88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/תרגילים תיכון/1

1

מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויונים הבאים:

א

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0$ כאשר $n\in\mathbb{N}$. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.

ב

$|x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x$

ג

$(x-1)|x-1| > 1$

ד

$\frac{|x|}{x} > 0.5$

2

נגדיר שתי פונקציות

$f(x)=\begin{cases}x^2 & x>0 \\ 0 & x=0 \\ -x^2 & x<0\end{cases}$

$g(x)=\begin{cases}x-1 & x>1 \\ |x|+x & x \leq 1\end{cases}$

מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

א

$f(x+1)>0$

ב

• $|g(x^2)-f(x)| < x$

3

הוכח את הנוסחאות הבאות באמצעות אינדוקציה או בכל דרך נכונה אחרת:

א

$1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2$

ב

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$

ג

$1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}$

ד

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1$