הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏סעיף ב)
(←‏סעיף א)
שורה 24: שורה 24:
 
::1. '''הוכיחו/הפריכו''': <math>sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\}</math>
 
::1. '''הוכיחו/הפריכו''': <math>sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\}</math>
 
::2. '''הוכיחו/הפריכו''': <math>sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\}</math>
 
::2. '''הוכיחו/הפריכו''': <math>sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\}</math>
 +
 +
פתרון:
 +
 +
1) לא נכון. ניקח <math>A=\{1,2\}</math> ו <math>B=\{1,3\}</math>
 +
 +
אז <math>\sup(A\cap B) = 1</math>
 +
 +
אבל <math>\min\{\sup(A),\sup(B)\}=2</math>
 +
 +
2) נכון.נוכיח ש <math>\max\{\sup(A),\sup(B)\}</math> מקיים את התכונות של<math>\sup(A\cup B)</math>
  
 
===סעיף ב===
 
===סעיף ב===

גרסה מ־08:42, 24 בדצמבר 2014

שאלה 1 (30 נק)

סעיף א

תהיינה שתי סדרות a_n,b_n כך ש:

1. \lim a_n-b_n=0
2. \lim a_n^2+b_n^2= L\in\mathbb{R}

הוכיחו/הפריכו:

\lim a_n^2-b_n^2= 0

סעיף ב

תהי סדרה a_n וקבוע 0<q<1 כך ש

\forall n\geq 2: |a_{n+1}-a_n|\leq q\cdot|a_n-a_{n-1}|

הוכיחו כי a_n מתכנסת.

(רמז: יש בשאלה הזו קושי)

שאלה 2 (40 נק)

סעיף א

לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.

1. הוכיחו/הפריכו: sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\}
2. הוכיחו/הפריכו: sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\}

פתרון:

1) לא נכון. ניקח A=\{1,2\} ו B=\{1,3\}

אז \sup(A\cap B) = 1

אבל \min\{\sup(A),\sup(B)\}=2

2) נכון.נוכיח ש \max\{\sup(A),\sup(B)\} מקיים את התכונות של\sup(A\cup B)

סעיף ב

נניח \lim a_n-b_n=0.

הוכיחו/הפריכו: \overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n

פתרון: הטענה נכונה.

תהי a_{n_k} תת סדרה של a_n כך ש \displaystyle{\lim_{n\to\infty}{a_{n_k}}}=\overline{\lim}a_n

(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)

היות ש \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n-b_n=0,

אז כמובן ש \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_{n_k}-b_{n_k}=0

(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).

ולכן \displaystyle{\lim_{n\to\infty}}b_{n_k}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(b_{n_k}-a_{n_k})+\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}a_{n_k}=0+\overline{\lim}a_n

כלומר \overline{\lim}a_n הוא גם גבול חלקי של b_n ולכן

\overline{\lim}a_n\leq \overline{\lim}b_n (כי \overline{\lim}b_n הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)

בדרך דומה מוכיחים

\overline{\lim}a_n\geq \overline{\lim}b_n

ולכן

\overline{\lim}a_n = \overline{\lim}b_n

כנדרש

שאלה 3 (30 נק)

סעיף א

תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה

a_1=1
a_{n+1}=1 + \frac{|a_n|}{2}

הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה

סעיף ב

קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים

\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n)
\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n}
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעה/בוחן_1_-_פתרון&oldid=59045