88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון

שאלה 1 (30 נק)

סעיף א

תהיינה שתי סדרות $a_n,b_n$ כך ש:

1. $\lim a_n-b_n=0$

2. $\lim a_n^2+b_n^2= L\in\mathbb{R}$

הוכיחו/הפריכו:

$\lim a_n^2-b_n^2= 0$

סעיף ב

תהי סדרה $a_n$ וקבוע $0<q<1$ כך ש

$\forall n\geq 2: |a_{n+1}-a_n|\leq q\cdot|a_n-a_{n-1}|$

הוכיחו כי $a_n$ מתכנסת.

(רמז: יש בשאלה הזו קושי)

שאלה 2 (40 נק)

סעיף א

לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.

1. הוכיחו/הפריכו: $sup(A\cap B)=min\{sup(A),sup(B)\}$

2. הוכיחו/הפריכו: $sup(A\cup B)=max\{sup(A),sup(B)\}$

פתרון:

1) לא נכון. ניקח $A=\{1,2\}$ ו $B=\{1,3\}$

אז $\sup(A\cap B) = 1$

אבל $\min\{\sup(A),\sup(B)\}=2$

2) נכון.

בלי הגבלת כלליות נניח ש $\sup(B)\leq\sup(A)$ ולכן $\max\{\sup(A),\sup(B)\}=\sup(A)$

נסמן $\sup(A)=S$.

נוכיח ש $S$ מקיים את התכונות של$\sup(A\cup B)$

א) חסם מלעיל: יהי $x\in A\cup B$. אם $x\in A$ אז בוודאי

$x\leq \sup(A) = S$

ואם $x\in B$ אז

$x\leq \sup(B) \leq \sup(A)=S$

ולכן $S$ אכן חסם מלעיל של $A\cup B$

סעיף ב

נניח $\lim a_n-b_n=0$.

הוכיחו/הפריכו: $\overline{\lim}a_n=\overline{\lim}b_n$

פתרון: הטענה נכונה.

תהי $a_{n_k}$ תת סדרה של $a_n$ כך ש $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}{a_{n_k}}}=\overline{\lim}a_n$

(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)

היות ש $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_n-b_n=0$,

אז כמובן ש $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} a_{n_k}-b_{n_k}=0$

(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).

ולכן $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}b_{n_k}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(b_{n_k}-a_{n_k})+\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}a_{n_k}=0+\overline{\lim}a_n$

כלומר $\overline{\lim}a_n$ הוא גם גבול חלקי של $b_n$ ולכן

$\overline{\lim}a_n\leq \overline{\lim}b_n$ (כי $\overline{\lim}b_n$ הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)

בדרך דומה מוכיחים

$\overline{\lim}a_n\geq \overline{\lim}b_n$

ולכן

$\overline{\lim}a_n = \overline{\lim}b_n$

כנדרש

שאלה 3 (30 נק)

סעיף א

תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה

$a_1=1$

$a_{n+1}=1 + \frac{|a_n|}{2}$

הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה

סעיף ב

קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים

$\sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n^2+n+1}-n)$

$\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+(-2)^n}{3^n}$