'''דוגמא.''' יהיו A וB שתי קבוצות סופיות. אזי אם מספר האיברים בהן שווה עוצמתן שווה, ואם מספר האיברים בA גדול מזה של B אזי עוצמתה של A גדולה יותר.
לכל קבוצה סופית בעלת n איברים, נאמר שעוצמתה הינה n.למשל <math>|\{1,2,3\}|=|\{1,5,100\}|</math>
'''טענה.''' אם <math>A\subseteq B</math> אזי <math>|A|\leq |B|</math>.
הוכחה: נגדיר <math>f:A\to B </math> פונקצית ההכלה השולחת כל איבר לעצמו. פונקציה זו חח"ע ולכן <math>|A|\leq|B|</math>
'''===תרגיל''' ===הוכח כי עוצמת <math>\mathbb{N}</math> שווה ל -<math>\mathbb{N}\cup\{0\}</math>
הוכחה: נגדיר <math>f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\cup\{0\} </math> ע"י <math>f(n)=n-1 </math>.
<math>f</math> חח"ע ועל כי יש לה הופכית <math>g(n)=n+1\;\;\;\;\;g:\mathbb{N}\cup\{0\} \to \mathbb{N}</math>
=== תרגיל ===
הוכיחו כי <math>|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\emptyset\}|</math>
פתרון: נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\emptyset\} </math> ע"י <math>\{n\}\mapsto \{n+1\},\emptyset \mapsto \{1\}</math> וכל B שאינה נקודות ואינה קבוצה ריקה נשלחת לעצמה.
=== תרגיל ===
נסמן <math>A=\{\{n\}\mid n\in \mathbb{N}\}</math> קבוצת הנקודונים הטבעיים. הוכיחו כי <math>|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-A|</math>
פתרון: נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})-A\to P(\mathbb{N}) </math> ע"י
<math>\{2n,4n\}\mapsto \{n,2n\},\{2n-1,2(2n-1)\}\mapsto \{n\}</math> וכל B שאינה מהצורה <math>\{k,2k\}</math> נשלחת לעצמה.
=== תרגיל ===
תהא <math>A</math> קבוצה . הוכיחו כי <math>|A^{\mathbb{N}}\times A^{\mathbb{N}}|=|A^{\mathbb{N}}|</math>
פתרון: נגדיר פונקציה <math>F:A^{\mathbb{N}}\times A^{\mathbb{N}}\to A^{\mathbb{N}} </math> ע"י
<math>(f,g)\mapsto \{(2n,f(n)),(2n-1,g(n))\mid n\in \mathbb{N}\}</math>
'''טענה.''' אם A קבוצה וR יחס שקילויות על הקבוצה אזי עוצמת קבוצת המנה קטנה או שווה לעוצמה של A.
הוכחה: נגדיר <math>f:A\to A/R </math> ע"י <math>f(a)=[a]_R</math>. הפונקציה על ולכן <math> |A/R|\leq |A| </math>
'''טענה''' אם <math>|A|=|A'|,\;\; |B|=|B'|</math> אזי <math>|A\times B|=|A'\times B'|</math>
הוכחה: קיימות פונקציות חח"ע ועל <math>f_1:A\to A'.\;\;f_2:B\to B'</math>
נגדיר פונקציה <math>f:A\times B \to A'\times B'</math> ע"י <math>(a,b)\mapsto (f_1(a),f_2(b))</math>
כיוון ש <math>f_1,f_2</math> חח"ע ועל גם <math>f</math> כזאת.
למשל <math>|\mathbb{N} \times \{1,2,3\}|=|(\mathbb{N}\cup\{0\}) \times \{1,5,100\}|</math>
'''הערה'''
אם נסתכל על קבוצה של קבוצות ניתן להגדיר עליה יחס "עוצמות שוות" והוא יהיה יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. אם עם זאת, לא ניתן להגדיר יחס זה על כל הקבוצות כולם בשל הסיבה שלא קיימת קבוצת כל הקבוצות.
נראה שימוש בתכונות אלו בתרגילים הבאים.
