*טרנזיטיביות:נניח <math>B=[T_A]^E_E</math> וגם <math>C=[T_B]^F_F</math> לכן ביחד <math>C=[T_B]^F_F=[I]^S_F[T_B]^S_S[I]^F_S=[I]^S_FB[I]^F_S=[I]^S_F[T_A]^E_E[I]^F_S=</math> '''טענה:''' יהי בסיס E. אזי כל מטריצה הפיכה הינה מטריצת מעבר מבסיס כלשהו לבסיס E. ניקח את הצירופים הלינאריים של איברי E עם הסקלרים מעמודות המטריצה ההפיכה. מכיוון שעמודות המטריצה ההפיכה בת"ל, הקואורדינטות בת"ל ולכן גם הצירופים הלינאריים עצמם בת"ל ולכן מהווים בסיס המקיים את הדרוש. נמשיך, <math>C=[I]^E_G[T_A]^E_E[I]^G_E=[T_A]^G_G</math> כפי שרצינו. על מנת להוכיח שפונקצית הtrace מוגדרת היטב יש להראות שהיא שווה על כל שתי מטריצות שקולות. אבל זה קל כיוון ש <math>tr(B)=tr([I]^S_EA[I]^E_S)=tr(A[I]^S_E[I]^E_S)=tr(A)</math>
==מציאת גרעין ותמונה בעזרת מטריצה מייצגת==