88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

הוכח/הפרך: הסדרה a_n מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה a_{n_k} יש-תת סדרה מתכנסת.

הפרכה

כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל a_n=(-1)^n)

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:

b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{2^{n^2}}{n!}

קל לראות כי \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty ולכן b_n\to\infty . לכן |a_n|\to\infty ולכן הטור מתבדר לחלוטין.


ב

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}

נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות כי

\dfrac{\dfrac{\sin\left(\frac1n\right)}{\log^2(n)}}{\dfrac1{n\cdot\log^2(n)}}\to1

ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל-0):

\dfrac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\dfrac1{n^2\cdot\log^2(2)}

זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.

ג

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-\pi)^n\frac{(n!)^2}{(2n)!}

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל

\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{\pi^{n+1}\dfrac{\big((n+1)!\big)^2}{\big(2(n+1)\big)!}}{\pi^n\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}=\pi\cdot\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{\pi}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2n+1}\to\dfrac{\pi}{4}<1

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 4

זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.

א

e^{-\frac1{x^3}}

נקודת אי-הרציפות היא 0. הגבול משמאל הנו \infty ולכן זה מין שני.

ב

\frac{\sin(x^2)}{\big|\sin(x^2)\big|}

כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת 1 כאשר \sin(x^2) חיובי, 1- כאשר הוא שלילי, ב-0 היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן \pm \sqrt{\pi k} כאשר k\ge0 . פרט ל-0, הן כולן מין ראשון מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).

ב-0, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות סליקה.

ג

f'(x) כאשר f(x)=|x^2-1|

נחלק לתחומים. בתחום x>1\ ,\ x<-1 מתקיים f(x)=x^2-1 ולכן f'(x)=2x .

בתחום -1<x<1 מתקיים f(x)=1-x^2 ולכן f'(x)=-2x .

קל אפוא לראות שבנקודות \pm1 יש אי-רציפות ממין ראשון (שם הנגזרת מתקרבת ל-2 מצד אחד ו-2- מצד שני).

שאלה 5

אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים?

א

x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right) בתחום (0,\infty) .

קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:

\lim_{x\to0}x\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)=0 אפס כפול חסומה

\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac1x\cdot\frac{\sin\left(\tfrac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot1=0

שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ב

\dfrac1{1+\ln(x)} בתחום (0,\infty) .

קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה e^{-1} שנמצאת בתחום ולכן אינה רציפה במ"ש שם.

ג

\sqrt{\big|\cos(\pi x)\big|} בתחום (-\infty,\infty) .

זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: \sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x ולכן רציפה במ"ש בתחום.

שאלה 7

חשב את הקירוב הלינארי של h=g^{-1}\circ f^{-1} ב- x_0=2 .

הקירוב הלינארי של h(x) באזור הנקודה x_0 , הנו h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)

במקרה שלנו

h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\dfrac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot\Big[\dfrac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]=
\frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot\dfrac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)}

ולכן סה"כ h(x)=7-\frac{x-2}{7}

המבחן של דר' שמחה הורוביץ

שאלה 3

תהי g פונקציה רציפה במ"ש בקטע (0,1) . נניח שקיים \varepsilon>0 כך שמתקיים g(x)>\varepsilon לכל x\in(0,1) . הוכח שהפונקציה \dfrac1g רציפה במ"ש בקטע (0,1) .

הוכחה

לפי הנתון, לכל \alpha>0 קיים \delta>0 כך שאם |x_1-x_2|<\delta מתקיים \Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|<\alpha\cdot\varepsilon^2 .

לכן, מתקיים \left|\dfrac1{g(x_1)}-\dfrac1{g(x_2)}\right|=\left|\dfrac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\right|<\dfrac{\alpha\cdot\varepsilon^2}{\varepsilon^2}=\alpha

כפי שרצינו. \blacksquare

שאלה 6

תהי f פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0 וגם f^{(5)}(0)>0 . עוד נניח שלכל x\ne 0 מתקיים f'(x)\ne 0 . הוכיחו שלכל x>0 מתקיים f(x)>0 .

הוכחה

מכיון שהפונקציה ו-4 נגזרותיה מתאפסות ב-0, פולינום טיילור מסדר 4 בסביבת הנקודה x=0 שווה זהותית ל-0. השארית היא מהצורה \dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5 כאשר 0<c<x .

מכיון ש- f^{(5)}(0)>0 והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של 0 בה f^{(5)}>0 . לכן בסביבה ימנית של 0 מתקיים f(x)=\dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0 .

נותר להוכיח כי f(x)>0 עבור x>0 גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה כי f(x)\le0 אזי לפי משפט ערך הביניים f(x)=0 עבור x>0 כלשהוא. אבל גם f(0)=0 ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-0, בסתירה.