שינויים

לכל קבוצה סופית בעלת n איברים, נאמר שעוצמתה הינה n.למשל <math>|\{1,2,3\}|=|\{1,5,100\}|</math>

'''===תרגיל''' ===הוכח כי עוצמת <math>\mathbb{N}</math> שווה ל -<math>\mathbb{N}\cup\{0\}</math>

=== תרגיל ===הוכיחו כי <math>|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\emptyset\}|</math> פתרון: נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\emptyset\} </math> ע"י <math>\{n\}\mapsto \{n+1\},\emptyset \mapsto \{1\}</math> וכל B שאינה נקודות ואינה קבוצה ריקה נשלחת לעצמה. === תרגיל ===נסמן <math>A=\{\{n\}\mid n\in \mathbb{N}\}</math> קבוצת הנקודונים הטבעיים. הוכיחו כי <math>|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-A|</math> פתרון: נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})-A\to P(\mathbb{N}) </math> ע"י <math>\{2n,4n\}\mapsto \{n,2n\},\{2n-1,2(2n-1)\}\mapsto \{n\}</math> וכל B שאינה מהצורה <math>\{k,2k\}</math> נשלחת לעצמה. === תרגיל ===תהא <math>A</math> קבוצה . הוכיחו כי <math>|A^{\mathbb{N}}\times A^{\mathbb{N}}|=|A^{\mathbb{N}}|</math> פתרון: נגדיר פונקציה <math>F:A^{\mathbb{N}}\times A^{\mathbb{N}}\to A^{\mathbb{N}} </math> ע"י <math>(f,g)\mapsto \{(2n,f(n)),(2n-1,g(n))\mid n\in \mathbb{N}\}</math>  '''הערהטענה.''' אם A קבוצה וR יחס שקילויות על הקבוצה אזי עוצמת קבוצת המנה קטנה או שווה לעוצמה של A.  הוכחה: נגדיר <math>f:A\to A/R </math> ע"י <math>f(a)=[a]_R</math>. הפונקציה על ולכן <math> |A/R|\leq |A| </math> '''טענה''' אם <math>|A|=|A'|,\;\; |B|=|B'|</math> אזי <math>|A\times B|=|A'\times B'|</math> הוכחה: קיימות פונקציות חח"ע ועל <math>f_1:A\to A'.\;\;f_2:B\to B'</math> נגדיר פונקציה <math>f:A\times B \to A'\times B'</math> ע"י <math>(a,b)\mapsto (f_1(a),f_2(b))</math>כיוון ש <math>f_1,f_2</math> חח"ע ועל גם <math>f</math> כזאת. למשל <math>|\mathbb{N} \times \{1,2,3\}|=|(\mathbb{N}\cup\{0\}) \times \{1,5,100\}|</math> '''הערה'''אם נסתכל על קבוצה של קבוצות ניתן להגדיר עליה יחס "עוצמות שוות" והוא יהיה יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. אם עם זאת, לא ניתן להגדיר יחס זה על כל הקבוצות כולם בשל הסיבה שלא קיימת קבוצת כל הקבוצות.