=== תרגיל ===תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה קווית לא סופית. נגיד שתת קבוצה <math>X</math> של <math>A</math> היא תת קבוצה יורדת אם מתקיים<math>\forall a\in A\forall x\in X \,(a<x) \to (a\in X)</math> (כאשר הסימון <math>a<x</math> פירושו ש <math>a\leq x</math> וגם <math>a\neq x</math> נסמן ב <math>D</math> את קבוצת כל תתי הקבוצות היורדות של <math>A</math> האם <math>|A|=|D|</math> ? פתרון: אמרו לי שכן. למה? כי נגדיר פונקציה <math>f:A\to D</math> המוגדרת ע"י <math>f(x)=\{a\in A\mid a<x\}</math> והיא חח"ע ועל. #מצאו את הטעות בהוכחה. # האם ואיך אפשר לתקן את הפתרון המוצע? ===תרגיל ===תהא A קבוצה. הוכח כי <math>|A|\leq |P(A)|</math> פתרון: נגדיר את הפונקציה <math>f:A|\to P(A)</math> ע"י <math>a \mapsto \{a\}</math> היא חח"ע. תהא A קבוצה. הוכח כי <math>|A|\neq |P(A)|</math> פתרון: נניח בשלילה כי <math>|A|= |P(A)|</math> אזי קיימת <math>f: A\to P(A)</math> הפיכה, בפרט על. נגדיר <math>X=\{a\in A: a\notin f(a)\}</math>. זוהי תת קבוצה של A ולכן, מכיוון ש f על, קיים <math>x\in A</math> כך ש <math>f(x)=X</math>. האם <math>x\in X</math>? אם לא, לפי הגדרת X נקבל כי <math>x\notin f(x)=x</math> סתירה. אם כן אז <math>x\in X=f(x)</math> אבל לפי הגדרת X מתקיים <math>x\notin f(x)</math> סתירה. משל ===תרגיל ===נגדיר <math>A=\{f: \{1,2,3\}\to \{1,2,3,4,5\} : f \text{ is a function}\}, B=\{(x,y,z): 1\leq x,y,z \leq 5\}</math> הוכח כי A ו B שוות עוצמה פתרון: נגדיר פונצקיה <math>F:A\to B</math> ע"י <math>f\mapsto (f(1),f(2),f(3))</math>. הוכיחו/השתכנעו/נסביר <math>F</math> חח"ע ועל ===תרגיל ===הוכיחו כי <math>|A\times A| = |A^{\{1,2\}}|</math> פתרון: הפונקציה <math>F:A^{\{1,2\}}\to A\times A</math> המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2))</math> הפיכה. === תרגיל ===הוכיחו כי אם <math>|A|=|B|</math> אזי <math>|P(A)|=|P(B)|</math> פתרון: מניחים כי קיימת <math>f:A\to B</math> הפיכה. נגדיר <math>g:P(A)\to P(B)</math> ע"י <math>A'\mapsto f[A']</math> הפיכה. האם הכיוון ההפוך נכון? אם ידוע <math>|P(A)|=|P(B)|</math> האם ניתן להסיק כי <math>|A|=|B|</math>? === תרגיל חשוב! ===תהא <math>X,Y</math> קבוצות. הוכיחו כי <math>P(Y)^{X}</math> שקולת עוצמה ל <math>P(X\times Y)</math>תשובה: יש לקחת <math>F(f)=\{(x,y)|y \in f(x)\}</math> === תרגיל ===נגדיר <math>A=\{f\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\mid \forall n\in \mathbb{N}: \,f(n)<f(n+1)\}</math> הוכיחו כי אם <math>|A|=|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|</math> פתרון: נגדיר פונקציה <math>F:A\to \mathbb{N}^{\mathbb{N}}</math> ע"י <math>F(f)(n)=\begin{cases} f(n)-f(n-1) & \text{if }n>1\\f(1) & \text{if }n=1\end{cases}</math> נוכיח כי F חח"ע ועל. חח"ע: נניח <math>F(f_1)=F(f_2)</math> אזי <math>f_1(1)=F(f_1)(1)=F(f_2)(1)=f_2(1)</math> ואז מהשיוויון <math>f_1(2)-f_1(1)=F(f_1)(2)=F(f_2)(2)=f_2(2)-f_2(1)</math> נקבל כי <math>f_1(2)=f_2(2)</math> כעת נניח כי <math>f_1(n)=f_2(n)</math> ונוכיח שיוויון בקלט <math>n+1</math>. אכן מהשיוויון <math>f_1(n+1)-f_1(n)=F(f_1)(n+1)=F(f_2)(n+1)=f_2(n+1)-f_2(n)</math> נצמצם את ההנחה כי <math>f_1(n)=f_2(n)</math> ונקבל כי <math>f_1(n+1)=f_2(n+1)</math> על: תהא <math>g\in \mathbb{N}\to \mathbb{N}</math> נמצא לה מקור. נגדיר <math>f(n)=\sum_{k=1}^ng(k)</math> ואז <math>F(f)(n)=\begin{cases} f(n)-f(n-1)=g(n) & \text{if }n>1\\f(1)=g(1) & \text{if }n=1\end{cases}</math> ולכן <math>F(f)=g</math> שאלה: מה היה קורה אם היינו מגדירים את A בעזרת קטן שווה ולא קטן ממש? כלומר נגדיר <math>A=\{f\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\mid \forall n\in \mathbb{N}: \,f(n)\leq f(n+1)\}</math> האם <math>|A|=|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|</math> ?
