הבדלים בין גרסאות בדף "88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏פונקציה מצומצמת)
(←‏פונקציה מצומצמת)
שורה 101: שורה 101:
  
 
נגדיר לכל <math>y\in im(f)</math> את הקבוצה של המקורות שלו <math>B_y:=f^{-1}(\{y\})</math>
 
נגדיר לכל <math>y\in im(f)</math> את הקבוצה של המקורות שלו <math>B_y:=f^{-1}(\{y\})</math>
−
כעת נבחר מכל <math>B_y</math> איבר יחיד <math>x_y\in B_y</math>. נגדיר <math>A=\{x_y \colon y\in im (f)\}</math>. כיוון שבחרנו מקור '''לכל''' תמונה, ובחרנו מקור '''אחד''' אזי <math>f|_A</math> חח"ע עם אותו טווח של <math>f</math>.
+
כעת נבחר מכל <math>B_y</math> איבר יחיד <math>x_y\in B_y</math>. נגדיר <math>A=\{x_y | y\in im (f)\}</math>. כיוון שבחרנו מקור '''לכל''' תמונה, ובחרנו מקור '''אחד''' אזי <math>f|_A</math> חח"ע עם אותו טווח של <math>f</math>.
  
 
'''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
 
'''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)

גרסה מ־09:50, 29 ביולי 2014

חזרה למערכי התרגול

המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצות

תמונות חלקיות

הגדרה. תהי f:X\rightarrow Y פונקציה, ויהיו תת קבוצות A\subseteq X,B\subseteq Y. אזי התמונה החלקית של A תחת f היא התת-קבוצה f(A)=\{f(a)|a\in A\}, והתמונה החלקית ההפוכה של B תחת f היא התת-קבוצה f^{-1}(B)=\{a\in A|f(a)\in B\}.

שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה f^{-1}(B) לבין הפונקציה ההופכית f^{-1}(y). התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא איבר של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו y \in Y) או שנמצאת תת-קבוצה של התמונה (בדוגמאות לעיל זו B\subseteq Y).


תרגיל. הוכח/הפרך: תהיינה A,B \subseteq X ותהי f פונקציה f:X \to Y. אזי f(A)\cap f(B)=f(A\cap B)

פתרון.

נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים x\neq y כך ש f(x)=f(y). ניקח A=\{x\},B=\{y\} אזי:

f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)


תרגיל. תהי f:X\rightarrow Y ותהי A\subseteq X. הוכח A \subseteq f^{-1}(f(A)). וקיים שיוויון אם f חח"ע

פתרון.

יהא a\in A אזי f(a)\in f(A) ולכן a\in f^{-1}(f(A)).

נראה את ההכלה בכיוון השני אם f חח"ע:

יהא x\in f^{-1}(f(A)) לכן f(x) \in f(A) לכן \exists a\in A : f(x)=f(a). כיוון ש f חח"ע נובע כי x=a\in A


תרגיל. תהי f:X\rightarrow Y ותהי A\subseteq Y. הוכח f(f^{-1}(A)) \subseteq A. וקיים שיוויון אם f על

פתרון.

יהא f(x) \in f(f^{-1}(A)) כאשר x\in f^{-1}(A) ולכן f(x)\in A .

נראה את ההכלה בכיוון השני אם f על:

יהא a\in A כיוון ש f על \exists x\in X : f(x)=a לכן x \in f^{-1}(A) . ואז a=f(x)\in f(f^{-1}(A))


תרגיל ממבחן (קצת משודרג).

יהיו X,Y שתי קבוצות, ותהי f:X\rightarrow Y פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה g:P(Y)\rightarrow P(X) על ידי g(B)=f^{-1}(B). בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח).

פתרון.

1. f על אמ"מ g חח"ע בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A) נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A

בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי \exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y לכן g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\})=g(Y/\{y\}) בסתירה לחח"ע של g.


2. f חח"ע אמ"מ g על בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה f(A) )

בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים x,y \in X שונים כך ש f(x)=f(y). נביט בנקודון A=\{x\}

כיוון ש g על קיימת B\in P(Y) כך ש f^{-1}(B)=g(B)=A

לכן \{f(x)\}= f(A)= f(f^{-1}(B))\subseteq B

ולכן \{y,x\}\subseteq f^{-1}(\{f(x)=f(y)\})= f^{-1}(\{f(x)\}) \subseteq f^{-1}(B)=g(B)=A=\{x\}

לכן \{y,x\}\subseteq \{x\} כלומר x=y. סתירה.

מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות:

  • ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1)
  • יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2)
  • ייתכן ו-f על אך g אינה כזו (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2)
  • ייתכן ו-g על אך f אינה כזו (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1)

אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל

למשל: יהיו X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן g(\{\})\neq g(\{0\}) ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.

פונקציה מצומצמת

הגדרה. תהי f:X\rightarrow Y ותהי A\subseteq X. הפונקציה f מצומצמת לA מוגדרת על ידי: f|_A:A\rightarrow Y כך ש-f|_A(a)=f(a).

דוגמא. נביט ב-f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} המוגדרת על ידי f(x)=x^2 ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת f|_{\mathbb{N}} כן חח"ע.


תרגיל. תהי f:X\rightarrow Y פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש-f|_A חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר im(f|_A)=im(f)).

פתרון.

נגדיר לכל y\in im(f) את הקבוצה של המקורות שלו B_y:=f^{-1}(\{y\}) כעת נבחר מכל B_y איבר יחיד x_y\in B_y. נגדיר A=\{x_y | y\in im (f)\}. כיוון שבחרנו מקור לכל תמונה, ובחרנו מקור אחד אזי f|_A חח"ע עם אותו טווח של f.

אזהרה! ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)

פונקציות המכבדות יחס שקילות

הגדרה. תהי f:A\rightarrow B, ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי f מוגדרת היטב על A/R אם \forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)

כלומר אם a שקול ל b אזי f(a)=f(b).

למה זה טוב? כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה g:A/R \to B ע"י [a]_R \mapsto f(a)

באופן מפורש g=\{([a],f(a))|a\in A\}.

טענה: g אכן פונקציה

הוכחה:

1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.

2. g חד ערכית- נניח [a]=[b], צ"ל g([a])=g([b]). מהנתון ש [a]=[b] נובע ש (a,b)\in R, ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים f(a)=f(b), ולפי הגדרת g מתקיים g([a])=f(a)=f(b)=g([b]).


דוגמא לחידוד האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי f\bigg(\frac{p}{q}\bigg)=p מוגדרת היטב?

פתרון לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של \mathbb{Z}\times \mathbb{N}. לפי היחס שהגדרנו מתקיים \frac{1}{3}=\frac{2}{6} אבל לא מתקיים f\bigg(\frac{1}{3}\bigg)=1\not=2=f\bigg(\frac{2}{6}\bigg)

במילים: לא ברור לאן f שולחת את השבר שליש!

הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-195_בדידה_לתיכוניסטים_תשעא/מערך_שיעור/שיעור_5&oldid=42809