'''=== תרגיל===תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה קווית לא סופית.נגיד שתת קבוצה <math>X</math> של <math>A</math> היא תת קבוצה יורדת אם מתקיים<math>\forall a\in A\forall x\in X \,(a<x) \to (a\in X)</math> (כאשר הסימון <math>a<x</math> פירושו ש <math>a\leq x</math> וגם <math>a\neq x</math> נסמן ב <math>D</math> את קבוצת כל תתי הקבוצות היורדות של <math>A</math> האם <math>|A|=|D|</math> ? פתרון: אמרו לי שכן. למה? כי נגדיר פונקציה <math>f:A\to D</math> המוגדרת ע"י <math>f(x)=\{a\in A\mid a<x\}</math> והיא חח"ע ועל. #מצאו את הטעות בהוכחה. # האם ואיך אפשר לתקן את הפתרון המוצע? ===תרגיל ===תהא A קבוצה. הוכח כי <math>|A|\leq |P(A)|</math> פתרון: נגדיר את הפונקציה <math>f:A|\to P(A)</math> ע"י <math>a \mapsto \{a\}</math> היא חח"ע. תהא A קבוצה. הוכח כי <math>|A|\neq |P(A)|</math> פתרון: נניח בשלילה כי <math>|A|= |P(A)|</math> אזי קיימת <math>f: A\to P(A)</math> הפיכה, בפרט על. נגדיר <math>X=\{a\in A: a\notin f(a)\}</math>. זוהי תת קבוצה של A ולכן, מכיוון ש f על, קיים <math>x\in A</math> כך ש <math>f(x)=X</math>. האם <math>x\in X</math>? אם לא, לפי הגדרת X נקבל כי <math>x\notin f(x)=x</math> סתירה. אם כן אז <math>x\in X=f(x)</math> אבל לפי הגדרת X מתקיים <math>x\notin f(x)</math> סתירה. משל ===תרגיל ===נגדיר <math>A=\{f: \{1,2,3\}\to \{1,2,3,4,5\} : f \text{ is a function}\}, B=\{(x,y,z): 1\leq x,y,z \leq 5\}</math> הוכח כי A ו B שוות עוצמה פתרון: נגדיר פונצקיה <math>F:A\to B</math> ע"י <math>f\mapsto (f(1),f(2),f(3))</math>. הוכיחו/השתכנעו/נסביר <math>F</math> חח"ע ועל ===תרגיל ===הוכיחו כי <math>|A\times A| = |A^{\{1,2\}}|</math> פתרון: הפונקציה <math>F:A^{\{1,2\}}\to A\times A</math> המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2))</math> הפיכה. === תרגיל ===הוכיחו כי אם <math>|A|=|B|</math> אזי <math>|P(A)|=|P(B)|</math> פתרון: מניחים כי קיימת <math>f:A\to B</math> הפיכה. נגדיר <math>g:P(A)\to P(B)</math> ע"י <math>A'\mapsto f[A'']</math> הפיכה. האם הכיוון ההפוך נכון? אם ידוע <math>|P(A)|=|P(B)|</math> האם ניתן להסיק כי <math>|A|=|B|</math>? === תרגיל חשוב! ===תהא <math>X,Y</math> קבוצות. הוכיחו כי <math>P(Y)^{X}</math> שקולת עוצמה ל <math>P(X\times Y)</math>תשובה: יש לקחת <math>F(f)=\{(x,y)|y \in f(x)\}</math> === תרגיל ===נגדיר <math>A=\{f\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\mid \forall n\in \mathbb{N}: \,f(n)<f(n+1)\}</math> הוכיחו כי אם <math>|A|=|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|</math>  פתרון: נגדיר פונקציה <math>F:A\to \mathbb{N}^{\mathbb{N}}</math> ע"י <math>F(f)(n)=\begin{cases} f(n)-f(n-1) & \text{if }n>1\\f(1) & \text{if }n=1\end{cases}</math> נוכיח כי F חח"ע ועל.  חח"ע: נניח <math>F(f_1)=F(f_2)</math> אזי <math>f_1(1)=F(f_1)(1)=F(f_2)(1)=f_2(1)</math> ואז מהשיוויון <math>f_1(2)-f_1(1)=F(f_1)(2)=F(f_2)(2)=f_2(2)-f_2(1)</math> נקבל כי <math>f_1(2)=f_2(2)</math> כעת נניח כי <math>f_1(n)=f_2(n)</math> ונוכיח שיוויון בקלט <math>n+1</math>. אכן מהשיוויון <math>f_1(n+1)-f_1(n)=F(f_1)(n+1)=F(f_2)(n+1)=f_2(n+1)-f_2(n)</math> נצמצם את ההנחה כי <math>f_1(n)=f_2(n)</math> ונקבל כי <math>f_1(n+1)=f_2(n+1)</math> על: תהא <math>g\in \mathbb{N}\to \mathbb{N}</math> נמצא לה מקור. נגדיר <math>f(n)=\sum_{k=1}^ng(k)</math> ואז <math>F(f)(n)=\begin{cases} f(n)-f(n-1)=g(n) & \text{if }n>1\\f(1)=g(1) & \text{if }n=1\end{cases}</math> ולכן <math>F(f)=g</math> שאלה: מה היה קורה אם היינו מגדירים את A בעזרת קטן שווה ולא קטן ממש? כלומר  נגדיר <math>A=\{f\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\mid \forall n\in \mathbb{N}: \,f(n)\leq f(n+1)\}</math> האם <math>|A|=|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|</math> ? == עוצמת הטבעיים =====תרגיל.===

