הבדלים בין גרסאות בדף "88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5"

גרסה מ־19:37, 25 ביולי 2013

המשך פונקציות

הגדרה. תהי $f:X\rightarrow Y$ פונקציה, ויהיו תת קבוצות $A\subseteq X,B\subseteq Y$ . אזי $f(A)=\{f(a)|a\in A\}$ , $f^{-1}(B)=\{a\in A|f(a)\in B\}$ .

שימו לב שהסימון $f^{-1}(B)$ אינו רומז בשום צורה שהפונקציה צריכה להיות הפיכה, הגדרה זו תקפה לכל פונקציה.

תרגיל. הוכח/הפרך: תהא $f:X \to Y, \; A,B \subset X$ אזי $f(A)\cap f(B)=f(A\cap B)$

פתרון.

נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים $x\neq y$ כך ש $f(x)=f(y)$ . ניקח $A=\{x\},B=\{y\}$ אזי:

$f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)$

תרגיל. תהי $f:X\rightarrow Y$ ותהי $A\subseteq X$ . הוכח $A \subseteq f^{-1}(f(A))$ . וקיים שיוויון אם $f$ חח"ע

פתרון.

יהא $a\in A$ אזי $f(a)\in f(A)$ ולכן $a\in f^{-1}(f(A))$ .

נראה את ההכלה בכיוון השני אם $f$ חח"ע:

יהא $x\in f^{-1}(f(A))$ לכן $f(x) \in f(A)$ לכן $\exists a\in A : f(x)=f(a)$ . כיוון ש $f$ חח"ע נובע כי $x=a\in A$

תרגיל. תהי $f:X\rightarrow Y$ ותהי $A\subseteq Y$ . הוכח $f(f^{-1}(A)) \subseteq A$ . וקיים שיוויון אם $f$ על

פתרון.

יהא $f(x) \in f(f^{-1}(A))$ כאשר $x\in f^{-1}(A)$ ולכן $f(x)\in A$ .

נראה את ההכלה בכיוון השני אם $f$ על:

יהא $a\in A$ כיוון ש f על $\exists x\in X : f(x)=a$ לכן $x\in \in f^{-1}(A)$ . ואז $a=f(x)\in f(f^{-1}(A))$

תרגיל ממבחן (קצת משודרג).

יהיו $X,Y$ שתי קבוצות, ותהי $f:X\rightarrow Y$ פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה $g:P(Y)\rightarrow P(X)$ על ידי $g(B)=f^{-1}(B)$ . בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח).

פתרון.

1. f על אמ"מ g חח"ע בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח $f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)$ נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) $B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A($

בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי $\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y$ לכן $g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\}=g(Y/\{y\})$ בסתירה לחח"ע של g.

2. f חח"ע אמ"מ g על בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי $g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A$ ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה $f(A)$ )

בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים $x,y \in X$ שונים כך ש $f(x)=f(y)$ . נביט בנקודון $A=\{x\}$ כיוון ש g כלקיימת $B\in P(Y)$ כך ש $f^{-1}(B)=g(B)=A$ לכן $B\subseteq f(f^{-1}(B)) = f(A)= \{f(x)\}$ כיוון ש B אינה ריקה נקבל ש $B=\{f(x)\}$ לכן $\{x\}=A=g(B)=f^{-1}(B)=f^{-1}(\{f(x)\})\supseteq \{x,y\}$ . ולכן $x=y$ . סתירה.

מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות:

ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1)

יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2)

ייתכן ו-f על אך g אינה כזו (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2)

ייתכן ו-g על אך f אינה כזו (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1)

אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל

למשל: יהיו $X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}$ . אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן $g(\{\})\neq g(\{0\})$ ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.

הגדרה. תהי $f:X\rightarrow Y$ ותהי $A\subseteq X$ . הפונקציה f מצומצמת לA מוגדרת על ידי: $f|_A:A\rightarrow Y$ כך ש $f|_A(a)=f(a)$ .

