==מציאת גרעין ותמונה בעזרת מטריצה מייצגת==
'''הגדרה.''' יהי V מ"ו ויהי U תת מרחב שלו. יהי B בסיס לV. אזי '''מרחב הקואורדינטות''' של U לפי B הינו <math>[U]_B:=\{[u]_B|:u\in U\}</math>. כפי שלמדנו העתקת הקואורדינטות הינה איזומורפיזם ולכן בהנתן מרחב קואורדינטות קל למצוא את המרחב המקורי.
'''תרגיל.''' תהי A מטריצה ו-f פונקציה המוגדרת על ידי כפל במטריצה f(v)=Av. מצא את הגרעין ואת התמונה של f.
'''תרגיל.'''
יהיו <math>V=\mathbb{Z}_2^3</math> ו<math>W=P(\{1,2,3,4\}</math> מ"ו מעל השדה <math>\mathbb{Z}_2</math>. (זכרו כי החיבור הוקטורי בקבוצת החזקה הינו הפרש סימטרי). תהי העתקה לינארית המוגדרת לפי משפט ההגדרה על ידי
<math>T(1,1,0)=\{2,3\}</math>
מצא את הגרעין ואת התמונה של ההעתקה.
'''פתרון.'''
שוב אנו נתקלים במרחב יחסית חדש ואנו זקוקים למצוא לו בסיס סנדרטי. הבסיס הסטנדרטי למרחב קבוצה החזקה הוא באופן טבעי הנקודונים, שכן כל תת קבוצה הינה הפרש סימטרי של הנקודונים של האיברים שבה. אם כן הבסיס הסטנדרטי הינו <math>S_P=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}</math>. נגדיר בסיס
<math>E=\{(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1)\}</math>.
לכן המטריצה המייצגת הינה: <math>[T]^E_{S_P}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}</math>
נמצא את הגרעין. <math>[kerT]_E=N([T]^E_{S_P})=span\{(1,1,1)\}</math>. אלו הקואורדינטות של הבסיס, ולכן הבסיס הוא הצירופים הלינאריים של איברי E עם הקואורדינטות הנ"ל כלומר <math>kerT = span\{(1,1,0)+(0,1,1)+(0,0,1)=(1,0,0)\}</math>. קל מאד לראות שהגרעין '''שונה''' ממרחב הקואורדינטות שלו.
נמצא את התמונה. <math>[ImT]_{S_P}=C([T]^E_{S_P})=span\{(0,1,1),(1,0,1)\}</math>.
אם <math>[v]_{S_P}=(0,1,1)</math> אזי <math>v=(0\cdot\{1\})\Delta (1\cdot\{2\}) \Delta (1\cdot\{3\})=\{2,3\}</math>
באופן דומה <math>(1,0,1)</math> תואם ל<math>\{1,3\}</math>
לסיכום <math>ImT=span\{\{2,3\},\{1,3\\}\{\{\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2\}\}</math> וזו התמונה של ההעתקה.