'''===טענה.''' אם A קבוצה וR יחס שקילויות על הקבוצה אזי עוצמת קבוצת המנה קטנה או שווה לעוצמה של A. נוכיח טענה זו בהמשך הקורס באמצעות אקסיומת הבחירה.=== '''טענה.''' מתקיים ש <math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|</math>.

=== <math>\aleph_0 \cdot \aleph_0=\aleph_0</math> ==='''משפט (קנטור- שרדר-ברנשטיין)הגדרה''' אם * העוצמה של הטבעיים מסומנת <math>|B|\leq|A|aleph_0</math> וגם * קבוצה A המקיימת <math>|A|\leq|B|\aleph_0 </math> אז <math>|B|=|A|<נקראת '''בת מנייה''' (מקור השם כי ניתן למנות/math>למספר את האיברים בה ע"י התאמה חח"ע ועל מהטבעיים במקרה האין סופי או במקרה הסופי פשוט למספר עד n )

'''טענה.''' מתקיים ש <math>|B=\mathbb{Z}|=2n-1 |n\in \mathbb{ZN}\times \mathbb{Z}|</math>. תרגיל בית.קבוצת האי זוגיים היא בת מנייה

נביט באוסף הזוגות הסדורים בהם האיבר הימני שונה מאפס. קבוצה זו מוכלת באוסף כל הזוגות ולכן עוצמתה קטנה מעוצמת השלמים. נחלק אוסף זה ביחס השקילות <math>(a,b)~(x,y) \iff ay=bx</math> ונקבל קבוצה מעוצמה אף קטנה יותר. קבוצת המנה שקיבלנו היא כמובן הוכחה : נגדיר פונצקיה <math>f:\mathbb{QN}\to B </math> ולכן קיבלנו ש ע"י <math>|n\mathbb{Q}|\leq |\mathbb{Z}|mapsto 2n-1</math>.

עוצמתן של הקבוצות הנהוכחה: נגדיר <math>f:B\times C\to \mathbb{N}</math> ע"ל נקראת י <math>(x,k)\mapsto x\aleph_0cdot 2^k</math>. קבוצות מעוצמה זו נקראות '''בנות מנייה'''.

שימו לב שכל קבוצה בת מנייה, ניתן למצוא פונקציה טענה: f חח"ע ועל מהטבעיים אליה - כלומר, ניתן לסדר אותה בסדרה (ומכאן מגיע השם).

הוכחה נניח <math>f(x_1,k_1)==השוואות עוצמות=='''תרגיל.''' נביט באוסף כל הסדרות הבינאריות f(01110010101011011...x_2,k_2). נתאר אוסף זה באופן מדוייק: </math>B=אזי <math>x_1 \cdot 2^{f:\mathbb{Nk_1}=x_2 \rightarrow \cdot 2^{0,1\}\k_2}</math>. השווה בין העוצמה של B לבין אלף אפס.

לכן עוצמת B גדולה נקבל כי<math>x_1 =x_2 \cdot 2^{k_2-k_1}</math>. כעת צד שמאל לא מתחלק ב 2 (כי <math>x_1</math> אי זוגי) ולכן גם אגף ימין לא מתחלק ב -2. הדבר יכול לקרות רק אם <math>k_2-k_1=0</math> או שווה לאלף אפסבמילים אחרות <math>k_1=k_2</math>. נוכיח כעת קיבלנו גם כי היא גדולה ממש<math>x_1=x_2</math> ולכן בס"ה <math>(x_1,k_1)=(x_2,k_2)</math>.

נניח בשלילה שקיימת פונקציה g חח"ע ועל מהטבעיים אל B. לכן ניתן "לסדר" את כל הסדרות אחת אחרי השנייהטענה:f על

הוכחה: יהא n טבעי. יהיה <math>g(k\in C</math> כך ש <math>2^k</math> מחלק את n ואילו <math>2^{k+1)=0101010110110101001000100101...}</math>אינו מחלק את n. כלומר החזקה הגדולה ביותר של 2 בפירוק של n למכפלת ראשונים זרים.

מהגדרת k נובע כי <math>g\frac{n}{2^k}</math> אי זוגי (כי אחרת הוא זוגי ואז 2)=1101010001010010100010101010...מחלק את המספר ואז <math>2^{k+1}</math>מחלק את n. סתירה).

לפי הגדרת f רואים כי <math>g(3\frac{n}{2^k},k)=0101010101011101010001010111...</math>מקור ל n. וסיימנו.

נבנה סדרה בינארית שקיימת בB אך לא ייתכן שהיא מתקבלת על ידי הפונקציה g (כלומר היא אינה בסדרה, בסתירה)פתרון: באינדוקציה.בסיס: ברור. צעד: <math>|\mathbb{N}^{n+1}=|\mathbb{N}^n\times \mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=|\mathbb{N}|</math>

נגדיר את הפונקציה f שנותנת את הסדרה ==משפט קנטור- שרדר-ברנשטיין==אם <math>|B|\forall nleq|A|</math> וגם <math>|A|\in\mathbb{N}:f(n)leq|B|</math> אז <math>|B|= \neg g(n)_n|A|</math>. כלומר לקחנו סדרה שהאיבר הראשון שלה שונה מהאיבר הראשון של הסדרה הראשונה, האיבר השני שונה מהאיבר השני של הסדרה השנייה וכן הלאה.

בדוגמא לעיל הסדרה תתחיל בשלושת האיברים ===תרגיל===<math>101|\mathbb{Q}|=\aleph_0</math> ולכן בוודאי לא תהיה אף אחת משלוש הסדרות הראשונות.

באופן כללי, לא ייתכן שסדרה זו נמצאת במקום k כלשהו בסדרת הסדרות, כי האיבר ה-k שלה שונה מהאיבר ה-k של הסדרה ה-k====פתרון===='''טענה.''' מתקיים ש <math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|</math>.

'''מסקנה.''' נובע מהתרגיל הקודם דיי בקלות כעת, נזכר ש'''עוצמת הממשיים גדולה מזו <math> \mathbb{Q}</math> הם קבוצת מנה של הטבעיים'''. (אם נסתכל על הסדרות הבינאריות כספרות אחרי הנקודה של מספרים ממשיים נראה שקבוצה זו מוכלת בממשיים).<math>\mathbb{Z} \times \mathbb{N}</math>ולכן

עוצמת הממשיים נקראת <math>|\alephmathbb{N}|\leq |\mathbb{Q}|\leq |\mathbb{Z} \times \mathbb{N}|\leq |\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|=|\mathbb{N}| </math>.

'''טענה.''' יהיו C,W קבוצות ויהיו <math>X,Y\subseteq W</math>, <math>A,B\subseteq C</math> תתי קבוצות כך לפי קנטור ברנשטיין נקבל ש <math>A|\cap Bmathbb{Q}|=X|\cap Ymathbb{N}|=\phi</math> וגם <math>A\cup B = C</math> וגם <math>X\cup Y = Waleph_0</math>. אזי אם קיימות פונקציות חח"ע ועל <math>g:B\rightarrow Y</math>,<math>f:A\rightarrow X</math> מתקיים ש <math>|X|=|Y|</math>

'''תרגיל.''' הוכח שעוצמת הקטע חשבו את עוצמת <math>A=\mathbb{Q}\cap [0,1]</math> זהה לעוצמת הקטע <math>[0,1)</math>.

====פתרון====מצד אחד <math>A\subseteq \mathbb{Q}</math> ולכן <math>|A|\leq \aleph_0</math>. מצד שני, נגדיר <math>B=\{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}\subseteq A</math>, קל לראות ש- <math>|A|\geq |B|=\aleph_0</math>. לפי ק.ש.ב. סיימנו. ===תרגיל===נסמן <math>A=\{1,2,3,4\}</math>. א. חשבו את עוצמת <math>\{f\in \mathbb{N}^A:f\text{ is 1-1}\}</math>. ב. חשבו את עוצמת <math>\{f\in \mathbb{N}^A:f\text{ is not 1-1}\}</math>. ===תרגיל===נסמן ב-<math>S</math> את קבוצת יחסי השקילות על הטבעיים <math>S=\{R\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}:R\text{ is an equivalence relation}\}</math>. א. הראו ש- <math>|S|\leq |P(\mathbb{N})|</math>. ב. נסמן <math>A=\mathbb{N}\smallsetminus \{1,2\}</math>, ונסמן ב-<math>T</math> את אוסף החלוקות של הטבעיים <math>T=\{\mathcal{F}:\mathcal {F} \text{ is a partition of }\mathbb{N}\}</math>. נגדיר <math>f:P(A)\to T</math> ע"י: <math>f(X)=\{X\cup \{1\},(A\smallsetminus X)\cup \{2\}</math>. הוכיחו שהיא חח"ע. ג. הוכיחו <math>|S|=|P(\mathbb{N})|</math>. ===תרגיל===תהיינה <math>A,B,C,D</math> קבוצות כך ש- <math>|A|=|C|,|B|=|D|</math>. הוכיחו: <math>|A^B|=|C^D|</math> ====פתרון====קיימות פונקציות הפיכות <math>f:A\to C,g:B\to D</math>. נגדיר פונקציה <math>\varphi :A^B\to C^D</math> ע"י: <math>\varphi(h)=\{(g(b),f(h(b))\in D\times C:b\in B\}</math>. כלומר, שלחנו פונקציה לקבוצות זוגות סדורים, והיחס המתקבל הוא, מסתבר, פונקציה (דורש הוכחה כמובן). אפשר להסתכל על זה גם באופן הבא: בהינתן פונקציה<math>h:B\to A</math> נשלח אותה לפוננקציה <math>h':D\to C</math> המוגדרת <math>h'(d)=f\circ h\circ g^{-1}(d)</math>. ניתן לראות שהיא חח"ע ועל. == עוצמת הממשיים== 'פתרון''תרגיל'''  הוכח כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה <math>[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]</math> כאשר <math>a<b</math> ואפשר כי <math>a=-\infty , b=\infty</math> הוכחה:קל לראות כי כל הקטעים הסופיים מהצורה <math>[a,b]</math>.בעלי אותה עוצמה ע"י הפונקציה [[קובץ:EqveOfTowIntervals.jpeg]] '''הערה''': אפשר לעבור מכאן לק.ש.ב. ולא צריך את כל הפונקציות.

אמנם זה נובע מתכונות אחרות אשר נלמדות בהרצאה ובשיעורי הביתבאותו אופן כל הקטעים הסופיים מהצורה <math>(a, אך בכל זאת נמצא פונקציה חחb)</math> או <math>(a,b]</math> או <math>[a,b)</math> בעלי אותה עוצמה (כל הקטעים מאותו "סוג"ע בין שתי הקבוצות הללו.)

נמשיך- ט: הקטע <math>[0,1]</math> בעל עוצמה שווה ל <math>[0,1)</math>. ה: נגדיר <math>gf:[0,1)\rightarrow [0,1]</math> על ידי:

כך בעצם הוספנו את אחד לסדרה בת מנייה המוכלת בקטע. שימו לב שבכל קבוצה אינסופית קיימת תת קבוצה מעוצמת הערה: אותה פונקציה מוכיחה כי הקטע <math>\aleph_0(0,1]</math>. אפשר כך להוכיח, למשל, שאוסף הממשיים ללא המספרים השלמים הזוגיים הוא מאותה בעל עוצמה כמו אוסף הממשיים כולושווה ל <math>(0,1)</math>.

ט: הקטע <math>(קל להוכיח שהפונקציה שתארנו לעיל הינה חח"ע ועל.-1,0]</math> בעל עוצמה שווה ל <math>[0,1)</math>.

'''תרגילט: הקטע <math>(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> בעל עוצמה שווה ל <math>\mathbb{R}</math>.''' הוכח שעוצמת קטע סופי בממשיים זהה לעוצמת כל הממשיים

'''הוכחה.''' קל מאד להראות שכל הקטעים הסופיים מאותה עוצמה, לכן מספיק להוכיח עבור קטע ספציפי. ניקח את ה: הפונקציה <math>ftan:(x)=\frac{1-\pi}{x2}</math> בקטע <math>(0,1]</math> התמונה שלה הינה <math>[1,\inftyfrac{\pi}{2})\to \mathbb{R}</math>. למעשה סיימנו פה את החלק העיקרי בתרגיל, שכן הפכנו קטע סופי לקטע אינסופי, כל שנותר לעשות הוא להשלים את מה שבנינו לפונקציה מקטע סופי לכל הממשייםהפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל.

ניקח פונקציה g השולחת את הקטע '''הגדרה''': העוצמה של הממשיים מסומנת <math>(\frac{1}{2},1]</math> לקטע <math>(0,1]</math>, על ידי <math>g(x)=2x-1</math> ומשם נעביר לקטע האינסופי על ידי f. את הקטע <math>[0,\frac{1}{2}]</math> היא שולחת לקטע <math>[0,1]</math> על ידי 2x. סה"כ הגענו לחצי הישר <math>[0,\infty)aleph</math>.

באופן דומה נשלח את === תרגיל ===הוכיחו כי <math>(-0,1,0)</math> לקטע <math>\cup (-\infty3,04)</math> וסה"כ קיבלנו פונקציה חח"ע ועל מקטע סופי לכל ציר הממשיים.שווה עוצמה לממשיים

'''תרגיל.''' ראינו ש ה: נגדיר פונקציה <math>|g=\mathbb{N}|\to [0,1)=|\{f:\mathbb{N}\timesto \mathbb{N0,1\dots 9\}\}|</math>. האם אותו דבר נכון גם לגבי הממשיים?

נניח שכל איבר ממשי הוא בעצם סדרה אינסופית של ספרות ממשיות (כולל אלו שלפני ואחרי הנקודה). נפרק כל סדרה כזו לשתי תתי סדרות - סדרת הזוגיים וסדרת האי זוגיים. כל תת סדרה שכזו מגדירה מספר ממשי, לכן שלחנו מספר ממשי בודד לזוג מספרים ממשייםקל לראות כי g חח"ע.

העתקה זו כעת נניח בשלילה כי <math>\aleph_0=\aleph</math> אזי יש פונקציה חח"ע ועל פרט לעובדה שהממשיים הם לא '''בדיוק''' אוסף הסדרות של ספרות עשרוניות<math>g=\mathbb{N}\to [0, אבל לא נתמודד כרגע עם הקושי המינורי הזה1)=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\} </math>נסמן <math>g(n)=f_n</math>.נראה כי g אינה על ע"י שנבנה פונקציה f שאין לה מקור:

'''תרגיל ממבחןהערה: הזיהוי <math> [0,1)=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\} </math> אינו מדויק כי <math>0.01=0.00999...</math>ולכן צריך להשלח לאותה פונקציה. נשאיר כתרגיל את דיוק ההוכחה.'''

