===פתרון===
א.
נפעיל את משפט הסנדביץ':
::<math>2012=\sqrt[n]{2012^n}\leq \sqrt[n]{1^n+2^n+...+2012^n}\leq \sqrt[n]{2012^n+2012^n+...+2012^n}=\sqrt[n]{2012\cdot 2012^n}\rightarrow 2012</math>
ב.
ידוע כי עבור ערכים חיוביים <math>sin(x)<x</math> ולכן קל להוכיח באינדוקציה כי זו סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על ידי אפס, ולכן מתכנס.
<math>L=sin(L)</math> ולכן <math>L=0</math>.
אכן, אם היה פתרון אחר למשוואה <math>x-sin(x)=0</math> הקטן מאחד, אזי הנגזרת הייתה צריכה להתאפס בין אפס לאחד (לפי רול) וקל לוודא כי זה לא קורה.
ג.
כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנג' כי <math>|sin(x)-sin(y)|\leq |x-y|</math> לכן,
::<math>|sin\sqrt{x-a}-sin\sqrt{x}|\leq |\sqrt{x-a}-\sqrt{x}|=|\frac{-a}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}}|\rightarrow 0</math>
ד.
::<math>\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}=\frac{lnx-x+1}{(x-1)lnx}</math>
נגזור את המונה ואת המכנה לקבל:
::<math>\frac{\frac{1}{x}-1}{lnx+\frac{x-1}{x}}=\frac{1-x}{xlnx+x-1}</math>
שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבל:
::<math>\frac{-1}{lnx + 1 +1}\rightarrow -\frac{1}{2}</math>
ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי.