א. תהי A קבוצה אינסופית מעוצמה a.
:1. נגדיר עבור <math>2\leq n\in\mathbb{N}</math> את הקבוצה הבאה: <math>YX=\{(X_1,...,X_n):1<n\in\mathbb{N}\and\Big[\bigcup_i X_i=A\Big] \and \Big[\forall i\neq j: X_i\cap X_j = \emptyset\Big]\}</math>. '''הוכח''' <math>|Y|=2^a</math>
כלומר אוסף החלקות הסופיות הלא טרי' הסדורות של A'''הוכח''' <math>|X|=2^a</math> :2. מצא את <math>|\mathbb{N}\times YX|,|\mathbb{N}\cup YX|</math> וגם את <math>|YX|^{|\mathbb{N}|},|\mathbb{N}|^{|YX|}</math>
:1.
נביט באוסף הפונקציות <math>XY=\{f:A\rightarrow\mathbb{N}\}</math>. נגדיר <math>g:X\to Y\rightarrow X</math> על ידי לכל <math>gx=(yX_1,...,X_n)\in X</math> נשלח אותו ל <math>g(ax)=kf_x</math> אם המוגדר<math>\forall a\in X_kA f_x(a)=k</math> בתוך ה-כאשר <math>na\inX_k</math>-יה הסדורה yכלומר שולחת איבר לאינדקס של הקבוצה שהוא נמצא בה בחלוקה. נוכיח שזו פונקציה שהפונקציה מוגדרת היטב וחח, חח"עועל.
מוגדרת היטב: מכיוון שהקבוצות זרות ואיחודן שווה לA, כיוון ש x הוא חלוקה של A אזי האיבר a יופיע ויופיע בדיוק באחת מהןמהקבוצות.
חח"ע: נניח <math>y_1(X_1,...,X_n)=x\neq y_2x'=(X'_1,...,X'_m)</math>. אזי יש איזה שתי תתי קבוצות של A שונות ביניהםקיים <math>X_i\not=X'_i</math>, לכן קיים יהיה איזה <math>a באחת מהן שלא בשני שישלח למספר טבעי שונה.\in X_i/X'_i</math> (או להיפך) ואז <math>i=f_x(a)\not= f_{x'}(a)</math> כלומר <math>g(x)\not=g(x') </math>
כעת, קל למצוא פונקציה חח"ע מקבוצת החזקה של A ל-Y X - נשלח כל תת קבוצה לזוג שמכיל אותה ואת המשלים שלה.
לכן <math>2^{|A|} \leq |YX| \leq |XY| = \aleph_0^{|A|}</math>, ולפי התכונות לעיל שני הקצוות שווים. לכן עוצמת Y X הינה <math>2^a</math>.
ב.
בעצם אנו רוצים לחשב איחוד בן מנייה של קבוצות מעוצמת <math>\aleph</math>. לכל עותק של <math>\aleph</math> נתאים <math>A_n</math> קיימת פונקציה ופונקציה חח"ע ועל <math>g_nf_n:\mathbb{R}\rightarrow A_n</math>. לכן סה"כ נבנה כעת נגדיר פונקציה <math>fg:\mathbb{N}\times\mathbb{R}\rightarrow\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n</math> המוגדרת על ידי ע"י <math>fg(k,x)=g_kf_k(x)</math>. מכיוון שהקבוצות זרות ו<math>g_kf_k</math> חח"ע ברור שf שg חח"ע. מכיוון ש<math>g_kf_k</math> על גם f g על ולכן סה"כ עוצמת הסכום הינה <math>\aleph_0\cdot\aleph=\aleph</math>