'''טענה.''' אם A קבוצה וR יחס שקילויות על הקבוצה אזי עוצמת קבוצת המנה קטנה או שווה לעוצמה של A.
הוכחה: נגדיר <math>f:A\to A/R </math> ע"י <math>f(a)=[a]_R</math>. הפונקציה על ולכן <math> |A/R|\leq |A| </math>
'''משפט (קנטור- שרדר-ברנשטיין)''' אם <math>|B|\leq|A|</math> וגם <math>|A|\leq|B|</math> אז <math>|B|=|A|</math>
'''טענה.''' מתקיים ש <math>|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|</math>. תרגיל בית הוכחה: נגדיר <math>f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}\times \{0,1\}</math> ע"י <math>f(z)=(|z|,sgn(z))</math>.פונקציה זו חח"ע ולכן<math>|\mathbb{N}|\leq |\mathbb{Z}|\leq|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|\leq|(\mathbb{N}\times \{0,1\})\times (\mathbb{N}\times \{0,1\})| \leq |(\mathbb{N}\times \mathbb{N})\times (\mathbb{N}\times \mathbb{N})|= |\mathbb{N}\times \mathbb{N}|= |\mathbb{N}| </math> לפי קנטור ברנשטיין נקבל את הדרוש.
נביט באוסף הזוגות הסדורים בהם האיבר הימני שונה מאפס. קבוצה זו מוכלת באוסף כל הזוגות ולכן עוצמתה קטנה מעוצמת השלמים. נחלק אוסף זה ביחס השקילות <math>(a,b)~(x,y) \iff ay=bx</math> ונקבל קבוצה מעוצמה אף קטנה יותר. קבוצת המנה שקיבלנו היא כמובן <math>\mathbb{Q}</math> ולכן קיבלנו ש <math>|\mathbb{Q}|\leq |\mathbb{Z}|</math>.