שינויים

*קבוצות הן שוות אם הן מכילות את אותם האיברים. הדרך הנפוצה להוכיח שיוויון הינה '''הכלה דו כיוונית''': A=B אם ורק אם <math>(A\subseteq B) \and (B \subseteq A)</math>. *A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A \setminus B \iff (x\in A) \and (x\notin B)</math>. *'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\Delta B</math>). מתקיים ש <math>x\in A\Delta B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A)) \iff x\in (A\cup B) \smallsetminus (A\cap B)</math> דוגמא: יהיו <math>A=\{1,2,\{1\}\},B=\{1,\{2\}\},C=\{2,\{1,2\}\}</math> קבוצות. אזי: <math>A\cup B =\{1,2 ,\{1\},\{2\}\} </math> <math>(A\cup B)\cap C =\{2\} </math> <math> B \cap C = \emptyset</math> <math>C \smallsetminus A =\{\{1,2\}\}</math> <math> B \Delta C = B \cup C</math>

*A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A/B \iff (xDelta C = \in A) {1,\{1\},\{1,2\and (x}\notin B)}</math>.

כעת, מתוך הטאוטולוגיה <math>(p\and q)\or r \iff (p\or r)\and(pq\or r)</math> קל להשיג את השקילות למה שצריך.(הערה: ניתן להשתכנע בקלות בטאוטולוגיה באופן הבא: אם r=1 אזי נשאר עם הטאוטולוגיה<math>1\iff 1</math> אם r=0 אזי נשאר עם הטאוטולוגיה<math>(p\land q)\iff (p)\land (q)</math>)

הערה: שימו לב שעל מנת להוכיח שקבוצה A אינה מוכלת בקבוצה B, יש להראות כי '''קיים''' איבר בA שאינו שייך לB. אם היינו משתמשים בפסוק "כל האיברים בA אינם בB" היינו מקבלים שהקבוצה הריקה כל לא מוכלת בכל קבוצה, וגם אינה מוכלת בכל קבוצה.

====תרגיל====הוכח כי <math>A\cup _{i\in I} A_i :cap (B/C)= (A\{x| \exist i\in I :x\in A_i cap B) / (A\} cap C)</math>

<math>\cap _{i\in I} A_i פתרו:= \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} </math>

דוגמאדרך גרירות לוגיות:

נגדיר <math>x\forall nin A\cap (B/C)\iff (x\in A) \mathbb{N} and [(x\; A_n:=in B) \and (x\notin C)]\iff [n,n+1(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)]</math> אזי

===תרגיל===הוכח כי <math>\iff [(x\in A) \cap and (x\in B/)]\and [(x\notin C)=\or(x\notin A)]\iff [(x\in A) \and (x\cap in B) / ]\and \neg [(Ax\cap in C)\and(x\in A)] </math>

(<math>\iff [(x\in Asubseteq</math>) \and (נניח <math>x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff\iff [cap(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in backslash C)\and(x\in A)] </math>אזי

<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math><math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow </math>(כי אם <math>x\in C</math> אזי <math>x\in A\cap C</math> סתירה)<math>x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow </math>   ===תרגילהכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===נתונות '''מוטיבציה:''' הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד יותר קבוצות, לדוגמא נרצה לדבר על חיתוכן של 17 הקבוצות <math>A=A_1,A_2,\ldots,A_{2m+17}</math>. מכיוון שחיתוך ואיחוד הן פעולות אסוציטיביות, ניתן לרשום <math>A_1\cap A_2\cap \ldots\cap A_{17}</math>, וזה ביטוי חד משמעי. אך צורת רישום זו היא ארוכה, ולכן אנו מסמנים את החיתוך הזה בקיצור הבא: <math>\bigcap _{i=1} ^{17} A_i</math>. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד אוסף אינסופי של קבוצות, ולכך באה ההכללה הבאה:m '''הגדרה:'''יהיו <math>\{A_i\}_{i\inI}</math> אוסף קבוצות כאשר <math>I</math> הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך:  <math>\mathbbbigcup _{Zi\in I}A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \}</math>, ו  <math>B\bigcap _{i\in I} A_i :=\{2m+3x| \forall i\in I :mx\in A_i \} </math>. כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים <math>I</math> לא ריקה. דוגמא: נגדיר <math>\forall n\in\mathbb{ZN}\; A_n:=[n,n+1]</math> אזי  <math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i = [ 1,\infty ) </math> <math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \phi </math> ==== תרגיל ====לכל n>1 טבעי נגדיר <math>A_n</math> להיות קבוצת כל הראשוניים המחלקים את n. הוכח שA חשבו את *<math>A_{12}\cap A_{10}</math>*<math>\cup_{n=2}^{15} A_n</math>*<math>\cap_{n=2}^5 A_{6n}</math>*<math>\bigcup _{i=2}^\infty A_i</math>*<math>\bigcup _{i=1}^\infty A_{2^i}</math> ==== תרגיל (הכללת פילוג)====יהיו <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות, Bקבוצה.הוכיחו כי <math>(\bigcup _{i\in I} A_i)\cap B= \bigcup _{i\in I} (A_i\cap B) </math> פתרון: יהא <math>x\in (\bigcup _{i\in I} A_i)\cap B</math> אזי <math>x\in B</math> וגם <math>x\in (\bigcup _{i\in I} A_i)</math> לכן <math>x\in B</math> וגם <math>\exist i\in I :x\in A_i</math> ולכן <math>x\in A_i\cap B</math> ומכאן ש <math>x\in \bigcup _{i\in I} (A_i\cap B)</math> בכיוון שני: יהא <math>x\in \bigcup _{i\in I} (A_i\cap B)</math> ולכן <math>\exist i\in I :x\in A_i\cap B</math> לכן <math>x\in B</math>וגם <math>x\in A_i</math> לכן <math>x\in B</math> וגם <math>x\in (\bigcup _{i\in I} A_i)</math> ולכן <math>x\in (\bigcup _{i\in I} A_i)\cap B</math>

'''הגדרה'''תכונות בסיסיות: תהי קבוצה U, ונביט בתתי קבוצות שלה * <math>A. ניתן להגדיר את ה'''משלים''' של \cup A כאוסף האיברים בU שאינם בA (ההפרש), מסומן ^c = U</math>A* <math>\emptyset^c= U</math>. לא ניתן לדבר על משלים אוניברסאלי ללא * <math>U מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם ^c = \emptyset</math>* <math>(אחרת נגיד לסתירות כמו פרדוקס ראסלA^c).^c = A</math>

ג. נניח בשלילה ש<math>P(A)\cap P(B)\neq \{\phi\}</math>. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה <math>\phi \not=C המוכלת בחיתוך</math> השייכת לחיתוך <math>P(A)\cap P(B)</math>. קבוצות החזקה הן אוסף תתי הקבוצות, ולכן <math>C\subseteq A \and C\subseteq B</math>. מכיוון שC אינה ריקה קיים בה איבר <math>\exists c\in C</math> וקל מאד לראות ש<math>(c\in A)\and (c\in B) </math> ולכן c מוכל בחיתוך בסתירה לכך שהחיתוך ריק.