הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 תשפ"ב סמסטר ב/תיכוניסטים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏טורי טיילור ומקלורן של פונקציות נפוצות)
שורה 136: שורה 136:
  
 
#[[מדיה:לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי_אינפי_2_2010_פתרון.pdf| פתרון מבחן 2010, מועד א']]
 
#[[מדיה:לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי_אינפי_2_2010_פתרון.pdf| פתרון מבחן 2010, מועד א']]
 +
#[[מדיה:לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי_אינפי_2_2010ב_פתרון.pdf| פתרון מבחן 2010, מועד ב']]

גרסה מ־11:54, 8 ביולי 2022

88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2

מיקוד ע"י פרופ' בועז צבאן


סיכומים, קישורים, תרגילים


מחשבונים


מבחן ההשוואה הראשון

יהיו \sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n שני טורים אינסופיים. אם מתקיים החל ממקום מסוים 0\le a_n \le b_n, אז:

  • אם \sum_{n=1}^\infty b_n מתכנס, גם \sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס; לכן גם:
  • אם \sum_{n=1}^\infty a_n מתבדר, גם \sum_{n=1}^\infty b_n מתבדר.

מבחן ההשוואה השני (הנקרא גם מבחן ההשוואה הגבולי)

יהיו \sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n שני טורים חיוביים אינסופיים, שעבורם הגבול \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=L קיים. אז:

  • אם 0<L<\infty, הטורים מתכנסים או מתבדרים יחדיו.
  • אם L=0, אם \sum_{n=1}^\infty b_n מתכנס אז \sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס ואם \sum_{n=1}^\infty a_n מתבדר אז \sum_{n=1}^\infty b_n מתבדר (אבל ההפך אינו בהכרח נכון).
  • אם L=\infty אם \sum_{n=1}^\infty b_n מתבדר אז \sum_{n=1}^\infty a_n מתבדר ואם \sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס אז \sum_{n=1}^\infty b_n מתכנס (אבל ההפך אינו בהכרח נכון).

טורי טיילור ומקלורן של פונקציות נפוצות

להלן מספר טורי טיילור ומקלורן של פונקציות נפוצות.

  • אקספוננט: \mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\forall x


  • לוגריתם טבעי: \ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1
    נשים לב שנוכל להציב x=-1 ונקבל טור את הטור ללא (-1)^{n-1} ועם מינוס על כולו.


  • סדרה הנדסית (טור גאומטרי): \frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ for } \left| x \right| < 1


  • סינוס: \sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \pm \cdots \quad\forall x


  • קוסינוס: \cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \cdots \quad\forall x

הודעות

  • זה דף שנוצר ומתוחזק על ידי יובל בר - סטודנט שנה א' - לא דף של הסגל ולא מקושר אל הסגל.

פינת הפתגמים המעודדים

  • יויו אקסטרים זה לא ספורט
  • תירס בפחית זה אחד השימורים היותר טובים
  • חצי ים המלח לא שלנו, החצי השני של האחים עופר
  • אפילו אם לא הולך לכם בשאלה מסוימת, העיקר זה להבין את זה ולוותר
  • עדיף לנסות לדוג כל היום ולהצליח רק פעם בשנה מללמוד מתמטיקה
  • שום דבר אינו יכול לעמעם את האור שזורח מבפנים
  • יהי \varepsilon >0, כעת מתקיים \forall_{taalool}\exists_{N\in \mathbb{N}}:\forall_{n\ge N}:\left| taalool_n-gvool \right|\le \varepsilon
  • כדי למנוע כאבי ידיים ועיניים במהלך הלימודים, השתמשו בחוק ה20, 20, 20:
    כל 20 דקות הסתכלו על משהו במרחק 20 מטר ותבלו 20 שנה ביערות.
  • מטריצה מתכנסת במ"ש היא פיתוח טיילור של טור ז'ורדן המתכנס בוקטורים העצמיים.

חומר עזר


הרצאות מוקלטות של פרופ' בועז צבאן

הערוץ יוטיוב של פרופ' צבאן

  1. לא היה
  2. שימושי טיילור
  3. אינטגרלים לא מסוימים
  4. המשך אינטגרלים
  5. אינטגרל של פונקציה רציונלית
  6. האינטגרל המסוים
  7. אינטגרל עליון ותחתון
  8. שוב אינטגרל עליון ותחתון
  9. אינטגרל מסוים, כיסויים וקבוצות אפסיות

בבנייה

חידות

תודה לרועי תורג'מן על החידות

  1. יהיו 2 מספרים טבעיים m,l\in\mathbb{N}.
    חשבו את גבול הסדרה:
    \displaystyle {}{a_n=\frac{\displaystyle{}\sum ^{m}_{k=1}k^n}{\displaystyle {}L^n}}
  2. תהי פונקציה חיובית וחסומה f הגזירה אינסוף פעמים.
    נתון שנגזרותיה חסומות באופן אחיד ב\mathbb{R}.
    חשבו את הגבולות הבאים:
    • \displaystyle \lim_{x\to\infty }f^{(2022)}(x)
    • \displaystyle \lim_{x\to\infty }xf'(x)
    • \displaystyle \forall_{k\in\mathbb{N}}:\lim_{x\to\infty }x\ln(x)f^{(k)}(x)


תרגולים

תרגולים של הדר:

  1. טורי טיילור ומקלורן
  2. סיום טורי טיילור + אינטגרל לא מסויים: שיטת ההצבה ואינטגרציה בחלקים
  3. אינטגרל לא מסויים: פונקציות רציונליות + הצבות מיוחדות
  4. אינטגרל מסויים לפי רימן + אינטגרל מסויים לפי דרבו
  5. סיום אינטגרל רימן/דרבו + למת העידון + קבוצות אפסיות
  6. תכונות האינטגרל המסויים + המשפט המסויים של החשבון האינפיניטסימלי
  7. שיטות אינטגרציה לאינטגרל מסויים + אינטגרלים לא אמיתיים סוג ראשון
  8. מבחן דריכלה להתכנסות אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון + אינטגרלים לא אמיתיים מסוג שני
  9. סדרות פונקציות + הגדרת טורי פונקציות
  10. טורי פונקציות + אינטגרציה וגזירה איבר איבר

פתרונות מבחנים

ע"י לירן מנצורי ויונתן סמידוברסקי

  1. פתרון מבחן 2010, מועד א'
  2. פתרון מבחן 2010, מועד ב'
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-133_תשפ%22ב_סמסטר_ב/תיכוניסטים&oldid=89225