== עוצמת הטבעיים ==
'''===תרגיל.'''===
הוכח שעוצמות הקבוצות הבאות שוות: <math>\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}</math>
'''===טענה.''' ===מתקיים ש <math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|</math>.
'''הוכחה.'''
כמו כן קל לראות שפונקציה זו חח"ע וגם על.
=== <math>\aleph_0 \cdot \aleph_0=\aleph_0</math> ==='''משפט (קנטור- שרדר-ברנשטיין)הגדרה''' אם * העוצמה של הטבעיים מסומנת <math>|B|\leq|A|aleph_0</math> וגם * קבוצה A המקיימת <math>|A|\leq|B|\aleph_0 </math> אז <math>|B|=|A|<נקראת '''בת מנייה''' (מקור השם כי ניתן למנות/math>למספר את האיברים בה ע"י התאמה חח"ע ועל מהטבעיים במקרה האין סופי או במקרה הסופי פשוט למספר עד n )
'''טענה.''' מתקיים ש <math>|\mathbb{N}|B=|\mathbb{Z}|=2n-1 |n\in \mathbb{ZN}\times \mathbb{Z}|</math>. קבוצת האי זוגיים היא בת מנייה
הוכחה: נגדיר פונצקיה <math>f:\mathbb{ZN}\to \mathbb{N}\times \{0,1\}B </math> ע"י <math>f(z)=(|z|,sgn(z))</math>.פונקציה זו חח"ע ולכן<math>|n\mathbb{N}|\leq |\mathbb{Z}|\leq|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|\leq|(\mathbb{N}\times \{0,mapsto 2n-1\})\times (\mathbb{N}\times \{0,1\})| \leq |(\mathbb{N}\times \mathbb{N})\times (\mathbb{N}\times \mathbb{N})|= |\mathbb{N}\times \mathbb{N}|= |\mathbb{N}| </math>
לפי קנטור ברנשטיין נקבל את הדרוש.טענה <math>C=\mathbb{N}\cup\{0\}</math> קבוצת הטבעיים עם <math>0</math> בת מנייה
נזכר ש הוכחה : נגדיר פונצקיה <math> f:\mathbb{QN}\to C </math> הם קבוצת מנה של ע"י <math>n\mathbb{Z} \times \mathbb{N}mapsto n-1</math>ולכן
טענה <math>|\mathbb{N}|aleph_0 \leq |cdot \mathbb{Q}|\leq |\mathbb{Z} \times \mathbb{N}|\leq |\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|aleph_0=|\mathbb{N}| aleph_0</math>
לפי קנטור ברנשטיין נקבל ש הוכחה: נגדיר <math>|f:B\mathbb{Q}|= |times C\to \mathbb{N}|</math> ע"י <math>(x,k)\mapsto x\cdot 2^k</math>
טענה: f חח"ע
'''הגדרה'''* העוצמה של הטבעיים מסומנת הוכחה נניח <math>\aleph_0f(x_1,k_1)=f(x_2,k_2)</math>* קבוצה A המקיימת אזי <math>|A|x_1 \leq cdot 2^{k_1} =x_2 \aleph_0 cdot 2^{k_2}</math> נקראת '''בת מנייה''' (מקור השם כי ניתן למנות/ למספר את האיברים בה ע"י התאמה חח"ע ועל מהטבעיים במקרה האין סופי או במקרה הסופי פשוט למספר עד n )
== עוצמת הממשיים==בה"כ <math>k_1\leq k_2</math> ונחלק את שני האגפים ב <math>2^{k_1}</math>
'''תרגיל''' נקבל כי<math>x_1 =x_2 \cdot 2^{k_2-k_1}</math>. כעת צד שמאל לא מתחלק ב 2 (כי <math>x_1</math> אי זוגי) ולכן גם אגף ימין לא מתחלק ב -2. הדבר יכול לקרות רק אם <math>k_2-k_1=0</math> או במילים אחרות <math>k_1=k_2</math>. כעת קיבלנו גם כי <math>x_1=x_2</math> ולכן בס"ה <math>(x_1,k_1)=(x_2,k_2)</math>.
