שינויים

<math>L </math> הנו גבול הסדרה <math>\{a_n\}</math> אם לכל <math>\epsilonvarepsilon>0</math> קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilonN</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilonN</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math> .

<math>L </math> '''אינו''' גבול הסדרה <math>\{a_n\}</math> אם '''קיים''' <math>\epsilonvarepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' מקום <math>N</math> בסדרה '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\epsilonvarepsilon</math> .

כיון שהאיבר שהאבר הראשון חיובי, ושאר האיברים האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן:<math>a_{n+1}<a_n \iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}</math>

נסמן <math>\lim \limits_{n\to\infty}a_n=L</math> ולכן <math>\lim \limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L</math> ולכן:

כלומר <math>L</math> שווה ל- <math>=1</math> או <math>L=0</math>. כיוון כיון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim \limits_{n\to\infty}a_n\le c<1</math> ולכן הגבול שווה <math>L=0</math>.

באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ- <math>1</math> בסתירה.

חסומה כפול שואפת ל- <math>0</math> לכן שואף ל- <math>0</math>

<math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot 9cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot 8cdot8}=9\sqrt[n]{8}\to 9to9</math>

<math>\biggleft(1+\frac{3n}{n^2+1}\biggright)^n=\Biggleft(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\Biggright)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\Biggleft(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\Biggright)^{\Bigleft(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\Bigright)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3</math>

לפי משפט אם הגבול <math>\lim\fraclimits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים ש- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון)

<math>\fracdfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4</math>