.

תרגיל

יהיו $V=\mathbb{R}^{3},\,W=\mathbb{R}^{2}$ והמישור $U=\{ \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right): x+y+z=0\} = span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right)\} \leq V$

מצא ה"ל $T:V\to W$ כך ש $kerT=U$ וגם $ImT=span(\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)\})$

פתרון

נשלים לבסיס ל V בעזרת $\{ v_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \}$

לפי משפט ההגדרה מספיק להגדיר $T$ בעזרת הבסיס.

נגדיר $Tv_1=Tv_2 = 0, Tv_3 = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}$

ואז $T(U)=T(span\{v_1,v_2\})= span\{Tv_1,Tv_2\} = span\{0\} = \{0\}$ ולכן $U\subseteq kerT$

בכיוון השני, יהיה $v=\alpha_1v_1 +\alpha_2v_2+\alpha_3v_3 \in KerT$ אזי $0=Tv= \alpha_1Tv_1 +\alpha_2Tv_2+\alpha_3Tv_3=\alpha_3 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}$ ולכן $\alpha_3=0$ ואז $v\in U$

בנוסף, באופן דומה,

$ImT=T(V)=T(span\{v_1,v_2,v_3\}) = span\{Tv_1,Tv_2,Tv_3\} = span \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}$

כנדרש.

תרגיל

תהא $T:V\to V$ ה"ל, $W\leq V$ ת"מ. נתון כי $W\cap KerT=0$. הוכח כי $\dim W = \dim T(W)$

הוכחה:

נסתכל על ה"ל $T_W:W\to V$ אזי מתקיים כי $KerT_W = W\cap kerT=0$ ולכן $T_W$ חח"ע. אם נבחר בסיס ל $B$ אזי $T(B)$ גם כן בסיס

ואז $\dim W =|B|=|T(B)|= \dim T(W)$

משפט הדרגה

תהא $T:V\to W$ ה"ל. אזי $\dim ImT+\dim KerT=dimV$

הערה: שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה $A\in \mathbb{F}^{m\times n}$ ומשפט $\dim C(A)+\dim N(A)=n$ (זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל)

.

הפיכות ואיזמורפיזם

ה"ל $T:V\to W$ היא הפיכה אם יש ה"ל$S:W\to V$ כך ש: $ST=Id_V,TS=Id_W$. במקרה זה מסמנים $T^{-1}=S$

משפט $T$ הפיכה אמ"מ $T$ חח"ע ועל

(שימו לב שידוע שפונקציה חח"ע ועל היא הפיכה כפונקציה. המשפט אומר שבמקרה זה הפונקציה היא ה"ל)

תכונות

1. אם $T$ הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים$(T^{-1})^{-1}=T$
2. $T,S$ הפיכות אמ"מ ההרכבה $ST$ הפיכה. במקרה זה מתקיים $(ST)^{-1} =T^{-1}S^{-1}$
3. אם ה"ל $L_A(v)=Av$ הפיכה אז ההופכית היא $L_{A^{-1}}$

איזומורפיזם

הגדרה ה"ל $T:V\to W$ תקרא

1. מונומורפיזם אם $T$ חח"ע
2. אפימורפיזם אם $T$ על
3. איזומורפיזם אם $T$ חח"ע ועל (כלומר הפיכה). במקרה זה נאמר ש $V$ ו $W$ איזומורפים ונסמן $V\cong W$

הערה: $\cong$ מתנהג כמו יחס שקילות. כלומר

1. $\forall V : V\cong V$
2. $V\cong W \Rightarrow W\cong V$
3. $V_1\cong V_2 \land V_2 \cong V_3 \Rightarrow V_1\cong V_3$

דוגמא: $T:\mathbb{F}^{m\times n} \to \mathbb{F}^{n\times m}$ המוגדרת $T(A)=A^t$ היא איזומורפיזם.