הוכח כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה <math>[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]</math> כאשר אפשר כי<math>a=-\infty , b=\infty</math>טענה: f על
הוכחה:קל לראות כי כל הקטעים הסופיים מהצורה יהא n טבעי. יהיה <math>[a,b]k\in C</math>כך ש <math>2^k</math> מחלק את n ואילו <math>2^{k+1}</math> אינו מחלק את n. כלומר החזקה הגדולה ביותר של 2 בפירוק של n למכפלת ראשונים זרים. בעלי אותה עוצמה ע"י הפונקציה
[[קובץ:EqveOfTowIntervalsמהגדרת k נובע כי <math>\frac{n}{2^k}</math> אי זוגי (כי אחרת הוא זוגי ואז 2 מחלק את המספר ואז <math>2^{k+1}</math> מחלק את n. סתירה).jpeg]]
באותו אופן כל הקטעים הסופיים מהצורה לפי הגדרת f רואים כי <math>(a\frac{n}{2^k},bk)</math> או <math>(a,b]</math> או <math>[a,b)</math> בעלי אותה עוצמה (כל הקטעים מאותו "סוג")מקור ל n. וסיימנו.
נמשיך- ט: הקטע ==== תרגיל ====הוכיחו כי לכל <math>[0,1]<n</math> בעל עוצמה שווה ל טבעי מתקיים כי <math>[0,1)\mathbb{N}^n=\mathbb{N}\times\mathbb{N}\times \cdots \times \mathbb{N} </math> מעוצמה <math>\aleph_0</math>.
הפתרון: באינדוקציה. בסיס: ברור. צעד: נגדיר <math>g:[0,1)|\rightarrow [0,mathbb{N}^{n+1]}=|\mathbb{N}^n\times \mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=|\mathbb{N}|</math> על ידי:
*==משפט קנטור- שרדר-ברנשטיין==אם <math>|B|\nexists n\in\mathbb{N}:x=leq|A|</math> וגם <math>|A|\frac{1}{n}leq|B|</math> אזי נגדיר אז <math>f(x)|B|=x|A|</math>
*אחרת נגדיר ===תרגיל===<math>f(|\fracmathbb{1Q}{n})|=\frac{1}{n-1}aleph_0</math>.
למעשה, כל מספר כמעט נשלח לעצמו פרט לסדרה הבת מנייה ====פתרון===='''טענה.''' מתקיים ש <math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|</math>.
הוכחה: כיוון ש <math>|\fracmathbb{1N}|=|\mathbb{2Z},|</math> אזי לפי תרגיל ממקודם <math>|\fracmathbb{1N}|=|\mathbb{3N},\fractimes \mathbb{1N}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{4Z},...|</math>
הנשלחת לסדרה כעת, נזכר ש <math> \mathbb{Q}</math> הם קבוצת מנה של <math>\mathbb{Z} \times \mathbb{N}</math>ולכן
<math>|\fracmathbb{1N}|\leq |\mathbb{1Q},|\fracleq |\mathbb{1Z}\times \mathbb{2N},|\fracleq |\mathbb{1Z}\times \mathbb{Z}|=|\mathbb{3N},...| </math>.
זה פונקציה חח"ע ועללפי קנטור ברנשטיין נקבל ש <math>|\mathbb{Q}|= |\mathbb{N}|=\aleph_0</math>.
ט: הקטע <math>(-1,0]</math> בעל עוצמה שווה ל <math>[0,1)</math>.===תרגיל===
ה: ע"י הפונקציה חשבו את עוצמת <math>f(x)A=-x\mathbb{Q}\cap [0,1]</math>.
==השוואות עוצמות==פתרון===='''תרגיל.''' נביט באוסף כל הסדרות הבינאריות (01110010101011011...). נתאר אוסף זה באופן מדוייק: מצד אחד <math>B=A\{f:subseteq \mathbb{NQ}</math> ולכן <math>|A|\rightarrow leq \{0,1\}\}aleph_0</math>. השווה בין העוצמה של B לבין אלף אפס.