דוגמא. נביט ב $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ המוגדרת על ידי $f(x)=x^2$ ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת $f|_{\mathbb{N}}$ כן חח"ע.

תרגיל. תהי $f:X\rightarrow Y$ פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש $f|_A$ חח"ע

פתרון.

פייי זו שאלה קשה. תזכירו לנו אותה כאשר נגיע לאקסיומת הבחירה. (שכן נביט ב $\{f^{-1}(\{y\})|y\in Y\})$ ונרצה לבחור איבר יחיד מבין כל קבוצה כזו. אקסיומת הבחירה היא זו המאפשרת לנו לבצע בחירה זו בשלום.)

הגדרה. תהי $f:A\rightarrow A$ , ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי f מוגדרת היטב על $A/R$ אם $\forall a,b\in A:(a,b)\in R\rightarrow (f(a),f(b)\in R$

תרגיל מוטיבציה להגדרה לעיל.

המוטיבציה להגדרה הזו היא היכולת לגזור ממנה פונקציה על חבורת המנה. נגדיר יחס על חבורת המנה $g=\{([a],[f(a)])|a\in A\}$ . נוכיח ש-g הינה חד-ערכית ולכן פונקציה.

הוכחה

נניח וקיימים $a,b\in A$ כך ש $[a]=[b]$ . לכן $(a,b)\in R$ ולכן $(f(a),f(b))\in R$ ולכן $[f(a)]=[f(b)]$ . לכן לא ייתכן מצב בו $(x,y),(x,z)\in g$ אבל $y\neq z$ .

דוגמא. האם הפונקציה f על הרציונאליים המוגדרת על ידי $f(\frac{p}{q})=p$ מוגדרת היטב?

פתרון.

יש לשים לב שלא באמת הגדרנו את הפונקציה על הרציונאליים, אלא על אוסף הזוגות הסדורים של שלמים $(p,q)$ כך שהאיבר הימני שונה מאפס. נגדיר על קבוצה זו את יחס השקילויות R המוגדר על ידי $((p,q),(a,b))\in R$ אם $pb=qa$ . נראה כי f אינה מוגדרת היטב בתנאים אלו:

$((2,6),(1,3))\in R$ אולם $f(2,6)=(2,1),f(1,3)=(1,1)$ ו $((2,1),(1,1))\notin R$ .

בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.

@@ שורה 26: / שורה 26: @@
 נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> חח"ע:
 יהא <math>x\in f^{-1}(f(A))</math> לכן  <math>f(x) \in f(A)</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math>
+'''תרגיל.'''
+תהי <math>f:X\rightarrow Y</math>  ותהי <math>A\subseteq Y</math>. הוכח <math>  f(f^{-1}(A)) \subseteq A</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> על
+'''פתרון.'''
+יהא <math>f(x) \in f(f^{-1}(A))</math> כאשר <math>x\in f^{-1}(A)</math> ולכן <math> f(x)\in A </math>.
+נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> על:
+יהא <math> a\in A </math> כיוון ש f על  <math>\exists x\in X : f(x)=a  </math> לכן <math> x\in  \in f^{-1}(A) </math>. ואז <math>a=f(x)\in f(f^{-1}(A)) </math>
@@ שורה 45: / שורה 58: @@
 . ''' f חח"ע אמ"מ g על '''
 בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי <math>g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A</math> ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה <math>f(A)</math> )
 בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים <math>x,y \in X</math> שונים כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. נביט בנקודון <math>A=\{x\}</math> כיוון ש g כלקיימת <math>B\in P(Y)</math>
 כך ש <math>f^{-1}(B)=g(B)=A</math> לכן <math>B\subseteq f(f^{-1}(B)) = f(A)= \{f(x)\} </math> כיוון ש B אינה ריקה נקבל ש <math>B=\{f(x)\} </math>

הבדלים בין גרסאות בדף "88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5"

גרסה מ־19:37, 25 ביולי 2013

המשך פונקציות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים