[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
[[מדיה:11Infi1CSBohan1.pdf|בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב]]
==1==
<math>L</math> הנו גבול הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום בסדרה <math>N</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> .
L הינו גבול הסדרה <math>a_n</math>אם לכל אפסילון גדול מאפס קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilon</math> L '''אינו''' גבול הסדרה <math>a_n</math> אם '''קיים''' אפסילון גדול מאפס <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' מקום <math>N </math> בסדרה '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש - <math>|a_n-L|\geqge\epsilonvarepsilon</math>.
==2==
==4==
כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן
:<math>a_{n+1}<a_n\iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}</math>
ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר <math>c>1</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר <math>c=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר <math>0<c<1</math> הסדרה מונוטונית יורדת.
כיוון שהאיבר הראשון חיוביכאשר הסדרה מונוטונית קבועה, ושאר האיברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיוביתהיא קבוע <math>1</math> ולכן זהו גבולה. לכן
::כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי <math>a_{n+1}<a_n \iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}0</math>ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:
ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על ידי הזוג הראשון. כאשר נסמן <math>c\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math>ולכן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר ולכן::<math>cL^2=L</math>כלומר <math>L=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר או <math>L=0</math> . כיון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> הסדרה והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1</math> ולכן <math>L=0</math> .
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית קבועהעולה, אם היא קבוע 1 ולכן הייתה מתכנסת גבולה הוא אחדהיה גדול מ-1 בסתירה.
כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:==5==משיעורי הבית
נסמן <math>\lim a_n=L</math> ולכן <math>\lim a_{n+1}=L</math>ולכן:6==
::<math>L^2=L</math>==א===חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0
כלומר L שווה לאחד או אפס. כיוון שאנו עוסקים במקרה בו ===ב===<math>c<\sqrt[n]{9^{n+1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L}-3^{2n}}=\lim a_nsqrt[n]{9\leq c<1cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot8}=9\sqrt[n]8\to9</math> ולכן הגבול שווה אפס.
===ג===
<math>L=\frac{L^2}{2}+\frac12</math> ולכן <math>L=1</math>
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מאחד בסתירה.===ד===<math>\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3</math>
==5=ה===לפי משפט אם הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון)
משיעורי הביתלכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:
==6== ===א===חסומה כפול שואפת לאפס לכן שואף לאפס ===ב===<math>\sqrt[n]dfrac{9^a_{n+1}-3^}{2n}a_n}=\sqrt[n]frac{9\cdot 9^big(2(n-9+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\sqrt[frac{2(n]+1)(2n+1)}{9^(n\cdot 8+1)^2}=9\sqrt[n]frac{84n+2}{n+1}\rightarrow 9to 4</math>