88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

1

שאלת הוכחה מההרצאה

2

חשבו את האינטגרלים הבאים:

א

\int\frac{dx}{\sin(x)}

פתרון:

נבצע הצבה אוניברסאלית t=\tan(\frac{x}{2}) לקבל

\int\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt=\ln\bigl(|t|\bigr)+c


ב

\int\frac{x\cdot dx}{\cos^2(x)}


נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל

\int\frac{x\cdot dx}{\cos^2(x)}=x\cdot\tan(x)-\int \tan(x) = x\cdot\tan(x)+\ln\bigl(|\cos(x)|\bigr)+c

ג

\int\frac{t^7}{1+2t^4+t^8}dt

ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

או ההצבה x=t^4 באופן הבא:

\int \frac{t^7}{1+2t^4+t^8}dt=\int\frac{x}{4(1+2x+x^2)}dx=\frac18\int\frac{2x+2-2}{(1+x)^2}dx=\frac{\ln(1+x)}{4}+\frac1{4(1+x)}+C

3

א

קבעו האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר:

\int\limits_0^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx

פתרון: כיון ש- \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{\arctan(x)}{x}}{\frac1{x}}=\frac{\pi}{2}

וכיון ש- \displaystyle\int\limits_1^\infty\frac1{x}dx מתבדר

שני האינטגרלים חברים ומתבדרים יחדיו.

ב

הוכיחו שאם p(x) פולינום שאינו שווה זהותית ל- 0, אזי האינטגרל \displaystyle\int\limits_1^\infty p(x)dx מתבדר.

פתרון:

אם הפולינום אינו זהותית 0 , האינטגרל הלא-מסוים שלו q(x)=\displaystyle\int\limits p(x)dx בעל מעלה גדולה או שווה לאחד. ולכן

\int_1^\infty p(x)dx=\lim_{b\to\infty}\int_1^b p(x)dx=\lim_{b\to\infty}[q(b)-q(1)]=\pm\infty

האחרון מתבדר כיון שהמעלה של q גדולה או שווה ל- 1 .

4

מצאו את טור מקלורן של הפונקציה f(x)=\cos^2(x) וקבעו את רדיוס ההתכנסות של הטור.

פתרון:

ראשית, נשים לב כי \cos^2(x)= \frac{\cos(2x)+1}{2}.

שנית, נזכר או נפתח את הטור \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}

וביחד נקבל

\cos^2(x)=\frac12\bigg(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}(2x)^{2n}+1\bigg)=\frac12\bigg(1+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-4)^n}{(2n)!}x^{2n}\bigg)

קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף.

5

נגדיר סדרת פונקציות f_n(x)=\frac{x^n}{1+x^n}

א

קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע \left[0,\frac12\right]

פתרון:

קל לראות שבקטע זה גבול הסדרה הוא הפונקציה ששווה זהותית 0 , ולכן יש לחשב את הגבול:

\lim\limits_{n\to\infty}\Big[\sup_{x\in [0,\frac12]}\bigg|\frac{x^n}{1+x^n}\bigg|\Big]

נגזור על-מנת למצוא את המקסימום:

{\Big(\frac{x^n}{1+x^n}\Big)' = \frac{nx^{n-1}(1+x^n)-nx^{n-1}\cdot x^n}{(1+x^n)^2}=\frac{nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}}

הנגזרת מתאפסת ב- 0 , לכן המקסימום הוא בקצוות

f_n(0)=0 ,

f_n(\frac12)=\frac1{2^n+1}

ולכן

\lim\limits_{n\to\infty}\Big[\sup_{x\in [0,\frac12]}\bigg|\frac{x^n}{1+x^n}\bigg|\Big]= \lim\limits_{n\to\infty}\frac1{2^n+1}=0

ולכן הסדרה מתכנסת במ"ש.

ב

קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע \left[\frac12,\frac32\right]

פתרון:

קל לראות כי פונקצית הגבול בנקודה 1 היא \frac12 , לכל נקודה גדולה מ- 1 היא 1 ולכל נקודה קטנה מ- 1 היא 0 . לכן פונקצית הגבול אינה רציפה, ולכן ההתכנסות אינה במ"ש (שכן התכנסות במ"ש של פונקציות רציפות היא רציפה).


6 במבחן של אגרונובסקי

הוכח כי הפונקציה F(\alpha)=\displaystyle\int\limits_1^\infty x^\alpha e^{-x}dx רציפה בכל הממשיים.

פתרון:

  • לפי מבחן השוואה גבולי, קל לראות שכיון שהאינטגרל \displaystyle\int\limits_1^\infty e^{-\frac{x}{2}}dx מתכנס, כך גם האינטגרל F(\alpha) לכל אלפא.
  • כמו כן קל לוודא כי הפונקציה F(\alpha) מונוטונית. (זה לבד מוכיח רציפות פרט למספר בן-מניה של נקודות...)
  • תהי a נקודה מסוימת. נבחר M כך ש- \displaystyle\int\limits_M^\infty x^{a+1}e^{-x}dx < \frac{\epsilon}{2}
  • כעת עבור \Delta a קטן מספיק, F(a+\Delta a)\le \displaystyle\int\limits_1^Mx^{a+\Delta a}e^{-x}dx + \frac{\epsilon}{2}\le M^{\Delta a}F(a) + \frac{\epsilon}{2}\le F(a) + \epsilon

כפי שרצינו...

6 במבחן של שיין והורוביץ

(לקוח ממערכי התרגול של אור שחף) נתונה f פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע, ונתון שקיים \epsilon>0 כך ש-f(x)\ge\epsilon לכל x\in[a,b]. הוכיחו \frac1f בעלת השתנות חסומה בקטע.

פתרון

  1. מתקיים \forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\epsilon ולכן


\begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right|\\&=\sum_{k=1}^n\left|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right|\\&\le\frac1{\epsilon^2}\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&\le\frac1{\epsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}