'''פתרון.'''קיימת פונקציה על מהסדרות אל המספרים הטבעייםמצד שני, נגדיר <math>B=\{\frac{1}{n}: נשלח כל סדרה שהחל ממקום מסויים היא קבועה אפס אל המספר שהיא מייצגת בבסיס בינארי. כל סדרה אחרת נשלח לאחד. (שימו לב שאת הסדרה הקבועה אפס נשלח גם לאחד לפי הגדרה...)n\in \mathbb{N}\}\subseteq A</math>, קל לראות ש- <math>|A|\geq |B|=\aleph_0</math>.
לכן עוצמת B גדולה או שווה לאלף אפסלפי ק. נוכיח כי היא גדולה ממשש.ב. סיימנו.
נניח בשלילה שקיימת פונקציה g חח"ע ועל מהטבעיים אל B===תרגיל===נסמן <math>A=\{1,2,3,4\}</math>. לכן ניתן "לסדר" את כל הסדרות אחת אחרי השנייה:
א. חשבו את עוצמת <math>g(\{f\in \mathbb{N}^A:f\text{ is 1)=0101010110110101001000100101...-1}\}</math>.
ב. חשבו את עוצמת <math>g(2)=1101010001010010100010101010...\{f\in \mathbb{N}^A:f\text{ is not 1-1}\}</math>.
===תרגיל===נסמן ב-<math>g(3)S</math> את קבוצת יחסי השקילות על הטבעיים <math>S=0101010101011101010001010111...\{R\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}:R\text{ is an equivalence relation}\}</math>.
א. הראו ש- <math>|S|\leq |P(\mathbb{N})|</math>.
נבנה סדרה בינארית שקיימת בB אך לא ייתכן שהיא מתקבלת על ידי הפונקציה g ב. נסמן <math>A=\mathbb{N}\smallsetminus \{1,2\}</math>, ונסמן ב-<math>T</math> את אוסף החלוקות של הטבעיים <math>T=\{\mathcal{F}:\mathcal {F} \text{ is a partition of }\mathbb{N}\}</math>. נגדיר <math>f:P(כלומר היא אינה בסדרהA)\to T</math> ע"י: <math>f(X)=\{X\cup \{1\}, בסתירה(A\smallsetminus X)\cup \{2\}</math>. הוכיחו שהיא חח"ע.
נגדיר את הפונקציה f שנותנת את הסדרה ג. הוכיחו <math>\forall n\in|S|=|P(\mathbb{N}:f(n)= \neg g(n)_n|</math>. כלומר לקחנו סדרה שהאיבר הראשון שלה שונה מהאיבר הראשון של הסדרה הראשונה, האיבר השני שונה מהאיבר השני של הסדרה השנייה וכן הלאה.
בדוגמא לעיל הסדרה תתחיל בשלושת האיברים ===תרגיל===תהיינה <math>101A,B,C,D</math> קבוצות כך ש- <math>|A|=|C|,|B|=|D|</math> ולכן בוודאי לא תהיה אף אחת משלוש הסדרות הראשונות.הוכיחו: <math>|A^B|=|C^D|</math>
באופן כללי====פתרון====קיימות פונקציות הפיכות <math>f:A\to C, לא ייתכן שסדרה זו נמצאת במקום k כלשהו בסדרת הסדרותg:B\to D</math>. נגדיר פונקציה <math>\varphi :A^B\to C^D</math> ע"י: <math>\varphi(h)=\{(g(b), כי האיבר ה-k שלה שונה מהאיבר ה-k של הסדרה הf(h(b))\in D\times C:b\in B\}</math>. כלומר, שלחנו פונקציה לקבוצות זוגות סדורים, והיחס המתקבל הוא, מסתבר, פונקציה (דורש הוכחה כמובן). אפשר להסתכל על זה גם באופן הבא: בהינתן פונקציה<math>h:B\to A</math> נשלח אותה לפוננקציה <math>h':D\to C</math> המוגדרת <math>h'(d)=f\circ h\circ g^{-k1}(d)</math>. ניתן לראות שהיא חח"ע ועל.
== עוצמת הממשיים==
'''מסקנה.תרגיל''' נובע מהתרגיל הקודם דיי בקלות ש'''עוצמת הממשיים גדולה מזו של הטבעיים'''. (אם נסתכל על הסדרות הבינאריות כספרות אחרי הנקודה של מספרים ממשיים נראה שקבוצה זו מוכלת בממשיים).
הוכח כי עוצמת הממשיים נקראת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה <math>[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]</math> כאשר <math>a<b</math> ואפשר כי <math>a=-\infty , b=\alephinfty</math>.
'''טענה.''' יהיו C,W קבוצות ויהיו הוכחה:קל לראות כי כל הקטעים הסופיים מהצורה <math>X[a,Y\subseteq W</math>, <math>A,B\subseteq C</math> תתי קבוצות כך ש <math>A\cap B=X\cap Y=\phi</math> וגם <math>A\cup B = C</math> וגם <math>X\cup Y = Wb]</math>. אזי אם קיימות פונקציות חחבעלי אותה עוצמה ע"ע ועל <math>g:B\rightarrow Y</math>,<math>f:A\rightarrow X</math> מתקיים ש <math>|X|=|Y|</math>י הפונקציה
[[קובץ:EqveOfTowIntervals.jpeg]]
'''תרגיל.הערה''' הוכח שעוצמת הקטע <math>[0,1]</math> זהה לעוצמת הקטע <math>[0,1)</math>: אפשר לעבור מכאן לק.ש.ב. ולא צריך את כל הפונקציות.
'''פתרון.''' אמנם זה נובע מתכונות אחרות אשר נלמדות בהרצאה ובשיעורי הביתבאותו אופן כל הקטעים הסופיים מהצורה <math>(a, אך בכל זאת נמצא פונקציה חחb)</math> או <math>(a,b]</math> או <math>[a,b)</math> בעלי אותה עוצמה (כל הקטעים מאותו "סוג"ע בין שתי הקבוצות הללו.)
נמשיך- ט: הקטע <math>[0,1]</math> בעל עוצמה שווה ל <math>[0,1)</math>. ה: נגדיר <math>gf:[0,1)\rightarrow [0,1]</math> על ידי:
*אם <math>\nexists n\in\mathbb{N}:x=\frac{1}{n}</math> אזי נגדיר <math>f(x)=x</math>
<math>\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},...</math>.
זה פונקציה חח"ע ועל.
כך בעצם הוספנו את אחד לסדרה בת מנייה המוכלת בקטע. שימו לב שבכל קבוצה אינסופית קיימת תת קבוצה מעוצמת הערה: אותה פונקציה מוכיחה כי הקטע <math>\aleph_0(0,1]</math>. אפשר כך להוכיח, למשל, שאוסף הממשיים ללא המספרים השלמים הזוגיים הוא מאותה בעל עוצמה כמו אוסף הממשיים כולושווה ל <math>(0,1)</math>.
ט: הקטע <math>(קל להוכיח שהפונקציה שתארנו לעיל הינה חח"ע ועל.-1,0]</math> בעל עוצמה שווה ל <math>[0,1)</math>.
ה: ע"י הפונקציה <math>f(x)=-x</math>
'''תרגילט: הקטע <math>(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> בעל עוצמה שווה ל <math>\mathbb{R}</math>.''' הוכח שעוצמת קטע סופי בממשיים זהה לעוצמת כל הממשיים
'''הוכחה.''' קל מאד להראות שכל הקטעים הסופיים מאותה עוצמה, לכן מספיק להוכיח עבור קטע ספציפי. ניקח את ה: הפונקציה <math>ftan:(x)=\frac{1-\pi}{x2}</math> בקטע <math>(0,1]</math> התמונה שלה הינה <math>[1,\inftyfrac{\pi}{2})\to \mathbb{R}</math>. למעשה סיימנו פה את החלק העיקרי בתרגיל, שכן הפכנו קטע סופי לקטע אינסופי, כל שנותר לעשות הוא להשלים את מה שבנינו לפונקציה מקטע סופי לכל הממשייםהפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל.
לסיום נעיר כי כל קרן (קטע עם צד אחד אין סופי) ג"כ בעלת אותה עוצמה כי היא מכילה איזה שהוא קטע ומוכלת בממשיים ולכן עפ"י קנטור ברנשטיין בעלת אותה עוצמה.
