הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==מטריצות מייצגות== '''הגדרה.''' תהי <math>T:V\rightarrow W</math> העתקה לינארית, ויהיו <math>E,F</math> בסיסים ל<mat...")
 
(←‏מטריצות מייצגות)
שורה 2: שורה 2:
  
 
'''הגדרה.''' תהי <math>T:V\rightarrow W</math> העתקה לינארית, ויהיו <math>E,F</math> בסיסים ל<math>V,W</math> בהתאמה. נסמן <math>E=\{v_1,...,v_n\}</math>. אזי '''המטריצה המייצגת''' את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E מסמנים  
 
'''הגדרה.''' תהי <math>T:V\rightarrow W</math> העתקה לינארית, ויהיו <math>E,F</math> בסיסים ל<math>V,W</math> בהתאמה. נסמן <math>E=\{v_1,...,v_n\}</math>. אזי '''המטריצה המייצגת''' את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E מסמנים  
 +
 +
 
<math>[T]^E_F =\begin{pmatrix}
 
<math>[T]^E_F =\begin{pmatrix}
  
שורה 16: שורה 18:
  
 
'''הערה:''' שימו לב שאם ניקח את הוקטורים <math>Tv_1,...,Tv_n</math> ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל <math>[T]^E_S</math>.
 
'''הערה:''' שימו לב שאם ניקח את הוקטורים <math>Tv_1,...,Tv_n</math> ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל <math>[T]^E_S</math>.
 +
 +
===אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את העתקה בין בסיסים כלשהם===
 +
 +
יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי:
 +
 +
# מצא את מטריצה המעבר <math>[I]^F_S</math> (קל, לשים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של איברי F בעמודות)
 +
# הפוך אותה על מנת לקבל את <math>[I]^S_F</math>
 +
# הפעל את ההעתקה T על איברי הבסיס E לקבל <math>Tv_1,...,Tv_n</math>
 +
# שים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של התמונות משלב שלוש בעמודות מטריצה <math>[T]^E_S</math>
 +
# כפול מטריצות על מנת לקבל <math>[T]^E_F=[I]^S_F[T]^E_S</math>
 +
 +
===אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד===
 +
תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math>. רוצים למצוא את <math>Tv</math> עבור <math>v\in V</math> וקטור כלשהו.
 +
 +
#נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את <math>[T]^E_S</math>.
 +
#נכפול במטריצת המעבר על מנת לקבל <math>[T]=[T]^S_S=[T]^E_S[I]^S_E</math>
 +
#<math>[T][v]=[Tv]</math> מכיוון שכל אלא בבסיס הסטנדרטי, נכפול בוקטור כללי מהמרחב על מנת למצוא לאן הוא נשלח במפורש.
 +
 +
===דוגמאות===

גרסה מ־06:55, 12 באוגוסט 2011

מטריצות מייצגות

הגדרה. תהי T:V\rightarrow W העתקה לינארית, ויהיו E,F בסיסים לV,W בהתאמה. נסמן E=\{v_1,...,v_n\}. אזי המטריצה המייצגת את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E מסמנים


[T]^E_F =\begin{pmatrix} | & | & & | \\ \big[Tv_1]_F & [Tv_2]_F &\cdots &[Tv_n]_F \\ | & | & & | \\ \end{pmatrix}


לכל וקטור v\in V מתקיים ש [T]^E_F[v]_E=[Tv]_F

הערה: שימו לב שאם ניקח את הוקטורים Tv_1,...,Tv_n ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל [T]^E_S.

אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את העתקה בין בסיסים כלשהם

יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי:

  1. מצא את מטריצה המעבר [I]^F_S (קל, לשים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של איברי F בעמודות)
  2. הפוך אותה על מנת לקבל את [I]^S_F
  3. הפעל את ההעתקה T על איברי הבסיס E לקבל Tv_1,...,Tv_n
  4. שים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של התמונות משלב שלוש בעמודות מטריצה [T]^E_S
  5. כפול מטריצות על מנת לקבל [T]^E_F=[I]^S_F[T]^E_S

אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד

תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס B=\{v_1,...,v_n\}. רוצים למצוא את Tv עבור v\in V וקטור כלשהו.

  1. נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את [T]^E_S.
  2. נכפול במטריצת המעבר על מנת לקבל [T]=[T]^S_S=[T]^E_S[I]^S_E
  3. [T][v]=[Tv] מכיוון שכל אלא בבסיס הסטנדרטי, נכפול בוקטור כללי מהמרחב על מנת למצוא לאן הוא נשלח במפורש.

דוגמאות

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-112_לינארית_1_תיכוניסטים_קיץ_תשעא/מערך_תרגול/9&oldid=12741