א== =='''טענה. ''' יהיו C,W קבוצות ויהיו <math>X,Y\subseteq W</math>, <math>A,B \subseteq C</math> תתי קבוצות כך ש <math>|A\cap B=X\cap Y=\phi</math> וגם <math>A\cup B|=|C</math> וגם <math>X\cup Y = W</math>. אזי אם קיימות פונקציות חח"ע ועל <math>g:B\rightarrow Y</math>,<math>f:A|\rightarrow X</math>. הוכח מתקיים ש <math>|AC|=|BW|</math>.

'''פתרוןנגדיר <math>f:C\to W</math> ע"י <math>f|_A=f_1,\;\;f|_B=f_2</math>. בידקו שאכן f חח"ע ועל.'''

א. לפי הנתון קיימת פונקציה חח"ע ועל f בין A/B לבין B/A. נגדיר פונקציה g מ-A לB'''תרגיל ממבחן.'''

אם <math>א.(a\in ב XI) יהיו A) \and (a\notin ,B) קבוצות כך ש </math> אזי נגדיר <math>g(a)|A/B|=f(a)|B/A|</math>. אם הוכח ש <math>(a\in |A) \and (a\in |=|B) |</math>, נגדיר <math>g(a)=a</math>. נותר להוכיח כי g הינה חח"ע ועל.

על: לכל איבר בB או שהוא בA או שלאב. אם לא, אזי מכיוון מצא קבוצות A וB כך ש<math>f|A|=|B|</math> אבל <math>|A/B|\neq |B/A|</math> על, יהיה לו מקור מתוך האיברים בA שאינם בB. אם הוא כן בA הוא ישלח לעצמו.

בא. ניקח את הטבעיים, ואת הטבעיים לאחר שזרקנו מהם את אחד. ברור שנשארנו עם קבוצות שוות עוצמה, אבל ההפרשים בינהם הם מתקיים <math>A=(A\{1cap B)\}cup A/B,\phi;\; B=(A\cap B)\cup B/A</math> לפי נתון <math>|A/B|=|B/A|</math> ואלו קבוצות מעוצמה שונה.כיוון ש <math>|A\cap B|=|A\cap B|</math> לפי תרגיל קודם סימנו.

נגדיר "שמיניה" בתור זוג עיגולים מעגלים בגדלים כלשהם המשיקים זה לזה בנקודה כלשהי. יהי אוסף אינסופי כלשהו של שמיניות במישור הזרות זו מזו (כלומר אין שתים עם נקודת חיתוך משותפת)

ב. הוכח שקיימת קבוצה של אינסוף עיגולים מעגלים במרחב ללא חיתוך מעוצמת אלף

א. בהנתן שמיניה מסוימת באוסף, נבחר נקודה רציונאלית אחת מעיגול ממעגל אחד, ואחת מהעיגול מהמעגל השני. זה נותן לנו פונקציה מהאוסף אל הזוגות הסדורים של מספרים רציונאליים.

כעת, נוכיח כי פונקציה זו הינה חח"ע. נניח בשלילה כי לשתי שמיניות שונות יש נקודות משותפים בשני העיגוליםהמעגלים. אם כן, העיגול המעגל של האחת נמצא בעיגול במעגל של האחרת ולכן גם נקודת ההשקה נמצאת בתוך העיגול המעגל האחד. מכיוון שהעיגול שהמעגל השני מכיל נקודה משותפת עם העיגול המעגל השני של השמיניה השנייה, חייב להיות חיתוך בינהם בסתירה (ציור פה יקל ממש על ההבנה שלכם...).

ב. ניקח את אוסף העיגולים המעגלים עם מרכז בראשית ורדיוס ממשי חיובי. אין בינהם חיתוך, והכמות שלהם זהה לחצי ציר הממשיים והוא כמובן מעוצמת אלף.