ניקח פונקציה g השולחת את הקטע '''הגדרה''': העוצמה של הממשיים מסומנת <math>(\frac{1}{2},1]</math> לקטע <math>(0,1]</math>, על ידי <math>g(x)=2x-1</math> ומשם נעביר לקטע האינסופי על ידי f. את הקטע <math>[0,\frac{1}{2}]</math> היא שולחת לקטע <math>[0,1]</math> על ידי 2x. סה"כ הגענו לחצי הישר <math>[0,\infty)aleph</math>.
באופן דומה נשלח את === תרגיל ===הוכיחו כי <math>(-0,1,0)</math> לקטע <math>\cup (-\infty3,04)</math> וסה"כ קיבלנו פונקציה חח"ע ועל מקטע סופי לכל ציר הממשיים.שווה עוצמה לממשיים
פתרון: הוא מוכל בממשיים ומכיל את <math>(0,1)</math>
=== עוצמת הטבעיים קטנה ממש מעוצמת הממשיים ===
לשם הוכחת הטענה נשתמש בקבוצה המספרים <math>[0,1)</math> בכתיב עשרוני כלומר כל <math>x\in[0,1)</math>
הוא מהצורה <math>x=0.a_1a_2a_3...</math> כאשר <math>\forall i : a_i\in \{0,1\dots 9\}</math>
לשם נוחות התרגיל נזהה את x עם פונקציה <math>f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}</math> המוגדרת <math>f(i)=a_i</math>
ט: <math>\aleph_0\leq\aleph</math>
'''תרגיל.''' ראינו ש ה: נגדיר פונקציה <math>|g=\mathbb{N}|\to [0,1)=|\{f:\mathbb{N}\timesto \mathbb{N0,1\dots 9\}\}|</math>. האם אותו דבר נכון גם לגבי הממשיים?
'''הוכחה.'''ע"י <math>\forall n\in \mathbb{N}:g(n)=e_n(m)=\delta_{n,m}</math> למשל 17 נשלח לפונקציה ששווה 0 בכל מקום פרט ל-17 ששם היא שווה 1
נניח שכל איבר ממשי הוא בעצם סדרה אינסופית של ספרות ממשיות (כולל אלו שלפני ואחרי הנקודה). נפרק כל סדרה כזו לשתי תתי סדרות - סדרת הזוגיים וסדרת האי זוגיים. כל תת סדרה שכזו מגדירה מספר ממשי, לכן שלחנו מספר ממשי בודד לזוג מספרים ממשייםקל לראות כי g חח"ע.
העתקה זו כעת נניח בשלילה כי <math>\aleph_0=\aleph</math> אזי יש פונקציה חח"ע ועל פרט לעובדה שהממשיים הם לא '''בדיוק''' אוסף הסדרות של ספרות עשרוניות<math>g=\mathbb{N}\to [0, אבל לא נתמודד כרגע עם הקושי המינורי הזה1)=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\} </math>נסמן <math>g(n)=f_n</math>.נראה כי g אינה על ע"י שנבנה פונקציה f שאין לה מקור:
נגדיר <math>f(n)=1</math> אם <math>f_n(n)=0</math> ו <math>f(n)=0</math> אחרת.
כעת לכל n <math>f_n\not=f</math> כי <math>f_n(n)\not=f(n)</math> עפ"י הגדרת f. סתירה לכל ש g על.
'''תרגיל ממבחןהערה: הזיהוי <math> [0,1)=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\} </math> אינו מדויק כי <math>0.01=0.00999...</math>ולכן צריך להשלח לאותה פונקציה. נשאיר כתרגיל את דיוק ההוכחה.'''
א== =='''טענה. ''' יהיו C,W קבוצות ויהיו <math>X,Y\subseteq W</math>, <math>A,B \subseteq C</math> תתי קבוצות כך ש <math>|A\cap B=X\cap Y=\phi</math> וגם <math>A\cup B|=|C</math> וגם <math>X\cup Y = W</math>. אזי אם קיימות פונקציות חח"ע ועל <math>g:B\rightarrow Y</math>,<math>f:A|\rightarrow X</math>. הוכח מתקיים ש <math>|AC|=|BW|</math>.
ב. מצא קבוצות A וB כך ש <math>|A|=|B|</math> אבל <math>|A/B|\neq |B/A|</math>.הוכחה:
לפי נתון קיימות 2 פונקציות חח"ע ועל <math>f_1:A\to X,\;\;f_2:B\to Y</math>
'''פתרוןנגדיר <math>f:C\to W</math> ע"י <math>f|_A=f_1,\;\;f|_B=f_2</math>. בידקו שאכן f חח"ע ועל.'''
א. לפי הנתון קיימת פונקציה חח"ע ועל f בין A/B לבין B/A. נגדיר פונקציה g מ-A לB'''תרגיל ממבחן.'''
אם <math>א.(a\in ב XI) יהיו A) \and (a\notin ,B) קבוצות כך ש </math> אזי נגדיר <math>g(a)|A/B|=f(a)|B/A|</math>. אם הוכח ש <math>(a\in |A) \and (a\in |=|B) |</math>, נגדיר <math>g(a)=a</math>. נותר להוכיח כי g הינה חח"ע ועל.
על: לכל איבר בB או שהוא בA או שלאב. אם לא, אזי מכיוון מצא קבוצות A וB כך ש<math>f|A|=|B|</math> אבל <math>|A/B|\neq |B/A|</math> על, יהיה לו מקור מתוך האיברים בA שאינם בB. אם הוא כן בA הוא ישלח לעצמו.
חח"ע: נניח בשלילה ששני איברים נשלחים לאותו מקום. באופן ברור זה דורש שאחד מהם יהיה בB ואחד לא. אם כן, האיבר שנמצא בB נשלח לעצמו ולכן גם השני נשלח לשם בסתירה לכך שהוא צריך להשלח לאיבר שאינו בA.
'''פתרון.'''
בא. ניקח את הטבעיים, ואת הטבעיים לאחר שזרקנו מהם את אחד. ברור שנשארנו עם קבוצות שוות עוצמה, אבל ההפרשים בינהם הם מתקיים <math>A=(A\{1cap B)\}cup A/B,\phi;\; B=(A\cap B)\cup B/A</math> לפי נתון <math>|A/B|=|B/A|</math> ואלו קבוצות מעוצמה שונה.כיוון ש <math>|A\cap B|=|A\cap B|</math> לפי תרגיל קודם סימנו.
ב. ניקח את הטבעיים, ואת הטבעיים לאחר שזרקנו מהם את אחד. ברור שנשארנו עם קבוצות שוות עוצמה, אבל ההפרשים בינהם הם <math>\{1\},\phi</math> ואלו קבוצות מעוצמה שונה.
== '''תרגילי העשרה''' (לא מומלץ להעביר בתירגול) ==
'''תרגיל.'''
נגדיר "שמיניה" בתור זוג עיגולים מעגלים בגדלים כלשהם המשיקים זה לזה בנקודה כלשהי. יהי אוסף אינסופי כלשהו של שמיניות במישור הזרות זו מזו (כלומר אין שתים עם נקודת חיתוך משותפת)
א. הוכח שעוצמת קבוצה זו הינה אלף אפס
ב. הוכח שקיימת קבוצה של אינסוף עיגולים מעגלים במרחב ללא חיתוך מעוצמת אלף
'''פתרון.'''
א. בהנתן שמיניה מסוימת באוסף, נבחר נקודה רציונאלית אחת מעיגול ממעגל אחד, ואחת מהעיגול מהמעגל השני. זה נותן לנו פונקציה מהאוסף אל הזוגות הסדורים של מספרים רציונאליים.
כעת, נוכיח כי פונקציה זו הינה חח"ע. נניח בשלילה כי לשתי שמיניות שונות יש נקודות משותפים בשני העיגוליםהמעגלים. אם כן, העיגול המעגל של האחת נמצא בעיגול במעגל של האחרת ולכן גם נקודת ההשקה נמצאת בתוך העיגול המעגל האחד. מכיוון שהעיגול שהמעגל השני מכיל נקודה משותפת עם העיגול המעגל השני של השמיניה השנייה, חייב להיות חיתוך בינהם בסתירה (ציור פה יקל ממש על ההבנה שלכם...).
לכן עוצמת האוסף קטנה מעוצמת הזוגות הסדורים של הרציונאליים, ולמדנו שזוגות סדורים של קבוצה בת מנייה היא קבוצה בת מנייה. לכן עוצמת האוסף קטנה מבת מנייה אבל מכיוון שהיא אינסופית היא גדולה מבת מנייה ולכן בת מנייה כדרוש.
ב. ניקח את אוסף העיגולים המעגלים עם מרכז בראשית ורדיוס ממשי חיובי. אין בינהם חיתוך, והכמות שלהם זהה לחצי ציר הממשיים והוא כמובן מעוצמת אלף.