===סעיף ב===
נשים לב ש
<math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)</math>
זה ממוצע של הערכים
<math>f(x_1),\ldots , f(x_n)</math>
מבין הערכים האלה חייב להיות מינימום ומקסימום.
כלומר קיימים <math>i_0,i_1</math> עבורם
<math>f(x_{i_0})=\min\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\},\quad f(x_{i_1})=\max\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\}</math>
ואז נקבל
<math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_1}) = f(x_{i_1})</math>
ובאופן דומה
<math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_0}) = f(x_{i_0})</math>
נניח בלי הגבלת כלליות ש
<math>x_{i_0}<x_{i_1}</math>
ראינו שהערך
<math>\sum_{i=1}^n f(x_i)</math>
נמצא בין <math>f(x_{i_0})</math> ל <math>f(x_{i_1})</math>
וברור ש <math>f</math>
רציפה על
<math>[x_{i_0},x_{i_1}]</math>
לכן לפי משפט ערך הביניים קיים
<math>c\in (x_{i_0},x_{i_2})\subseteq (a,b)</math>
כך ש:
<math>f(c)=\sum_{i=1}^n f(x_i)</math>
וזה מראה את מה שנדרש
==שאלה 6==
=== סעיף א===
לפי משפט לגרנז', קיימת <math>d\in (a,c)</math>
כך ש
<math>f'(d)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}=\frac{f(c)}{c-a}>0</math>
וקיימת <math>e\in (c,b)</math>
כך ש
<math>f'(e)=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=\frac{-f(c)}{b-c}<0</math>
לפי משפט לגרנז' על הפונקציה <math>f'</math>, קיימת <math>t\in (d,e)\subseteq (a,b)</math>
כך ש
<math>f''(t)=\frac{f'(e)-f'(d)}{e-d}</math>
נשים לב ש <math>f'(e)<0,\quad f'(d)>0</math> ו <math>e>d</math> ולכן ברור ש
<math>f''(t)<0</math>
כנדרש
===סעיף ב===
נשתמש במשפט לגרנז' על הפונקציה
<math>f(x)=\ln(x+1)</math> על הקטע <math>[a,b]</math> (בגלל ש <math>b>a>0</math>, הפונקציה מוגדרת וגזירה בקטע זה.)
נזכור כי
<math>f'(x)=\frac{1}{x+1}</math>
ולכן לפי לגרנז' קיימת <math>c\in(a,b)</math> כך ש
<math>\frac{\ln(b+1)-\ln(a+1)}{b-a}=\frac{1}{c+1}</math>
בגלל ש <math>a<c<b</math>, ברור ש
<math>\frac{1}{b+1}<\frac{1}{c+1}<\frac{1}{a+1}</math>
ולכן
<math>\frac{1}{b+1}<\frac{\ln(b+1)-\ln(a+1)}{b-a}<\frac{1}{a+1}</math>
כלומר
<math>\frac{b-a}{b+1}<\ln(b+1)-\ln(a+1)<\frac{b-a}{a+1}</math>
כלומר
<math>\frac{b-a}{b+1}<\ln(\frac{b+1}{a+1})<\frac{b-a}{a+1}</math>
שזה מה שרצינו להראות