הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==שאלה 1 (30 נק)== ===סעיף א=== תהיינה שתי סדרות <math>a_n,b_n</math> כך ש: ::1. <math>\lim a_n-b_n=0</math> ::2. <math>\lim a_n^2+...")
 
(←‏סעיף ב)
שורה 29: שורה 29:
  
 
::'''הוכיחו/הפריכו:''' <math>\overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n</math>
 
::'''הוכיחו/הפריכו:''' <math>\overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n</math>
 +
 +
פתרון: הטענה נכונה.
 +
 +
תהי <math>a_{n_k}</math> תת סדרה של <math>a_n</math> כך ש
 +
<math>\displaystyle{\lim_{a_{n_k}}}=\overline{\lim}a_n</math>
  
 
==שאלה 3 (30 נק)==
 
==שאלה 3 (30 נק)==

גרסה מ־08:17, 24 בדצמבר 2014

שאלה 1 (30 נק)

סעיף א

תהיינה שתי סדרות a_n,b_n כך ש:

1. \lim a_n-b_n=0
2. \lim a_n^2+b_n^2= L\in\mathbb{R}

הוכיחו/הפריכו:

\lim a_n^2-b_n^2= 0

סעיף ב

תהי סדרה a_n וקבוע 0<q<1 כך ש

\forall n\geq 2: |a_{n+1}-a_n|\leq q\cdot|a_n-a_{n-1}|

הוכיחו כי a_n מתכנסת.

(רמז: יש בשאלה הזו קושי)

שאלה 2 (40 נק)

סעיף א

לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.

1. הוכיחו/הפריכו: sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\}
2. הוכיחו/הפריכו: sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\}

סעיף ב

נניח \lim a_n-b_n=0.

הוכיחו/הפריכו: \overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n

פתרון: הטענה נכונה.

תהי a_{n_k} תת סדרה של a_n כך ש \displaystyle{\lim_{a_{n_k}}}=\overline{\lim}a_n

שאלה 3 (30 נק)

סעיף א

תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה

a_1=1
a_{n+1}=1 + \frac{|a_n|}{2}

הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה

סעיף ב

קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים

\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n)
\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n}
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעה/בוחן_1_-_פתרון&oldid=59043