הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏סעיף א)
(←‏סעיף א)
שורה 104: שורה 104:
  
 
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
 
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
 +
 +
(בכתיבה)
 +
 +
נרצה להוכיח כי הסדרה מונוטונית עולה וחסומה.
 +
 +
ראשית נוכיח שהסדרה חיובית (מה שדי ברור). למען הדיוק נוכיחזאת באופן מסודר באינדוקציה.
 +
 +
כלומר רוצים להוכיח ש <math>a_n\geq 0</math>.
 +
 +
עבור <math>n=1</math> אכן <math>a_1>=1\geq 0</math>.
 +
 +
 +
 +
1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש <math>a_{n+1}\geqa_n</math>
 +
 +
עבור: <math>n=1</math> זה אכן נכון כי
 +
 +
<math>a_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>1=a_1</math>
 +
 +
נניח שהטענה הכונה עבור <math>n</math> כלומר: <math>a_{n+1}\geqa_n</math>
 +
 +
נוכיח עבור <math>n+1</math> כלומר נוכיח כי
 +
 +
<math>a_{n+2}\geq a_{n+1}</math>
 +
 +
זה נכון מפני ש
 +
 +
<math>a_{n+2}=\frac</math>
  
 
===סעיף ב===
 
===סעיף ב===

גרסה מ־09:00, 24 בדצמבר 2014

שאלה 1 (30 נק)

סעיף א

תהיינה שתי סדרות a_n,b_n כך ש:

1. \lim a_n-b_n=0
2. \lim a_n^2+b_n^2= L\in\mathbb{R}

הוכיחו/הפריכו:

\lim a_n^2-b_n^2= 0

סעיף ב

תהי סדרה a_n וקבוע 0<q<1 כך ש

\forall n\geq 2: |a_{n+1}-a_n|\leq q\cdot|a_n-a_{n-1}|

הוכיחו כי a_n מתכנסת.

(רמז: יש בשאלה הזו קושי)

שאלה 2 (40 נק)

סעיף א

לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.

1. הוכיחו/הפריכו: sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\}
2. הוכיחו/הפריכו: sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\}

פתרון:

1) לא נכון. ניקח A=\{1,2\} ו B=\{1,3\}

אז \sup(A\cap B) = 1

אבל \min\{\sup(A),\sup(B)\}=2

2) נכון.

בלי הגבלת כלליות נניח ש \sup(B)\leq\sup(A) ולכן \max\{\sup(A),\sup(B)\}=\sup(A)

נסמן \sup(A)=s.

נוכיח ש s מקיים את שתי התכונות של\sup(A\cup B)

תכונה א) חסם מלעיל: יהי x\in A\cup B. אם x\in A אז בוודאי

x\leq \sup(A) = s

ואם x\in B אז

x\leq \sup(B) \leq \sup(A)=s

ולכן s אכן חסם מלעיל של A\cup B

תכונה ב) חסם מלעיל הכי קטן: נניח ש m<s (צריך להראות ש m אינו חסם מעליל של A\cup B)

היות ש m<s=\sup(A) אז קיים a\in A כך ש m<a (לפי תכונה של חסם עליון של A)

אבל בוודאי a\in A\cup B כלומר קיים איבר a\in A\cup B כך ש m<a ולכן m אינו חסם מלעיל של A\cup B כנדרש.

אכן הוכחנו כי s חסם עליון של A\cup B. ובזה סיימנו.

סעיף ב

נניח \lim a_n-b_n=0.

הוכיחו/הפריכו: \overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n

פתרון: הטענה נכונה.

תהי a_{n_k} תת סדרה של a_n כך ש \displaystyle{\lim_{n\to\infty}{a_{n_k}}}=\overline{\lim}a_n

(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)

היות ש \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n-b_n=0,

אז כמובן ש \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_{n_k}-b_{n_k}=0

(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).

ולכן \displaystyle{\lim_{n\to\infty}}b_{n_k}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(b_{n_k}-a_{n_k})+\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}a_{n_k}=0+\overline{\lim}a_n

כלומר \overline{\lim}a_n הוא גם גבול חלקי של b_n ולכן

\overline{\lim}a_n\leq \overline{\lim}b_n (כי \overline{\lim}b_n הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)

בדרך דומה מוכיחים

\overline{\lim}a_n\geq \overline{\lim}b_n

ולכן

\overline{\lim}a_n = \overline{\lim}b_n

כנדרש

שאלה 3 (30 נק)

סעיף א

תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה

a_1=1
a_{n+1}=1 + \frac{|a_n|}{2}

הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה

(בכתיבה)

נרצה להוכיח כי הסדרה מונוטונית עולה וחסומה.

ראשית נוכיח שהסדרה חיובית (מה שדי ברור). למען הדיוק נוכיחזאת באופן מסודר באינדוקציה.

כלומר רוצים להוכיח ש a_n\geq 0.

עבור n=1 אכן a_1>=1\geq 0.


1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \geqa לא מוכרת): a_{n+1}\geqa_n


עבור: n=1 זה אכן נכון כי

a_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>1=a_1

נניח שהטענה הכונה עבור n כלומר: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \geqa לא מוכרת): a_{n+1}\geqa_n


נוכיח עבור n+1 כלומר נוכיח כי

a_{n+2}\geq a_{n+1}

זה נכון מפני ש

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): a_{n+2}=\frac


סעיף ב

קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים

\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n)
\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n}
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעה/בוחן_1_-_פתרון&oldid=59048